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2014届高三理科数学二轮复习考试试题精选(1)分类汇编12:立体几何


2014 届高三理科数学二轮复习考试试题精选(1)分类汇编 12:立体几何
一、选择题 1 . (河北省邯郸市武安三中 2014 届高三第一次摸底考试数学理试题) 正三棱柱 ABC ? A1B1C1

内接于半径为 1 的球,则当该棱柱体积最大时,高 h ? A.

( D.



6 3

B.

6 6

C. 3

2 3 3

【答案】D 2 . (河北省邯郸市武安三中 2014 届高三第一次摸底考试数学理试题)一个体积为 12

3 的正

三棱柱的三视图,如图所示,则此正三棱柱的侧视图面积为

( A. 12
【答案】A 3 . (河北省保定市八校联合体 2014 届高三上学期第一次月考数学(理科)试题)设 m , n 是空



B. 8 3

C. 8

D. 6 3

间两条不同直线, A.若
C若

是空间两个不同平面,当
B .若 D .若

时,下列命题正确的是 ,则





,则 ,则 ,则

【答案】C 4 . (河北省唐山市 2014 届高三摸底考试数学(理)试题)某几何体的三视图如图所示,则它

的侧面积为

第 1 页 共 15 页

( A. 24 2
【答案】A 5 . (河北省张家口市蔚县一中 2014 届高三一轮测试数学试题)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中



B. 12 5

C.24

D. 12 3

与异面直线 AB , CC1 均垂直的棱有(

)条.

A. 1.
【答案】D

B. 2.

C. 3.

D. 4.

6 . (河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学(理)试题)一个空间几何体的三视图如

图,则该几何体的体积为





A. 2 3
【答案】D

B. 2 5

C.

4 3 3

D.

5 3 3

7 . (河北省唐山市 2014 届高三摸底考试数学(理)试题)直三棱柱 ABC-A1B1 C1 的六个顶点都

在球 O 的球面上.若 AB=BC=1, ∠ABC=120 ,AA1=2 3 ,则球 O 的表面积为
o





A. 4?
【答案】C

B. 16?

C. 24?

D. 8?

8 . (河北省衡水中学 2014 届高三上学期三调考试数学(理)试题)某四棱锥的三视图如图所

示,则最长的一条侧棱的长度是
第 2 页 共 15 页

( A. 2 5
【答案】B 9 . (河北省保定市八校联合体 2014 届高三上学期第一次月考数学(理科)试题)右图是一个



B. 29

C. 4 2

D. 13

几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4,腰长为 4 的等腰梯 形,则该几何体的侧面积是

正视图

侧视图

俯视图

( B. 12? C. 18? D. 24?



A. 6?
【答案】B

10. (河北省石家庄市无极中学 2014 届高三上学期第二次月考数学 (理) 试题) 四面体 S ? ABC

中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形, E , F 分别是 SC 和 AB 的中点,则异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( A. 90
0

)
0

( C. 45
0



B. 60 C

D. 30

0

【答案】 11. (河北省衡水中学 2014 届高三上学期三调考试数学(理)试题)已知 m 、 n 是两条不同的

直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,给出下列命题: ①若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? ;②若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n, 则 ? ? ? ; ③若 m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? ;④若 m / /? , n / / ? ,且 m / / n ,则 ? / / ? . 其中正确命题的个数是 A.1 B. 2 【答案】B
二、填空题 12. (河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学(理)试题)正三角形 ?ABC 的边长为

( C.3 D.4



2,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 1,此时四面体 ABCD 外接球的表面积
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为_____________.
【答案】

13? 3

13 . (河北省石家庄市无极中学 2014 届高三上学期第二次月考数学(理)试题) 在三棱柱

ABC ? A ' B ' C ' 中,已知 AA ' ? 平面 ABC, AB ? AC ? AA ' ? 2 , BC ? 2 3 ,且此三棱
柱的各个顶点都在一个球面上,则球的表面积为______.
【答案】

20?

14. (河北省石家庄市无极中学 2014 届高三上学期第二次月考数学(理)试题)如右图为一个

几何体的三视图,其中俯视图为正三角形,A1B1=2,AA1=4,求该几何体的表面积和体积.

【答案】 三、解答题

S ? 24 ? 2 3

V ?4 3

15. (河北省衡水中学 2014 届高三上学期三调考试数学 (理) 试题) 在三棱柱 ABC ?

A1 B1C1 中,

侧 面 ABB , AA1 ? 1A 1 为 矩 形 , AB ? 1

2 , D 为 AA1 的 中 点 , BD 与 AB1 交 于 点

O , CO ? 侧面 ABB 1A 1.
(Ⅰ)证明: BC ? AB1 ; (Ⅱ)若 OC ? OA ,求三棱锥 B1 ? ABC 的体积.

C
B

C1

B1
O
A

D

A1
ABC ? A1 B1C1 中 , 侧 面 ABB1 A1 为 矩

【 答 案 】 (1) 根 据 题 意 , 由 于 在 三 棱 柱

形, AB ? 1, AA 1 ?
第 4 页 共 15 页

2 , D 为 AA1 的中点, BD 与 AB1 交于点 O , CO ? 侧面 ABB1 A1 ,

那么在底面 ABB 1A 1 Z 中 , 利用相似三角形可知 , AB 1 ? BD , CO ? AB 1 , 进而得到

面BCD ? AB 1; 1 ,则可知 BC ? AB
(2) 如果 OC ? OA , 那 么利 用 AB ? 1, AA 1 ?

2 , D 为 AA1 的 中 点 , 勾 股定 理可 知
6 18

AC ? 2OA ,根据柱体的高,以及底面积可知三棱柱 B1 ? ABC 的体积为

16. (河北省保定市八校联合体 2014 届高三上学期第一次月考数学(理科)试题)如图,在底面

是直角梯形的四棱锥 P—ABCD 中, ?DAB ? 90? , PA ? 平面 ABCD,PA=AB=BC=3,梯形上 底 AD=1. (1)求证: BC ? 平面 PAB; (2)求面 PCD 与面 PAB 所成锐二面角的正切值; (3)在 PC 上是否存在一点 E,使得 DE//平面 PAB?若存在,请找出;若不存在,说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)证明:由题意

(Ⅱ)(法一)延长 BA、CD 交于 Q 点,过 A 作 AH⊥PQ,垂足为 H,连 DH 由(Ⅰ)及 AD∥BC 知:AD⊥平面 PAQ ∴ AD⊥PQ 且 AH⊥PQ 所以 PQ⊥平面 HAD,即 PQ⊥HD. 所以∠AHD 是面 PCD 与面 PBA 所成的二面角的平面角 易知 AQ ?

AQ ? PA 3 5 3 3 5 ,所以 AH ? ? , PQ ? 2 2 PQ 5
AD 5 ? AH 3 5 3

? tan ?AHD ?

所以面 PCD 与面 PAB 所成二面角的正切值为
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17 . ( 河 北 省 张 家 口 市 蔚 县 一 中 2014 届 高 三 一 轮 测 试 数 学 试 题 ) 如 图 , 在 直 三 棱 柱

ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 ,点 D 是 AB 的中点,
(1)求证: 平面ACC1 ? 平面BCC1 ; (2)求证: AC1 / / 平面CDB1

【答案】

(2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E ,连结 DE ,

18. (河北省正定中学 2014 届高三上学期第一次月考数学试题)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,

底面 ABCD 是正方形, SA ? 底面 ABCD , SA ? AB ,点 M 是 SD 的中点, AN ? SC 且交 SC 于点 N .

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(1) 求证:平面 SAC ? 平面 AMN ; (2)求二面角 D ? AC ? M 的余弦值.

【 答 案 】 解 析 :(1) 证 明 : ? SA ? 底 面 A B C D ,底面 ABCD 是正方形

? DC ? SA, DC ? DA
? DC ? 平面 SAD ,? DC ? AM

又? SA ? AD , M 是 SD 的中点,? AM ? SD ,? AM ? 平面 SDC ? SC ? AM 由已知 AN ? SC ,? SC ? 平面 AMN . 又 SC ? 平面 SAC ,? 平面 SAC ? 平面 AMN (2) 取 AD 的中点 F ,则 MF // SA .作 FQ ? AC 于 Q ,连结 MQ .

? SA ? 底面 ABCD ,? MF ? 底面 ABCD
? ?FQM 为二面角 D ? AC ? M 的平面角


? FQ ? AC ,? MQ ? AC

SA ? AB ? a



Rt?MFQ



MF ?

1 a 2 6 SA ? , FQ ? a , MQ ? MF 2 ? FQ2 ? a 2 2 4 4

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? cos?FQM ?

FQ 3 ? MQ 3

所以二面角 D ? AC ? M 的余弦值为

3 . 3

解法 2:(1)如图,以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,由于 SA ? AB ,可设

AB ? AD ? AS ? 1 ,则 A?0,0,0?, B?0,1,0?,

?1 1? C ?1,1,0?, D?1,0,0?, S ?0,0,1?, M ? ,0, ? ?2 2? ?1 1? ? AM ? ? ,0, ? , CS ? ?? 1,?1,1? ?2 2?

? AM ? CS ? 0 ,

? AM ? CS

又? SC ? AN 且 AN ? AM ? A ? SC ? 平面 AMN .又 SC ? 平面 SAC 所以,平面 SAC ? 平面 AMN (2)? SA ? 底面 ABCD ? AS 是平面 ABCD 的一个法向量, AS ? ?0,0,1? 设平面 ACM 的一个法向量为 n ? ?x, y, z ? ? AC ? ?1,1,0? , AM ? ? ,0, ? ,

?1 ?2

1? 2?

? ? ?n ? AC ? 0 则 ?? ? ?n ? AM ? 0

得 n ? ?1,?1,?1?

?

? 3 ? cos? AS,n? ? ? 3

? 二面角 D ? AC ? M 的余弦值是

3 . 3

19 . ( 河 北 省 高 阳 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知斜 三棱 柱

ABC ? A 1B 1C 1 的底面是直角三角形 , ?ACB ? 90 ,侧棱与底面所成角为 ? ,点 B 1 在
底面上的射影 D 落在 BC 上.

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(1)求证: AC ? 平面 B B1C1C ; (2)若 cos? ? ,且当 AC ? BC ? AA 1? 3 时,求二面角 C ? AB ? C1 的大小.

1 3

【答案】解:(1)∵点 B 1 在底面上的射影 D 落在 BC 上,∴ B1D ? 平面 ABC ,

AC ? 平面 ABC ,∴ B1 D ? AC 又∵ ?ACB ? 90 ∴ BC ? AC , B1 D I BC ? D ,
∴ AC ? 平面 BB1C1C (2)∵ B1D ? 平面 ABC ∴ ?B1 BD ? ? 即 cos ?B1 BD ?

1 3

? BD ? 1, DC ? 2
以 C 为原点, CA 为 x 轴, CB 为 y 轴,过 C 点且垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系,则 A(3, 0, 0) , B(0,3, 0) , C1 (0, ?1,2 2) , AB ? (?3,3,0) ,

uu u r

uuu r BC1 ? (0, ?4, 2 2) .显然,平面 ABC 的法向量 n ? (0,0,1)
设平面 ABC1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

uuu r ? ? ?m ? AB ? 0 ??3x ? 3 y ? 0 由 ? uuu ,即 ? , r ? 4 y ? 2 2 z ? 0 ? m ? BC ? 0 ? ? 1 ?

m ? ( 2, 2,2)
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∴ cos ? n, m ??

2 , ? n, m ?? 45? 2

∴二面角 C ? AB ? C1 的大小是 45 ?
20. (河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学(理)试题)已知四棱锥 P ? ABCD 中,

底面 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60?, PD ? 底面 ABCD , E 为 AB 的中点. (1)证明: DC ? 平面 PDE ; (2)若 PD ? 3 AD ,求面 DEP 与面 BCP 所成二面角的余弦值.

【答案】 (1)证明:

PD ? 底面ABCD

? PD ? AB

连接DB, 在菱形ABCD中,?DAB ? 60?
??DAB为等边三角形 又 E为AB的中点 PD ? DE =D

? AB ? DE 又

? AB ? 底面PDE
AB / / CD

?CD ? 底面PDE

(2)如图,分别以DE, DB, DP所在直线为x,y,z轴,如图建立空间直角坐标系

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设AD ? a,则PD ? 3a
? D(0, 0, 0), B( 3 1 a, a, 0), C (0, a, 0), P(0, 0, 3a) 2 2

由(1)知面PDE的法向量DC ? (0, a,0) . 设面PBC的法向量n ? ( x, y, z)
? ? BC n ? 0 则? ? ? PC n ? 0
又 BC =(3 1 a, a, 0), PC =(0, a, - 3a) 2 2

? 3 1 ax + ay =0 ??? 2 2 ?ay - 3az =0 ?

令x ? 1, 则y ? 3, z ? 1

?n ? (, 1 31 , )
? cos ? DC, n ?? DC n 3a 15 ? ? 5 | DC | | n | a ? 5
15 5

? 面PDE与面PBC所成角的余弦值为

21. (河北省邯郸市武安三中 2014 届高三第一次摸底考试数学理试题)如图,三棱柱 ABC—A1B1C1

中, 侧棱与底面垂直,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M 是 BC 中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面 AMC1; (Ⅱ)求直线 CC1 与平面 AMC1 所成角的正弦值; (Ⅲ)试问:在棱 A1B1 上是否存在点 N,使 AN 与 MC1 成角 60°?若存在,确定点 N 的位置;若 不存在,请说明理由.
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【答案】证明:(Ⅰ)连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OM.

∵ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, ∴四边形 ACC1A1 为矩形,O 为 A1C 的中点. 又∵M 为 BC 中点, ∴OM 为△A1BC 中位线, ∴A1B∥OM, ∵OM? 平面 AMC1,A1B?平面 AMC1, 所以 A1B∥平面 AMC1. 解:(Ⅱ)由 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,且∠ABC=90°, 故 BA,BC,BB1 两两垂直.可建立如图空间直角坐标系 B﹣xyz. 设 BA=2,则 B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),M(1,0,0). 则 =(1,﹣2,0), =(2,﹣2,1),

设平面 AMC1 的法向量为 =(x,y,z),则有

,即

所以取 y=1,得 =(2,1,﹣2). 又∵ =(0,0,1)

∴直线 CC1 与平面 AMC1 所成角 θ 满足 sinθ = =

故直线 CC1 与平面 AMC1 所成角的正弦值为 解:(Ⅲ)假设存在满足条件的点 N. ∵N 在线段 A1B1 上,A1(0,2,1),B1(0,0,1), 故可设 N(0,λ ,1),其中 0≤λ ≤2. ∴ =(0,λ ﹣2,1), =(1,0,1).

∵AN 与 MC1 成 60°角, ∴ = = .

第 12 页 共 15 页

即,解得 λ =1,或 λ =3(舍去). 所以当点 N 为线段 A1B1 中点时,AN 与 MC1 成 60°角.

22. (河北省唐山市 2014 届高三摸底考试数学 (理) 试题) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD、

ADEF、ABGF 均为全等的直角梯形,且 BC∥AD,AB=AD=2BC. (I)求证:CE∥平面 ABGF; (II)求二面角 G-CE-D 的余弦值.

∥ 【答案】解: (Ⅰ )连结 BF,由题意,可知 BC? EF,

故四边形 BCEF 是平行四边形,所以 CE∥ BF. 又 CE? / 平面 ABGF,BF?平面 ABGF, 所以 CE∥ 平面 ABGF.
z F G E

…5 分

A B x C

D y

第 13 页 共 15 页

23 . (河北省张家口市蔚县一中 2014 届高三一轮测试数学试题) 如图 , 四棱锥 S ? ABCD

中, SD ? 面ABCD , BC // AD , ?ABD ? 90 , BC ? SD ? (1)证明: AB ? 平面SDB ; (2)若 M 为 BS 中点,求二面角 M ? CD ? B 的余弦值.

1 AD ? 1 . 2

【答案】

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