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八下课后习题第一章1-21页答案


八年级下册第一章三角形的证明课后习题答案 第 3 页随堂练习 1.解:(1)∵∠A=∠40°,∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠B=∠C=180°-∠A=180°-40°=140°. ∵AB=AC, ∴∠C=∠B=(140°)/2=70°. (2)∵ AB=AC, ∴∠B=∠C=72°. ∵∠A+∠B 十∠C=180°, ∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-72°-72°=36°. 2.(1)证明:∵AC⊥BD 于点 C,∴∠ACB=∠ACD=90°. 又∵AC=AC,BC=CD,∴△ACB≌△ACD(SAS), ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等),即△ABD 是等腰三角形. (2)解:∵AC=BC,∠ACB= 90°,∴∠B=∠BAC=45°. 同理,∠D=∠DAC=45°. ∴∠BAC+∠DAC=45°+45°=90°,即∠BAD=90°. 第四页习题 1.1 1.已知;已知;公共边;sss;全等三角形的对应角相等. 2. 证明: ∵BE=CF, ∴BE+EC=CF+EC,即 BC=EF. 在△ABC 和△DEF 中,AB=DE,BC=EF,AC=DF,

∴△ABC≌△DEF(SSS), ∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等). 3. 解:∵AB=AC, ∴△ABC 是等腰三角形. ∵AD⊥BC,∴AD 平分∠BAC. ∵∠BAC=108°, ∴∠BAD=1/2∠BAC=1/2×108°=54°. 4.解:图中所有相等的角有: ∠ABC=∠ACB,∠EBD=∠ECD.∠ABE=∠ACE,∠BAD =∠CAD.∠BED=∠CED, ∠AEB=∠AEC.∠ADB=∠ADC. 理由: ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角) ∵AD_LBC, ∴∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠CAD(等腰三角形的推论) 在△ABE 和△ACE 中,

∴△ABE≌△ACE(SAS) ∴ ∠ABE=∠ACE. ∠AEB= ∠AEC(全等三角形的对应角相等). BE=CE(全等三角形的对应边相等), ∴∠EBC=∠ECB(等边对等角)

在等腰△BEC 中, ∵ED⊥BC, ∴ED 平分∠BEC(等腰三角形的推论),即∠BED=∠CED. 5 解:全等 已知:在△ABC 和△A'B′C ′中,AB =AC.A ′B ′=A′C′,∠A=∠A',BC=B ′C′, 求证:△ABC≌△A'B'C′. 证明: ∵AB=AC,A'B'=A'C, ∴∠B=∠C,∠B′=∠C′(等边对等角) ∴∠B=∠C=1/2(180°-∠A),∠B′=∠C′=1/2(180°-∠A′). ∴∠A=∠A′, ∴∠B=∠B′=∠C=∠C′ 又∵BC=B′C′, ∴△ABC≌△A'B'C(ASA) 6.解:BD=CE. 证明:如图 1-1-42 所示,过点 A 作 AF⊥BC,垂足为 F. ∵AB=AC. ∴AF 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线, ∴ BF=CF ∵ AD=AE, ∴AF 是等腰△ADE 底边 DE 上的中线, ∴ DF=EF

∴BF-DF=CF-FF,即 BD=CE. 第 6 页随堂练习 1.解:如图 1-1-43 所示,在等边△ABC 中.中线 BD,CE 相交于点 F, ∴CE⊥AB, ∴∠BEF=90° ∵BD 平分∠ABC, ∴∠EBF=1/2∠ABC=1/2×60°=30°. 在 Rt△BEF 中,∠EFB=90°-∠EBF=90°-30°=60°. ∴等边△ABC 两条中线相交所成锐角为 60°. 2 解:∵△ADE 是等边三角形, ∴AD=DE=AE.∠ADE=∠DAE=60°. 又∵D.F 是 BC 的三等分点, ∴BD=DE=EC. ∴AD=BD, ∴∠B=∠BAD. ∵∠ADE=∠B+∠BAD=60°, ∴∠BAD=∠B=30°. 同理可得∠EA=∠C=30°. ∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠ EAC=30°+60°+30°=120°. 第七页习题 1.2 1.解:设∠ABD=x°, ∵BD 平分∠ABC,

∴∠ABC=2∠ABD=2x°. ∵AB=AC, ∴∠C=∠ABC=2x°. ∵BD=BC, ∴∠BDC=∠C=2x°, ∵∠BDC=∠ABD 十∠A, ∴∠A=∠BDC-∠ABD=2x°-x°=x°. ∵∠A+∠ABC+∠C=180°, ∴x+2x+2x=180.解得 x=36 ∴∠A=36°. 2.证明: ∵ AB=AC, ∴∠B=∠C ∵ AE=AF, ∴ AB-AE=AC-AF,即 BE=CF. ∵D 为 BC 的中点, ∴BD=CD. 在△BDE 和△CDF 中.

∴△BDE≌△CDF(SAS). ∴DE=DF(全等三角形的对应边相等).

3.证明: ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠A=∠BCE=60°,AC=CB 在△ACD 和△CBE 中,

∴△ACD≌△CBE(SAS). ∴CD=BE(全等三角形的对应边相等)

4.(1)证明:如图 1-1-44 所示, 连接 AC.在△ABC 和△ADC 中,

∴△ABC≌△ADC(SSS), ∴∠BAC=∠DAC. ∵E、F 分别为 AB ,AD 的中点, ∴AE=1/2AB,AF=1/2AD. 又∵AB=AD, ∴AE=AF. 在△AEC 和△AFC 中,

∴△AEC≌△AFC(SAS),

∴EC =FC. ∴这两根彩线的长度相等. (2)解:相等;相等;结论:只要 AE=1/nAB,AF=1/nAD,就有 EC= FC. (3)解:如∠BEC=∠DFC 或∠BCE=∠DCF 等. 第 9 页随堂练习 1.解:△BDE 是等腰三角形. 理由: ∵BD 平分∠A BC, ∴∠FBD=∠CBD. ∵DE∥BC, ∴∠EDB=∠CBD ∴∠EBD=∠EDB, ∴EB=ED(等角对等边). ∴△BDE 是等腰三角形. 2. 证明:假设这五个数 a1,a2,a3,a4,a5 中没有一个大于或等于 1/5,即都小于 1/5, 那么 a1+a2+a3+a4+a5<1/5×5=1,这与已知 a1+a2+a3+a4+a5=1 矛盾所以原命题得 证. 第 9 页习题 1.3 1.证明: ∵ AD∥BC(已知), ∴∠1=∠B(两直线平行,同忙角相等),∠2 =∠C(两直线平行,内错角相等) ∵∠1=∠2(已知).

∴∠B=∠C. ∴AB=AC(等角对等边) 2.证明: ∵AB=AC, ∴∠B=∠C(等边对等角) ∵ EP⊥BC,∴∠B+∠BFP=90°,∠C 十∠E=90°, ∴∠E=∠BFP. ∵∠BFP=∠EFA(对项角相等), ∴∠E=∠EFA.∴AE=AF(等角对等边), ∴△AEF 是等腰三角形. 3.解:(1)有两种情况:一种情况是锐角α 为顶角,如图 1-1-45 所示(作法略),△A1B1C1 为所求作的三角形;另一种情况是锐角α 为底角,如图 1-1-46 所示(作法略),△A2 B2 C2 为所求作的三角形.

(2)因为底角只能为锐角,所以只有一种情况,即钝角α 只能是顶角,如图 1-1-47 所示(作 法略),△A3 B3 C3 为所求作的三角形.

4.解:∵∠NBC=∠C+∠NAC,∠NBC=84°,∠NAC= 42°, ∴∠C=∠NBC - ∠NAC=42°=∠NAC . ∴ AB= BC. ∴BC=18×10=180(n mile). 因此从 B 处到灯塔 C 的距离为 180 n mile . 第 12 随堂练习 解:∵∠ACB=90°,∠B=60°,CD 是△ABC 的高, ∴∠A=∠BCD=30°. ∴BD=

1 1 BC,BC= AB. 2 2

∵BD=1, ∴BC=2. ∴AB=4. ∴AD=AB - BD=4-1=3. 第 12 习题 1.4 1.证明: ∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C. ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°. ∴∠A=∠ADE=∠AED=60°. ∴△ADE 是等边三角形. 2. 解:∵BC⊥AC.

∴∠ACB=90°. 在 Rt△ACB 中,∠A=30°, ∴BC=1/2AB=1/2×7.4=3. 7(m). ∵D 为 AB 的中点, ∴AD=1/2 AB=1/2×7.4=3. 7(m). ∵DE⊥AC, ∴∠AED=90°. 在 Rt△AED 中, ∵∠A=30°, ∴DE=1/2AD=1/2×3.7=1.85(m). ∴BC 的长为 3.7m,DE 的长为 1.85m. 3.解:(1)①△DEF 是等边三角形. 证明: ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC=60°, ∵BC∥EF, ∴∠EAB=∠ABC=60°. 又∵AB∥DF, ∴∠EAB=∠F=60°. 同理可证∠E=∠D=60°. ∴△DEF 是等边三角形. ②△ABE,△ACF,△BCD 也都是等边三角形.点 A,B,C 分别是 EF,ED,FD 的中点.

证明: ∵EF∥BC. ∴∠EAB=∠ABC,∠FAC=∠ACB. ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°, ∴∠EAB=∠FAC=60°. 同理可证∠EBA=∠DBC=60°.∠FCA=∠DCB=60° ∴∠E=∠F=∠D=60°. ∴△ABE,△ACF,△BCD 都是等边三角形. 又∵AB= BC=AC,∴AE=AF=BE=BD=CF=CD,即点 A,B,C 分别是 EF.ED、FD 的中 点. (2)△ABC 是等边 j 角形. 证明: ∵点 A,B,C 分别是 EF,ED,FD 的中点, ∴AE=AF=1/2EF,BE=BD= 1/2ED,CF=CD=1/2FD. 又∵△DEF 是等边三角形, ∴∠E=∠F=∠D=60°(等边三角形的三个角都相等, 并且每个角都等于 60°), EF= ED= FD(等 边三角形的三条边都相等). ∴AE=AF=BE=BD=CF=CD. ∴△ABE,△BCD,△ACF 都是等边三角形(有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形), ∴ AB=AE,BC=BD,AC=AF, ∴AB=BC=AC,

∴△ABC 是等边三角形. 4.已知:如图 1-1-48 所示, 在 Rt△ABC-中, ∠BAC=90°,BC=1/2AB. 求证:∠BAC=30°. 证明:延长 BC 至 点 D,使 CD=BC,连接 AD . ∵∠BCA=90°, ∴∠DCA=90°. 又∵BC=CD,AC=AC, ∴△ABC≌△ADC( SAS), ∴AB=AD,∠BAC=∠DAC(全等三角形的对应边相等、对应角相等). 又∵BC=1/2AB, ∴ BD=AB=AD, ∴△ABD 为等边三角形. ∴∠B4D= 60°. 又∵∠BAC=∠DAC, ∴∠BAC=30°. 5.解:∠ADG=15°. 证明: ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD∥BC,AB=AD=DC. 又∵E,F 分别是 AB,DC 的中点,

∴EF∥AD,FD=1/2DC=1/2AD=1/2A'D. 而 AD⊥CD, ∴EF⊥CD, ∴∠EFD=90°. 在 Rt△A'FD 中,FD=1/2A'D,利用第 4 题的结论可得∠DA'F=30°. 由平行线及翻折的性质可知∠DA'F=2∠ADG=30°,所以∠ADG=15°. 第 16 页随堂练习 1.解:∵∠A=∠B=45°,∴AC= BC=3. ∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠C=180°-∠A -∠B=180°-45°- 45°=90°. 在 Rt△ACB 中,由勾股定理,得 AB?=AC?十 BC?. ∴AB?=3?十 3?, ∴AB?=18, ∴AB=3 ,或 AB=-3 . (舍去).

∴AB 的长为 3

2.证法 1:如图 1-2-31 所示, ∵AD 是 BC 边上的中线, ∴BD=1/2BC=1/2×10=5(cm). 在△ABD 中, ∵AB=13 cm,AD=12 cm,BD=5 cm, ∴AB?=AD?+ BD?, ∴△ABD 为直角三角形,且∠ADB=90°,

∴AD⊥BC.在 Rt△ADC 中,根据勾股定理,得

∴AB=AC. 证法 2: ∵AD 是 BC 边上的中线, ∴CD=BD=1/2BC=1/2×10=5(cm). 在△ABD 中, ∵AB =13 cm,AD=12 cm,BD=5 cm, ∴AB? =AD?+BD?. ∴△ABD 为直角三角形, ∴∠ADB=∠ADC=90°, 在△ABD 和△ACD 中,

∴△ADB≌△ADC(SAS). ∴AB=AC. 3.解:(1)逆命题:多边形是四边形,原命题为真,逆命题为假. (2)逆命题:同旁内角互补,两直线平行,原命题为真,逆命题为真. (3)逆命题:如果 a=0,b=0,那么 ab=0.原命题为假,逆命题为真. 第 17 页习题 1.5 1.解:∵AB∥CD, ∴∠BAD+∠ADC=180°,即∠BAE+∠EAD+∠ADE+∠CDE=180°.

∵∠BAE=25°,∠CDE=65°, ∴25°+∠EAD+∠ADE+65°=180°, ∴∠EAD+∠ADE=90°. ∴∠AED= 90°. 在 Rt△AED 中,由勾股定理,得 AD?=AE?+DE?, ∴AD?=2?+3?=13, ∴AD= ,或 AD=. (舍去)

∴AD 的长为

2.解:如图 1-2-32 所示, 在 Rt△ABC 中, ∵∠A=30°, ∴BC=1/2AB=1/2×10=5(m) 在 Rt△BB1C 中,可得∠BCB1=30°, ∴BB1=1/2BC=1/2×5=2.5(m). ∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(m). 在 Rt△AB1C1 中, ∵∠A=30°, ∴B1C1=1/2AB1=1/2×7.5=3.75(m). 因此,BC 的长为 5 m,B1C1 的长为 3.75 m. 3.解:假设树干与地面接触点为 C . 由题意知△DEB 为直角三角形 . ∵∠BDE=30°, ∴BD=2BE .

由勾股定理,得 BE?+ED?=BD?=(2BE)?, ∴BE?+30?=(4BE)?,解得 BE=10 ≈17.32(m).

∴ 树高 BC=BE+EC≈17.32+1.52≈18.8(m). 因此,大叔的高度约为 18.8m. 4.解:没有,理由如下: ∵ 45?+60?=5 625≠4 900=70?, ∴这个三角形不是直角三角形. ∴当 60 m 长的边线为南北向时,无东西向的边线. 5.解:如图 1-2-33(1)所示,将棱柱表面展开(部分),使 A,B,A',B′,D′,C′在同一个 平面内,根据勾股定理得

如图 1-2-33(2)所示,将棱柱表面展开 (部分),使 A,A′,B,B′,C,C′在同一个平面内,根据勾股定理,得

∴如图 1-2-33(2)所示的展开形式中 AC 为最短路径. 因此,蚂蚁需要爬行的最短路径的长为 2 第 20 页随堂练习 1.解:(1)假命题.如图 1-2-34 所示, 在 Rt△ABC 与 Rt△A'B'C′中,∠A=∠A'=90°, ∠B=∠C=45°=∠B′=∠C′,AB= AC≠A'B′=A'C′,则 Rt△ABC 与 Rt△A'B'C′不全等, (2)真命题, 已知:如图 1-2-35 所示,∠C=∠C′=90°,∠A=∠ A′,且 AB=A'B'. cm.

求证:Rt△A BC≌Rt△A'B'C’. 证明: ∵∠C=∠C′= 90°,∠A=∠A′,且 AB=A'B', ∴ Rt△ABC≌Rt△A'B'C’(AAS). (3)真命题, 已知:如图 1-2-35 所示,∠C=∠C′=90°,AC=A'C',BC=B'C'. 求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C′. 证明: ∵AC=A'C′,∠C=∠C′=90°,BC=B′C′, ∴Rt△ABC≌Rt△A′B'C′(SAS). (4)真命题 已知:如图 1-2-36 所示,∠C=∠C′=90°, AC=A′C′,中线 AD=A'D'. 求证:Rt△ABC≌RtAA'B'C′. 证明: ∵∠C=∠C′=90°,AD=AD ′,AC=A'C′, ∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL). ∴DC=D'C’. ∵BC=2D,B'C'=2D'C', ∴BC=B'C′ ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C(SAS).

2.解:相等理由: ∵AB=AC=12m. ∴由三点 A,B,C 构成的三角形是等腰三角形. 又∵AO⊥BC. ∴ AO 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线, ∴BO=CO, ∴两十木桩离旃轩底部的距离相等. 第 21 页习题 1.6 1.证明: ∵D 为 BC 的中点, ∴BD=CD. 在 Rt△BDF 和 Rt△CDE 中,

∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL). ∴∠B=∠C(全等三角形的对应边相等), ∴AB=AC(等角对等边), ∴△ABC 是等腰三角形. 2.证明: ∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠DEC=∠BFA=90°. 在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中,

∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴AF=CE,∠A=∠C(全等三角形的对应边相等、对应角相等). ∴AB//CD,AF-EF=CE-RF, ∴AE=CF. 3.证明: ∵MP⊥OA,NP⊥OB, ∴∠PMO=∠PNO=90°. 又∵OM=ON,OP=OP, ∴Rt△POM≌Rt△PON(HL). ∴∠AOP=∠BOP,即 OP 平分∠AOP. 4.解:(1)假命题.当一个直角三角形的两边直角与另一个直角三角形的一条直角边和斜边 分别相等时,两个直角三角形不全等. (2) 假命题.当一个直角三角形的锐角和一条直角边与另一个直角三角形的一个锐角和一条 斜边分别相等时,两个直角三角形不全等. 5.(1)解:边:DB=DA,BE=AE;角:∠B=∠BAD=30°,∠ADE=∠BDE=60°,∠BED=∠ AED=90°. (2)证明: ∵∠C=90°,∠B=30°, ∴∠BAC=60°. ∵∠BAD=∠B=30°. ∴∠CAD=∠EAD=30°.

又∵∠AED=∠C=90°,且 AD=AD, ∴△ACD≌△AED(AAS). (本题证法不唯一) (3)不能.


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