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执信中学2016届高三级第一学期期中考试(理数答案)


数学(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 B 5 C 6 D 7 B 8 B 9 B 10 A 11 C 12 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. 1/2 14.

y ? 3x ? 4

15.

m ? ?1 或 0 ? m ? 3

16. ①③④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.解: (Ⅰ) 依题意可设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx (a ? 0) 则 f ' ( x) ? 2ax ? b

? f ' ( x) ? 6x ? 2, a ? 3, b ? ?2,? f ( x) ? 3x2 ? 2x . …………………2 分 * 点 (n, Sn ) (n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,

? Sn ? 3n2 ? 2n …………………3 分
2 2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 3n ? 2n ? ? ?3(n ? 1) ? 2(n ? 1) ? ? ? 6n ? 5 ………………5 分

* 当 n ? 1 时 a1 ? 1 也适合,?an ? 6n ? 5. (n ? N ) ………………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 故 Tn ?

3 3 1 1 1 ? ? ( ? ). ………7 分 an an?1 (6n ? 5) ?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? L ? ( ? ) ? ? (1 ? ). …………………9 分 ? 2? 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? 2 6n ? 1 1 1 m 1 m )? (n ? N * ) 成立, m 必须且仅需满足 ? ……11 分 因此,要使 (1 ? 2 6n ? 1 2016 2 2016 1008 ………………………12 分 即 m ? 1008,?满足要求的最小正整数m为
18.

-1-

20、解:(I)设 P ( x, y ) 是直线 C 上任意一点,那么点 P( x, y )满足:

( x ? 1) 2 ? y 2 ? x ? 1( x ? 0)

-2-

化简得 y 2 ? 4 x( x ? 0) (II)设过点 M(m,0) (m ? 0) 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ) 设 l 的方程为 x ? ty ? m ,由 ?

?x ? ty ? m
2 ?y ? 4 x

得 y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 ,

? y1 ? y 2 ? 4t ? ? 16(t 2 ? m) ? 0 . 于是 ? ? y1 y 2 ? ?4m
又 FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 )



FA? FB ? 0 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2 ? 0
又x ?
2



y2 ,于是不等式②等价于 4
2 2 2

y1 y 2 y y ? ? y1 y 2 ? ( 1 ? 2 ) ? 1 ? 0 4 4 4 4

( y1 y 2 ) 2 1 ? ? y1 y 2 ? [( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 ] ? 1 ? 0 16 4
由①式,不等式③等价于 m2 ? 6m ? 1 ? 4t 2 ④



对任意实数 t, 4t 2 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于

m 2 ? 6m ? 1 ? 0 ,即 3 ? 2 2 ? m ? 3 ? 2 2
由此可知,存在正数 m,对于过点 M( m ,0)且与曲线 C 有 A,B 两个交点的任一直线,都有 FA ? FB ? 0 ,且 m 的取值范围是 (3 ? 2 2 ,3 ? 2 2 ) 21.解: (1)函数定义域为: x x ? 0, 且x ? 1 ,对函数 f ( x) 求导: f ?( x) ? 若函数 f ( x) 在 (1,??) 上为减函数,则 f ?( x ) ?

?

?

ln x ? 1 ? a ? 0 在 (1,??) 恒成立 ln 2 x

ln x ? 1 ? a, ln 2 x

? ( x) ? 0 ………2 分 所以: f max
ln x ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ( x) ? ? a ? 0 ? a ? ?( ? ) 2 ? ? a ,故当 ? ,即 x ? e 2 时, f max 2 ln x 2 4 ln x 2 4 ln x 1 1 所以: a ? ,所以 a 的最小值是 ………………5 分 4 4
由 f ?( x) ? (2)若存在 x1 , x2 ? e, e 2 ,使 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ? a 成立,则问题等价为:
-3-

?

?

? ( x) ? a 当 x1 , x2 ? e, e 2 时, f min ( x) ? f max
由(1)知: f ?( x) 在 x ? e, e 2 的最大值为 所以问题转化为: f min ( x ) ? (ⅰ)当 a ?

?

?

? ?

1 1 ? ( x) ? a ? ? a ,所以 f max 4 4

1 ………………7 分 4

1 时,由(1)知: f ( x) 在 e, e 2 是减函数, 4 1 1 e2 1 ? ae2 ? ,解得: a ? ? 2 2 4e 2 4

?

?

所以 f ( x) 的最小值是 f (e 2 ) ?

(ⅱ)当 a ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ) 2 ? ? a 在 e, e 2 的值域是 ?? a, ? a ? 时, f ?( x ) ? ?( 4 4 ln x 2 4 ? ?

?

?

①当 ? a ? 0 ,即 a ? 0 时, f ( x) 在 e, e 2 是增函数,于是:

?

?

f min ( x) ? f (e) ? e ? ae ? e ?
②当 ? a ? 0 ,即 0 ? a ?

1 ,矛盾 4

1 2 时,由 f ?( x) 的单调性和值域知:存在唯一的 x0 ? e.e ,使得 f ?( x0 ) ? 0 4

? ?

2 且当 x ? ?e, x0 ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? x0 , e 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数

?

?

所以: f ( x) 的最小值为 f ( x0 ) ?

x0 1 ? ax0 ? , ln x0 4

即: a ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ,矛盾 2 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4e 4
1 1 ? 2 2 4e

综上有: a ?

22. 证明: (1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点,

PN NA ? , BN PN 又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA . ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , ………5 分 ∴△ APM ∽△ ABP .
∴ MN 2 ? PN 2 ? NA ? NB , ∴

M N P C O A D B

(2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP , ∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP , ∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形. ………10 分 23.解析: (1)由极直互化公式得:
-4-

C1 : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

C2 : x ? y ? 4 ? 0 ………4 分

联立方程解得交点坐标为 (0,4), (2,2) ………5 分 (2)由(1)知: P(0,2) , Q(1,3) 所以直线 PQ : x ? y ? 2 ? 0 , 化参数方程为普通方程: y ?

b ab x? ? 1, 2 2

? b ? 2 ?1 对比系数得: ? , a ? ?1, b ? 2 ………10 分 ab ?1 ? ?2 2 ?
24.解析 (1) a ? 1 , f ( x) ? 3x ? 1 ? x ? 3 ? 4 ,即: 3x ? 1 ? 1 ? x

x ? 1 ? 3x ? 1 ? 1 ? x ,解得: 0 ? x ?

1 ? 1? ,所以解集为: ?0, ? ………5 分 2 ? 2?

1 ? ?(3 ? a) x ? 2, x ? 3 ?a ? 3 ? 0 (2) f ( x) ? ? , f ( x) 有最小值的充要条件为: ? , 1 ?a ? 3 ? 0 ?(a ? 3) x ? 4, x ? 3 ? ……… 10 即: ? 3 ? a ? 3 分

-5-


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