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三精考点之高中数学一轮复习最基础考点系列:含逻辑联结词命题的真假判断

专题 6 含逻辑联结词命题的真假判断 含逻辑联结词命题的真假判断 ★★★ ○○○○ 命题 p∧q、p∨q、非 p 的真假判定 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 非p 假 假 真 真 简记为“p∧q 两真才真,一假则假;p∨q 一真则真,两假才假;非 p 与 p 真假相反”. 判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤 (1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义, 应根据命题中所出现的逻辑 联结词进行命题结构的分析与真假的判断. (2)判断命题真假的步骤 根据复合命题真假求参数的步骤 (1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况,从而求出参数的取值范围. 已知命题 p:关于 x 的不等式 a >1(a>0,且 a≠1)的解集是{x|x<0},命题 q:函数 y=lg(ax -x+a)的定义域 为 R,如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,则实数 a 的取值范围为________________. [解析] 由关于 x 的不等式 a >1(a>0,且 a≠1)的解集是{x|x<0},知 0<a<1. ? ?a>0, 2 2 由函数 y=lg(ax -x+a)的定义域为 R,知不等式 ax -x+a>0 的解集为 R,则? 2 ?1-4a <0, ? x x 2 1 解得 a> . 2 因为 p∨ q 为真命题,p∧q 为假命题,所以 p 和 q 一真一假,即“p 假 q 真”或“p 真 q 假”, a>1, ? ? 故? 1 a> ? ? 2 0<a<1, ? ? 或? 1 a≤ , ? ? 2 1 解得 a>1 或 0<a≤ , 2 ? 1? 即 a∈?0, ?∪(1,+∞). ? 2? ? 1? [答案] ?0, ?∪(1,+∞) ? 2? 1 2 1.若命题 p:函数 y=x -2x 的单调递增区间是[1,+∞),命题 q:函数 y=x- 的单调递增区间是[1,+∞), x 则( ) B.p∨q 是假命题 D.非 q 是真命题 A.p∧q 是真命题 C.非 p 是真命题 2. 1 2 已知命题 p:当 a>1 时,函数 y=log (x +2x+a)的定义域为 R;命题 q:“a=3”是“直线 ax+2y=0 与直线 2 2x-3y=3 垂直”的充要条件,则以下结论正确的是( A.p∨q 为真命题 C.p∧非 q 为真命题 2 ) B.p∧q 为假命题 D.非 p∨q 为假命题 2 解析:选 A 当 a>1 时,一元二次方程 x +2x+a=0 的判别式 Δ =4-4a<0,则 x +2x+a>0 对任意 x∈R 恒成 1 2 立,故函数 y=log (x +2x+a)的定义域为 R,故命题 p 是真命题;直线 ax+2y=0 与直线 2x-3y=3 垂直等 2 价于 a×2+2×(-3)=0,解得 a=3,故“a=3”是“直线 ax+2y=0 与直线 2x-3y=3 垂直”的充要条件, 故命题 q 是真命题.所以 p∨q 为真命题,p∧q 为真命题,p∧非 q 为假命题,非 p∨q 为真命题.故选 A. 3.设命题 p:函数 f(x)=lg( ax -4x+a)的定义域为 R;命题 q:不等式 2x +x>2+ax 在 x∈(-∞,-1)上恒 成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,则实数 a 的取值范围为________. 2 2 1.已知命题 p : ?? ? R ,使得 sin? ? 2cos? ? 3 ;命题 q : ?x ? ? 0, A. p 为真 B. ? q 为假 C. p ? q 为真 D. p ? q 为假 ? ? π? ? , x ? sinx ,则下列判断正确的是( 2? ) KS5U】甘肃省武威市第六中学 2018 届高三第一次阶段性过关考试数学(文)试题 【答案】B 【解析】 sin? ? 2cos? ? 5sin ?? ? ? ? ? ? ? 5, 5 ? ,θ 是参数, ? ? ∵3> 5 , ∴?α ∈R, sin? ? 2cos? ? 3 ; 故命题 p 为假命题, 设 f ? x ? ? x ? sinx ,则 f ' ? x ? ? 1 ? cosx… 0, 则函数 f(x)为增函数, ∵则当 x>0 时,f(x)>f(0), 即 x?sinx>0,则 x>sinx,故命题 q 是真命题, 则 ? q 为假,其余为假命题, 故选:B. 2.已知命题 p :若复数 z 满足 ? z ? i ?? ?i ? ? 5 ,则 z ? 6i ;命题 q :复数 题的是( ) A. 1? i 1 的虚部为 ? i ,则下面为真命 1 ? 2i 5 ? p? ? ? q? ? ? B. ? p? ? q ? C. p ? ? q? ? D. p ? q 【来 源】 【全国市级联考】湖南省益阳市、湘潭市 2018 届高三 9 月调研考试数学(理)试题 【答案】C 【解析】复数 z 满足 ? z ? i ?? ?i ? ? 5 ,所以 z ? 复数 5 ? i ? 6i ,所以命题 p 为真; ?i 1 1 ? i ?1 ? i ??1 ? 2i ? 3 ? i ,虚部为 ? ,所以命题 q 为假. ? ? 5 1 ? 2i ?1 ? 2i)1 ? 2i ? 5 A. ? p ? ? ? q ? 为假;B. ? p ? ? q 为假;C. ? ? ? p? ? q ? 为真;D. ? p ? q 为假. 故选 C. 3.下列命题中正确命题的个数是( ) (1)命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x

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