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吉林省长春十一中2015届高三上学期期中考试 数学理


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长春市十一高中 2014-2015 学年度高三上学期期中考试 数 学 试 题 (理)
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.若集合 M ? x x ? 2 ? 0 , N ? x log 2 ( x ? 1) ? 1 ,则 M ? N ? ( A. {x | 2 ? x ? 3} C. {x | x ? 3} B. {x | x ? 1} D. {x |1 ? x ? 2}

?

?

?

?



2.复数

i3 ( i 为虚数单位)的虚部是( 2i ? 1
1 i 5
B.

) C. ? i

A.

1 5
1

1 5

D. ?

1 5

3.已知 log 1 b ? log 1 a ? 0 ? c 2 ? 1 ,则(
2 2
a c



A. 2 ? 2 ? 2
b

B. 2 ? 2 ? 2
a b c a

c

C. 2 ? 2 ? 2
c b

a

D. 2 ? 2 ? 2

b

4.已知 sin 2? ? A.

4 5

1 ? ,则 cos 2 (? ? ) ? ( ) 5 4 3 2 B. C. 5 5

D.

1 5

5.函数 y ? f ( x) 在区间 (?2,2) 上的图象是连续不断的, 且方程 f ( x) ? 0 在 (?2,2) 上仅有一 个实根 x ? 0 ,则 f (?1) f (1) 的值( A.大于 0 C.等于 0 ) B.小于 0 D.与 0 的大小关系无法确定

6.设 P ( x, y ) 是函数 y ? A. 3

2 ) ? ln x 图象上的点,则 x ? y 的最小值为( x 7 B. 2 C. ? ln 2 D. 3 ? ln 2 2

7.在等比数列 ?an ?中, a7 是 a8 , a9 的等差中项,公比 q 满足如下条件: ?OAB ( O 为原点)

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中, OA ? (1,1) , OB ? (2, q ) , ?A 为锐角,则公比 q 等于( A. 1 8.能够把椭圆 C : B. ? 1 C. ? 2



D. 1 或 ? 2

x2 y2 ? ? 1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 f ( x) 称为椭圆 C 4 8
) B. f ( x) ? 1n

的“亲和函数”,下列函数是椭圆 C 的“亲和函数”的是( A. f ( x) ? x ? x
3 2

5? x 5? x
?x

C. f ( x) ? sin x ? cos x 9. 若函数 f ( x) ? ?

D. f ( x) ? e ? e
x

1 ax e (a ? 0, b ? 0) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,则 b
) B. 2 2 C. 2 D. 2

a ? b 的最大值是(
A. 4

10.已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且在区间 (??,0) 是单调递增的,若 S1 ?

?

2

1

x 2 dx ,

S2 ? ?

2

1

2 1 dx , S3 ? ? e x dx ,则下列不等式中一定成立的是( 1 x



A. f ( S1 ) ? f ( S 2 ) ? f ( S3 ) C. f ( S 2 ) ? f ( S1 ) ? f ( S3 )

B. f ( S3 ) ? f ( S 2 ) ? f ( S1 ) D. f ( S3 ) ? f ( S1 ) ? f ( S 2 ) )

11.关于方程 log 2 x ? lg( x ? 1) 的两个根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 以下说法正确的是( A. x1 ? x2 ? 2 C. 0 ? x1 x2 ? 1 12. 已知双曲线 B. x1 x2 ? 2 D. 1 ? x1 ? x2 ? 2

x2 y2 过双曲线中心的直线交双曲线于 A, B ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 C , a2 b2
2 ? ln | k1 | ? ln | k 2 | 最小时,双曲线离 k1 k 2

两点,记直线 AC , BC 的斜率分别为 k1 , k 2 ,当 心率为( A. ) B. 3

2

C. 2 ? 1

D. 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 在 点 M (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 y ?

1 x?2 , 则 2

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f (1) ? f ?(1) ?

.

? 2x , x?t ? 14.设 t ? 0 ,函数 f ( x) ? ?log x, x ? t 的值域为 M ,若 4 ? M ,则 t 的取值范围 1 ? ? 2
是 .

15. 在等比数列 ?a n ? 中,若 a7 ? a8 ? a9 ? a10 ?

15 9 , a8 ? a9 ? ? ,则 8 8

1 1 1 1 ? ? ? ? a7 a8 a9 a10

.

16.某学生对函数 f ( x) ? 2 x cos x 的性质进行研究,得出如下的结论: ①函数 f ( x) 在 ?? ? ,0? 上单调递增,在 ?0, ? ? 上单调递减; ②点 (

?
2

,0) 是函数 y ? f ( x) 图象的一个对称中心;

③函数 y ? f ( x) 图象关于直线 x ? ? 对称; ④存在常数 M ? 0 ,使 f ( x) ? M x 对一切实数 x 均成立. 其中正确的结论是__________ .(填写所有你认为正确结论的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,其中 17 题 10 分,18-22 各 12 分,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,边 a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,且满足:

b cos C ? (3a ? c) cos B .
(1)求 cos B ;

[]

(2)若 BC ? BA ? 4 , b ? 4 2 ,求边 a , c 的值.

18.(本小题满分 12 分) 设数列 ?a n ? 的各项都是正数,且对任意 n ? N * ,都有 (an ? 1)(an ? 3) ? 4 S n ,其中 S n 为数 列 ?a n ? 的前 n 项和.
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(1)求证数列 ?a n ? 是等差数列; (2)若数列 ?

? 4 ? ? 的前 n 项和为 Tn 求 Tn 。 2 ? an ? 1 ?

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, CD ? 平面 PAD , BC // AD ,

PA ? PD , O, E 分别为 AD, PC 的中点, PO ? AD ? 2 BC ? 2CD .
(1)求证: AB ? DE ; (2)求二面角 A ? PC ? O 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax e
3 x ?1

? bx 3 ? c 在 x ? 1 处取得极值 2b ? c ? 7 , a, b, c 为常数,

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(1)试确定 a, b 的值;

[]

(2)当 x ? ?? 4,?? ? 时,讨论函数 f ( x) 的单调区间; (3)若存在 x ? 0 ,使得不等式 f ( x) ? c ? 2c ? 1 成立,求 c 的取值范围.
2

21.(本小题满分 12 分) 设点 F1 ( ?c,0), F2 (c,0) 分别是椭圆 C : 一点,且 PF1 ? PF2 的最小值为 0 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M,N 是直线 l 上的两 点,且 F1M ? l , F2 N ? l ,求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 1) 的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意 2 a

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处的
2

切线为 l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l 2 , 并且 l1 与 l 2 平行. (1)求 f (2) 的值; (2)已知实数 t ? R ,求函数 y ? f ?xg ( x) ? t ? , x ? ?1, e? 的最小值; (3) 令 F ( x) ? g ( x) ? g ?( x) , 给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 , 对于两个大于 1 的正数 ? , ? , 存 在 实 数 m 满 足 : ? ? mx1 ? (1 ? m) x 2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx 2 , 并 且 使 得 不 等 式

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F (? ) ? F ( ? ) ? F ( x1 ) ? F ( x 2 ) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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长春市十一高中 2014-2015 学年度高三上学期期中考试 数 学 试 题 (理) 答 案

一选择题 题号 答案 二填空题 13、3 三解答题 17 14、 ? 1 A 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A 7 C 8 B 9 D 10 D 11 D 12 B

? 1 ? ,2? ? 16 ?

15、 ?

5 3

16、④

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18、

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19



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