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高二数学测试题:高三数学第一轮复习阶段性测试题(含答案和解释)

高二数学测试题:2019 届高三数学第一轮复习 阶段性测试题(含答案和解释)
阶段性测试题四(三角函数与三角形) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。 ) 1.(2019?宁夏银川一中检测)y=(sinx+cosx)2-1 是() A.最小正周期为 2π 的偶函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 [答案] [解析] D y=(sinx+cosx)2-1=2sinxcosx=sin2x,所以函数

y=(sinx+cosx)2-1 是最小正周期为 π 的奇函数. 2.(2019?宁夏银川月考、山东聊城一中期末)把函数 y=sin(ωx+φ)(ω0,|φ|π)的图象向左平移 π6 个单位, 再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) 所得的图象解析式为 y=sinx,则() A.ω=2,φ=π6B.ω=2,φ=-π3 C.ω=12,φ=π6 D.ω=12,φ=π12 [答案] [分析] B 函数 y=sin(ωx+φ)经过上述变换得到函数
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y=sinx,把函数 y=sinx 的图象经过上述变换的逆变换即可 得到函数 y=sin(ωx+φ)的图象. [解析] 把 y=sinx 图象上所有点的横坐标缩小到原来的 12

倍得到的函数解析式是 y=sin2x,再把这个函数图象向右平 移 π6 个单位,得到的函数图象的解析式是 y=sin2x-π6=sin2x-π3, 与已知函数比较得 ω=2, φ=-π3. [点评] 本题考查三角函数图象的变换,试题设计成逆向考

查的方式更能考查出考生的分析解决问题的灵活性,本题也 可以根据比较系数的方法求解,根据已知的变换方法,经过 两次变换后函数 y=sin(ωx+φ)被变换成 y=sinωx2+ωπ6+φ 比较系数也可以得到问题的答案. 3.(2019?辽宁沈阳二中阶段检测)若函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω0)的最小正周期为 1, 则它的图像的 一个对称中心为() A.-π8,0 B.π8,0 C.(0,0) D.-π4,0 [答案] [分析] A 把函数化为一个角的一种三角函数,根据函数的最

小正周期求出 ω 的值,根据对称中心是函数图象与 x 轴的 交点进行检验或直接令 f(x)=0 求解. [解析] f(x)=sinωx+cosωx=2sinωx+π4,这个函数的最

小正周期是 2πω,令 2πω=1,解得 ω=2,故函数
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f(x)=sinωx+cosωx=2sin2x+π4,把选项代入检验知点 -π8,0 为其一个对称中心. [点评] 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的对称中心, 就是函数

图象与 x 轴的交点. 4.(2019?江西南昌市调研)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m(A0, ω0)的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 π2,直线 x=π3 是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析式是 () A.y=4sin4x+π6 B.y=2sin2x+π3+2 C.y=2sin4x+π3+2 D.y=2sin4x+π6+2 [答案] [解析] D 由最大值为 4,最小值为 0 得

A+m=4-A+m=0,∴A=2m=2, 又因为正周期为 π2,∴2πω=π2,∴ω=4,∴函数为 y=2sin(4x+φ)+2,∵直线 x=π3 为其对称轴, ∴4×π3+φ=π2+kπ,k∈Z,∴φ=kπ-5π6,取 k=1 知 φ=π6,故选 D. 5.(文)(2019?北京朝阳区期末)要得到函数 y=sin2x-π4 的 图象,只要将函数 y=sin2x 的图象() A.向左平移 π4 个单位 B.向右平移 π4 个单位 C.向右平移 π8 个单位 D.向左平移 π8 个单位 [答案] C
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[解析]

y=sin2x-π4=sin2x-π8,故只要将 y=sin2x 的图

象向右平移 π8 个单位即可.因此选 C. (理)(2019?东北育才期末)已知 a=(cosx,sinx),b=(sinx, cosx),记 f(x)=a?b,要得到函数 y=cos2x-sin2x 的图像, 只需将函数 y=f(x)的图像() A.向左平移 π2 个单位长度 B.向右平移 π2 个单位长度 C.向左平移 π4 个单位长度 D.向右平移 π4 个单位长度 [答案] [解析] C f(x)=a?b=cosxsinx+sinxcosx=sin2x,

y=cos2x-sin2x=cos2x=sinπ2+2x=sin2x+π4,可将 f(x)的 图象向左平移 π4 个单位长度得到,故选 C. 6.(文)(2019?北京西城区期末)已知△ABC 中,a=1,b=2, B=45°,则角 A 等于() A.150° B.90° C.60° D.30° [答案] [解析] D 根据正弦定理得 1sinA=2sin45°,∴sinA=12,

∵a(理)(2019?福州期末)黑板上有一道解答正确的解三角 形的习题,一位同学不小心把其中一部分擦去了,现在只能 看到:在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已 知 a=2,……,解得 b=6.根据以上信息,你认为下面哪个选 项可以作为这个习题的其余已知条件()
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A.A=30°,B=45° B.c=1,cosC=13 C.B=60°,c=3 D.C=75°,A=45° [答案] [分析] [解析] D 可将选项的条件逐个代入验证. ∵2sin30°≠6sin45°,∴A 错;

∵cosC=a2+b2-c22ab=4+6-146≠13,∴B 错; ∵a2+c2-b22ac=4+9-612=712≠cos60°, ∴C 错,故选 D. 7.(文)(2019?黄冈市期末)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的一 部分图象如图所示,如图 A0,ω0,|φ|π2,则() A.φ=-π6 B.φ=-π3 C.φ=π3 D.φ=π6 [答案] [解析] D 由图可知 A+b=4-A+b=0,∴A=2b=2,

又 T4=5π12-π6=π4,∴T=π,∴ω=2, ∴y=2sin(2x+φ)+2,将 5π12,2 代入得 sin5π6+φ=0,结 合选项知选 D. (理)(2019?蚌埠二中质检)函数 y=cos(ωx+φ)(ωφπ)为 奇函数,该函数的部分图象如右图所表示,A、B 分别为最高 与最低点,并且两点间的距离为 22,则该函数的一条对称轴 为() A.x=2π B.x=π2
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C.x=1 D.x=2 [答案] [解析] C ∵函数 y=cos(ωx+φ)为奇函数,0π,∴φ=π2,

∴函数为 y=-sinωx,又 ω0,相邻的最高点与最低点 A、B 之间距离为 22,∴ω=π2,∴y=-sinπ2x,其对称轴方程为 π2x=kπ+π2,即 x=2k+1(k∈Z),令 k=0 得 x=1,故选 C. 8.(文)(2019?安徽百校联考)已知 cos3π2-φ=32,且 |φ|π2,则 tanφ 等于() A.-33 B.33 C.3 D.-3 [答案] [解析] D 由 cos3π2-φ=32 得,sinφ=-32,

又|φ|π2,∴cosφ=12,∴tanφ=-3. (理)(2019?山东日照调研)已知 cosα=-45 且 α∈π2,π, 则 tanα+π4 等于() A.-17 B.-7 C.17 D.7 [答案] [解析] C ∵cosα=-45,π2≤α≤π,

∴sinα=35,∴tanα=-34, ∴tanα+π4=tanα+tanπ41-tanα?tanπ4=-34+11--34× 1=17,故选 C.
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9.(2019?巢湖质检)如图是函数 y=sin(ωx+φ)的图象的一 部分,A,B 是图象上的一个最高点和一个最低点,O 为坐标 原点,则 OA→?OB→的值为() A.12π B.19π2+1 C.19π2-1 D.13π2-1 [答案] [解析] C 由图知 T4=5π12-π6=π4,∴T=π,

∴ω=2,∴y=sin(2x+φ), 将点-π12,0 的坐标代入得 sin-π6+φ=0, ∴φ=π6, ∴Aπ6,1,B2π3,-1,∴OA→?OB→=π29-1,故选 C. 10.(2019?潍坊一中期末)已知函数 f(x)=2sinωx(ω0)在区 间[-π3,π4]上的最大值是 2,则 ω 的最小值等于() A.23 B.32 C.2 D.3 [答案] [解析] C 由条件知 fπ4=2sinπ4ω=2,∴ω=8k+2,∵ω0,

∴ω 最小值为 2. 11.(文)(2019?烟台调研)已知 tanα=2,则 2sin2α+1sin2α=() A.53 B.-134 C.135 D.134
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[答案] [解析]

D ∵tanα=2,

∴2sin2α+1sin2α=3sin2α+cos2α2sinαcosα=3tan2α +12tanα=134. (理)(2019?四川广元诊 断)tan10°+tan50°+tan120°tan10°?tan50°的值应是 () A.-1 B.1 C.-3 D.3 [答案] [解析] 原式 =tan?10°+50°??1-tan10°tan50°?-tan60°tan10°tan 50° =3-3tan10°tan50°-3tan10°tan50°=-3. 12.(2019?温州八校期末)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边 长分别为 a、b、c,设命题 p:asinB=bsinC=csinA,命题 q: △ABC 是等边三角形,那么命题 p 是命题 q 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] [解析] C ∵asinB=bsinC=csinA,
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C

∴由正弦定理得 sinAsinB=sinBsinC=sinCsinA, ∴sinA=sinB=sinC,即 a=b=c,∴p?q,故选 C. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把 正确答案填在题中横线上) 13.(文)(2019?山东日照调研)在△ABC 中,若 a=b=1,c=3, 则∠C=________. [答案] [解析] 2π3 cosC=a2+b2-c22ab=1+1-32=-12,∴C=2π3.

(理)(2019?四川资阳模拟)在△ABC 中, ∠A=π3, BC=3, AB=6, 则∠C=________. [答案] [解析] π4 由正弦定理得 3sinπ3=6sinC,∴sinC=22,

∵AB14.(2019?山东潍坊一中期末)若 tanα=2, tan(β-α)=3,则 tan(β-2α)的值为________. [答案] [解析] 17 tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]

=tan?β-α?-tanα1+tan?β-α??tanα=3-21+3×2=17. 15.(2019?安徽百校论坛联考)已知 f(x)=2sin2x-π6-m 在 x∈[0,π2]上有两个不同的零点,则 m 的取值范围是 ________. [答案] [-1,2]
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[解析]

f(x)在[0,π2]上有两个不同零点,即方程 f(x)=0

在[0,π2]上有两个不同实数解, ∴y=2sin2x-π6,x∈[0,π2]与 y=m 有两个不同交点, ∵0≤x≤π2,∴-π6≤2x-π6≤5π6, ∴-12≤sin(2x-π6)≤1,∴-1≤y≤2,∴-1≤m≤2. 16.(2019?四川广元诊断)对于函数 f(x)=2cos2x+2sinxcosx-1(x∈R)给出下列命题:①f(x)的 最小正周期为 2π;②f(x)在区间[π2, 5π8]上是减函数;③ 直线 x=π8 是 f(x)的图像的一条对称轴;④f(x)的图像可以 由函数 y=2sin2x 的图像向左平移 π4 而得到.其中正确命题 的序号是________(把你认为正确的都填上). [答案] [解析] ②③ f(x)=cos2x+sin2x=2sin2x+π4, 最小正周期 T=π;

由 2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)得 kπ+π8≤x≤kπ+5π8,故 f(x)在区间[π2,5π8]上是减 函数;当 x=π8 时,2x+π4=π2,∴x=π8 是 f(x)的图象的 一条对轴称;y=2sin2x 的图象向左平移 π4 个单位得到的图 象对应函数为 y=2sin2x+π4,即 y=2sin2x+π2,因此只有 ②③正确. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(2019?烟台调研)向量 m=(a+1, sinx),
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n=(1,4cos(x+π6)),设函数 g(x)=m?n(a∈R,且 a 为常数). (1)若 a 为任意实数,求 g(x)的最小正周期; (2)若 g(x)在[0,π3)上的最大值与最小值之和为 7,求 a 的值. [解析] g(x)=m?n=a+1+4sinxcos(x+π6)

=3sin2x-2sin2x+a+1 =3sin2x+cos2x+a =2sin(2x+π6)+a (1)g(x)=2sin(2x+π6)+a,T=π. (2)∵0≤xπ3,∴π6≤2x+π65π6 当 2x+π6=π2,即 x=π6 时,ymax=2+a. 当 2x+π6=π6,即 x=0 时,ymin=1+a, 故 a+1+2+a=7,即 a=2. 18.(本小题满分 12 分)(2019?四川资阳模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ωφπ)在 x=π6 取得最大值 2,方 程 f(x)=0 的两个根为 x1、x2,且|x1-x2|的最小值为 π. (1)求 f(x); (2)将函数 y=f(x)图象上各点的横坐标压缩到原来的 12,纵 坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在[-π4, π4]上的值域. [解析] (1)由题意 A=2,函数 f(x)最小正周期为 2π,即

2πω=2π,∴ω=1.
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从而 f(x)=2sin(x+φ),∵fπ6=2, ∴sinπ6+φ=1,则 π6+φ=π2+2kπ,即 φ=π3+2kπ, ∵0π,∴φ=π3.故 f(x)=2sinx+π3. (2)可知 g(x)=2sin2x+π3, 当 x∈[-π4,π4]时,2x+π3∈[-π6,5π6],则 sin2x+π3∈[-12,1], 故函数 g(x)的值域是[-1,2]. 19.(本小题满分 12 分)(2019?山西太原调研)在△ABC 中, A、 B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a+b=5,c=7,且 4sin2A+B2-cos2C=72. (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. [解析] (1)∵A+B+C=180°,

4sin2A+B2-cos2C=72.∴4cos2C2-cos2C=72, ∴4?1+cosC2-(2cos2C-1)=72, ∴4cos2C-4cosC+1=0,解得 cosC=12, ∵0°(2)∵c2=a2+b2-2abcosC, ∴7=(a+b)2-3ab,解得 ab=6. ∴S△ABC=12absinC=12×6×32=332. 20.(本小题满分 12 分)(2019?辽宁大连联考)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|π2)的部分图象如图所 示.
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(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 fα2=45,0π3,求 cosα 的值. [解析] (1)由图象知 A=1

f(x)的最小正周期 T=4×5π12-π6=π,故 ω=2πT=2 将点 π6,1 代入 f(x)的解析式得 sinπ3+φ=1, 又|φ|π2,∴φ=π6 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin2x+π6 (2)fα2=45,即 sinα+π6=45,又 0π3, ∴π6α+π6π2,∴cosα+π6=35. 又 cosα=[(α+π6)-π6] =cosα+π6cosπ6+sinα+π6sinπ6=33+410. 21.(本小题满分 12 分)(文)(2019?浙江宁波八校联考)A、B 是单位圆 O 上的动点,且 A、B 分别在第一、二象限,C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,△AOB 为等腰直角三角形.记 ∠AOC=α. (1)若 A 点的坐标为 35, 45, 求 sin2α+sin2αcos2α+cos2α 的值; (2)求|BC|2 的取值范围. [解析] (1)∵tanα=4535=43,

∴原式=tan2α+2tanα2-tan2α=20. (2)A(cosα,sinα),B(cos(α+π2),sin(α+π2)),且 C(1,0)
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|BC|2=[cos(α+π2)-1]2+sin2(α+π2)=2+2sinα 而 A,B 分别在第一、二象限,α∈0,π2, ∴|BC|2 的取值范围是(2,4). (理)(2019?华安、 连城、 永安、 漳平、 龙海、 泉港六校联考)A、 B、C 为△ABC 的三个内角,且其对边分别为 a、b、c,若 m=-cosA2,sinA2,n=cosA2,sinA2,且 m?n=12. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=23,三角形面积 S=3,求 b+c 的值. [解析] (1)m?n=-cos2A2+sin2A2=-cosA=12,

∴cosA=-12,∵A∈(0°,180°),∴A=120°. (2)S△ABC=12bcsin120°=3 ∴bc=4, 又∵a2=b2+c2-2bccos120° =b2+c2+bc=(b+c)2-bc=12, ∴b+c=4. 22.(本小题满分 12 分)(2019?黑龙江哈六中期末)在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2, C=π3. (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积. [解析] (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4,又因

为△ABC 的面积等于 3,所以 12absinC=3,得 ab=4.联立方
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程组 a2+b2-ab=4,ab=4,解得 a=2,b=2. (2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即 sinBcosA=2sinAcosA, 当 cosA=0 时,A=π2,B=π6,a=433,b=233, 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a,联立 方程组 a2+b2-ab=4,b=2a, 解得 a=233,b=433. 所以△ABC 的面积 S=12absinC=233.

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