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三精考点之高中数学一轮复习最基础考点系列:含逻辑联结词命题的真假判断


专题 6 含逻辑联结词命题的真假判断 含逻辑联结词命题的真假判断 ★★★ ○○○○ 命题 p∧q、p∨q、非 p 的真假判定 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 非p 假 假 真 真 简记为“p∧q 两真才真,一假则假;p∨q 一真则真,两假才假;非 p 与 p 真假相反”. 判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤 (1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义, 应根据命题中所出现的逻辑 联结词进行命题结构的分析与真假的判断. (2)判断命题真假的步骤 根据复合命题真假求参数的步骤 (1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况,从而求出参数的取值范围. 已知命题 p:关于 x 的不等式 a >1(a>0,且 a≠1)的解集是{x|x<0},命题 q:函数 y=lg(ax -x+a)的定义域 为 R,如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,则实数 a 的取值范围为________________. [解析] 由关于 x 的不等式 a >1(a>0,且 a≠1)的解集是{x|x<0},知 0<a<1. ? ?a>0, 2 2 由函数 y=lg(ax -x+a)的定义域为 R,知不等式 ax -x+a>0 的解集为 R,则? 2 ?1-4a <0, ? x x 2 1 解得 a> . 2 因为 p∨ q 为真命题,p∧q 为假命题,所以 p 和 q 一真一假,即“p 假 q 真”或“p 真 q 假”, a>1, ? ? 故? 1 a> ? ? 2 0<a<1, ? ? 或? 1 a≤ , ? ? 2 1 解得 a>1 或 0<a≤ , 2 ? 1? 即 a∈?0, ?∪(1,+∞). ? 2? ? 1? [答案] ?0, ?∪(1,+∞) ? 2? 1 2 1.若命题 p:函数 y=x -2x 的单调递增区间是[1,+∞),命题 q:函数 y=x- 的单调递增区间是[1,+∞), x 则( ) B.p∨q 是假命题 D.非 q 是真命题 A.p∧q 是真命题 C.非 p 是真命题 2. 1 2 已知命题 p:当 a>1 时,函数 y=log (x +2x+a)的定义域为 R;命题 q:“a=3”是“直线 ax+2y=0 与直线 2 2x-3y=3 垂直”的充要条件,则以下结论正确的是( A.p∨q 为真命题 C.p∧非 q 为真命题 2 ) B.p∧q 为假命题 D.非 p∨q 为假命题 2 解析:选 A 当 a>1 时,一元二次方程 x +2x+a=0 的判别式 Δ =4-4a<0,则 x +2x+a>0 对任意 x∈R 恒成 1 2 立,故函数 y=log (x +2x+a)的定义域为 R,故命题 p 是真命题;直线 ax+2y=0 与直线 2x-3y=3 垂直等 2 价于 a×2+2×(-3)=0,解得 a=3,故“a=3”是“直线 ax+2y=0 与直线 2x-3y=3 垂直”的充要条件, 故命题 q 是真命题.所以 p∨q 为真命题,p∧q 为真命题,p∧非 q 为假命题,非 p∨q 为真命题.故选 A. 3.设命题 p:函数 f(x)=lg( ax -4x+a)的定义域为 R;命题 q:不等式 2x +x>2+ax 在 x∈(-∞,-1)上恒 成立,如果命题“p∨q”为真命

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