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天全县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

天全县第一中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 若函数 f ( x) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是(
2

座号_____

姓名__________

分数__________


A. ? ??, 40? ? ? 64, ?? ? A. ?1,3? x2

B. [40, 64]

2. 集合 A ? ? x | ln x ? 0? , B ? x | x ? 9 ,则 A ? B ? (
2

?

?

C. ? ??, 40?

D. ? 64, ?? ? ) C. ?1, ?? ? D. ? e,3?

B. ?1,3? ) B.?x∈R,x2﹣2x+3≤0

3. ?x∈R,x2﹣2x+3>0 的否定是( A.不存在 x∈R,使? ﹣2x+3≥0

C.?x∈R,x2﹣2x+3≤0 D.?x∈R,x2﹣2x+3>0 4. 若 f ( x) ? ? A.8

? f ( x ? 2), ( x ? 2) 则 f (1) 的值为( ?x ( x ? 2) ?2 ,
1 8
C.1﹣k C.2 D.



B.

1 2


5. 已知 f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若 f(2016)=k,则 f(﹣2016)=( A.k B.﹣k D.2﹣k

6. 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则复数 A. 1 ? i B. 1 ? i C. 2 ? i )

2 2 ?z ?( z D. 2 ? i



【命题意图】本题考查复数的有关概念,复数的四则运算等基础知识,意在考查学生的基本运算能力. 7. 下列命题中的说法正确的是( A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件 C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x2+x+1>0” D.命题“在△ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的逆否命题为真命题   8. 与椭圆 A. C.   B. D. 有公共焦点,且离心率 的双曲线方程为( )

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9. 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=﹣1,其导函数 f′(x)满足 f′(x)>k>1,则下列结论中一 定错误的是( A.   10. A.﹣i =( ) ) B. C. D.

B.iC.1+i D.1﹣i )

11.已知角 θ 的终边经过点 P(4,m),且 sinθ= ,则 m 等于( A.﹣3 B.3 C. D.±3 ,则( )

  12.设 D 为△ABC 所在平面内一点, A. C. B. D.

二、填空题
13.若正数 m、n 满足 mn﹣m﹣n=3,则点(m,0)到直线 x﹣y+n=0 的距离最小值是      .   14.在(x2﹣ )9 的二项展开式中,常数项的值为      . 15.已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asinA=bsinB+(c﹣b)sinC,且 bc=4,则△ABC 的 面积为      . 16.当 时,4x<logax,则 a 的取值范围  .

  17.已知 f ( x) 是定义在 R 上函数, f ?( x) 是 f ( x) 的导数,给出结论如下: ①若 f ?( x) ? f ( x) ? 0 ,且 f (0) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? e 的解集为 (0, ??) ;
?x

②若 f ?( x) ? f ( x) ? 0 ,则 f (2015) ? ef (2014) ; ③若 xf ?( x) ? 2 f ( x) ? 0 ,则 f (2 ④若 f ?( x) ?
n ?1

) ? 4 f (2n ), n ? N ? ;

f ( x) ? 0 ,且 f (0) ? e ,则函数 xf ( x) 有极小值 0 ; x ex ⑤若 xf ?( x) ? f ( x) ? ,且 f (1) ? e ,则函数 f ( x) 在 (0, ??) 上递增. x
其中所有正确结论的序号是 18.直线 ax+ by=1 与圆 x2+y2=1 . 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐

标原点),则点 P(a,b)与点(1,0)之间距离的最小值为      .

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三、解答题
19.已知 p:2x2﹣3x+1≤0,q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0 (1)若 a= ,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.  

20.已知函数 f(x)=alnx+ (I)求 a、b 的值; (Ⅱ)当 x>1 时,不等式 f(x)>  

,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=2.

恒成立,求实数 k 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,AD 是 BC 边上的中线. (1)求证:AD=1 2b2+2c2-a2; 2 (2)若 A=120°,AD= 19,sin B=3,求△ABC 的面积. 2 sin C 5

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22.已知函数 f(x)= ? ,其中 =(2cosx, (1)求函数 y=f(x)的单调递增区间;

sin2x), =(cosx,1),x∈R. ,且 sinB=2sinC,求△ABC 的面

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,f(A)=2,a= 积.

23.已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (1)若 0<α< ,且 sinα= ,求 f(α)的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.

24.在等比数列{an}中,a3=﹣12,前 3 项和 S3=﹣9,求公比 q.

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天全县第一中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】 试题分析 : 根据 f ? x ? ? 4 x ? kx ? 8 可知, 函数图象为开口向上的抛物线, 对称轴为 x ?
2

k , 所以若函数 f ? x ? 8

在区间 ?5,8? 上为单调函数,则应满足:

k k ? 5 或 ? 8 ,所以 k ? 40 或 k ? 64 。故选 A。 8 8

考点:二次函数的图象及性质(单调性)。 2. 【答案】B 【解析】 试题分析:因为 A ? ? x | ln x ? 0? ? A ? ? x | x ? 1? , B ? x | x ? 9 ? B ? ? x | ?3 ? x ? 3? ,所以 A ? B ?
2

?

?

? x |1 ? x ? 3? ,故选 B.
考点:1、对数函数的性质及不等式的解法;2、集合交集的应用. 3. 【答案】C 【解析】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,?x∈R,x2﹣2x+3>0 的否定是:?x∈R,x2﹣2x+3≤0. 故选:C.   4. 【答案】B 【解析】 试题分析: f ?1? ? f ? 3? ? 2 考点:分段函数。 5. 【答案】D 【解析】解:∵f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),f(2016)=k, ∴f(2016)=20163a+2016b+1=k, ∴20163a+2016b=k﹣1, ∴f(﹣2016)=﹣20163a﹣2016b+1=﹣(k﹣1)+1=2﹣k. 故选:D. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.   6. 【答案】A 【 解 析 】
?3

?

1 ,故选 B。 8

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7. 【答案】D 【解析】解:A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2≠1,则 x≠1”,故 A 错误, B.由 x2+5x﹣6=0 得 x=1 或 x=﹣6,即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件,故 B 错误, C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x2+x+1≤0﹣5,故 C 错误, D.若 A>B,则 a>b,由正弦定理得 sinA>sinB,即命题“在△ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的为真命 题.则命题的逆否命题也成立,故 D 正确 故选:D. 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断,含有量词的命 题的否定,比较基础.   8. 【答案】 A 【解析】解:由于椭圆的标准方程为:

则 c2=132﹣122=25 则 c=5 又∵双曲线的离心率 ∴a=4,b=3 又因为且椭圆的焦点在 x 轴上, ∴双曲线的方程为: 故选 A 【点评】运用待定系数法求椭圆(双曲线)的标准方程,即设法建立关于 a,b 的方程组,先定型、再定量, 若位置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n) ,双 曲线方程可设为 mx2﹣ny2=1(m>0,n>0,m≠n),由题目所给条件求出 m,n 即可.   9. 【答案】C 【解析】解;∵f′(x)= f′(x)>k>1,

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∴ 即 当 x= 即 f( 故 f( 所以 f( 故选:C.   10.【答案】 B 【解析】解: 故选:B. = >k>1, 时,f( ) )> )< ,

>k>1,

)+1> ﹣1=

×k=



,一定出错,

=

=i.

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,复数的除法的运算法则的应用,考查计算能力.   11.【答案】B 【解析】解:角 θ 的终边经过点 P(4,m),且 sinθ= , 可得 解得 m=3. 故选:B. 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用,基本知识的考查.   12.【答案】A 【解析】解:由已知得到如图 由 故选:A. = = = ; ,(m>0)

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【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用;关键是想法将向量  

表示为



二、填空题
13.【答案】   . ,

【解析】解:点(m,0)到直线 x﹣y+n=0 的距离为 d= ∵mn﹣m﹣n=3, ∴(m﹣1)(n﹣1)=4,(m﹣1>0,n﹣1>0), ∴(m﹣1)+(n﹣1)≥2 ∴m+n≥6, 则 d= 故答案为: . ≥3 . ,

【点评】本题考查了的到直线的距离公式,考查了利用基本不等式求最值,是基础题.   14.【答案】 84 . 【解析】解:(x2﹣ )9 的二项展开式的通项公式为 Tr+1= 令 18﹣3r=0,求得 r=6,可得常数项的值为 T7= 故答案为:84. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题.   15.【答案】   . 【解析】解:∵asinA=bsinB+(c﹣b)sinC, ∴由正弦定理得 a2=b2+c2﹣bc,即:b2+c2﹣a2=bc, ∴由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2accosB, ∴cosA= = = ,A=60°.可得:sinA= , = =84, ?(﹣1)r?x18﹣3r,

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∵bc=4, ∴S△ABC= bcsinA= 故答案为: 【点评】本题主要考查了解三角形问题.考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用,考查了三角形面积公式的 应用,属于中档题.   16.【答案】   . = .

【解析】解:当

时,函数 y=4x 的图象如下图所示

若不等式 4x<logax 恒成立,则 y=logax 的图象恒在 y=4x 的图象的上方(如图中虚线所示) ∵y=logax 的图象与 y=4x 的图象交于( ,2)点时,a= 故虚线所示的 y=logax 的图象对应的底数 a 应满足 故答案为:( ,1) <a<1

  17.【答案】②④⑤ 【解析】解析:构造函数 g ( x) ? e f ( x) , g ?( x) ? e [ f ( x) ? f ?( x)] ? 0 , g ( x) 在 R 上递增,
x x

? e x f ( x) ? 1 ? g ( x) ? g (0) ? x ? 0 ,∴①错误; f ( x) f ?( x) ? f ( x) ? 0 , g ( x) 在 R 上递增,∴ g (2015) ? g (2014) , 构造函数 g ( x) ? , g ?( x) ? x e ex ∴ f (2015) ? ef (2014) ∴②正确; 2 2 构造函数 g ( x) ? x f ( x) , g ?( x) ? 2 xf ( x) ? x f ?( x) ? x[2 f ( x) ? xf ?( x)] ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,∴
∴ f ( x) ? e

?x

g (2n ?1 ) ? g (2n ) ,∴ f (2n ?1 ) ? 4 f (2n ) ,∴③错误;
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? xf ( x) ?? ? 0 ,∴函数 xf ( x) 在 (0, ??) 上递增,在 (??, 0) 上递 f ( x) xf ?( x) ? f ( x) ?0得 ? 0 ,即 x x x 减,∴函数 xf ( x) 的极小值为 0 ? f (0) ? 0 ,∴④正确;
由 f ?( x) ? 由 xf ?( x) ? f ( x) ?

ex e x ? xf ( x) x x 得 f ?( x) ? ,设 g ( x) ? e ? xf ( x) ,则 g ?( x) ? e ? f ( x) ? xf ?( x) x x2

ex ex ? ( x ? 1) ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,∴当 x ? 0 时, g ( x) ? g (1) ? 0 , x x 即 f ?( x) ? 0 ,∴⑤正确. ? ex ?
18.【答案】   .

【解析】解:∵△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点), ∴圆心到直线 ax+ 即 d= = by=1 的距离 d= , ,

整理得 a2+2b2=2, 则点 P(a,b)与点 Q(1,0)之间距离 d= ∴点 P(a,b)与点(1,0)之间距离的最小值为 故答案为: . . = ≥ ,

【点评】本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式,考查学生的计算能力.  

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:p: ∴(1)若 a= ,则 q: ∵p∧q 为真,∴p,q 都为真; ∴ ,∴ ; ,q:a≤x≤a+1; ;

∴实数 x 的取值范围为



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(2)若 p 是 q 的充分不必要条件,即由 p 能得到 q,而由 q 得不到 p; ∴ ,∴ ; .

∴实数 a 的取值范围为

【点评】考查解一元二次不等式,p∧q 真假和 p,q 真假的关系,以及充分不必要条件的概念.   20.【答案】 【解析】解:(I)∵函数 f(x)=alnx+ f′(x)= ﹣ 的导数为

,且直线 y=2 的斜率为 0,又过点(1,2),

∴f(1)=2b=2,f′(1)=a﹣b=0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解得 a=b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (II)当 x>1 时,不等式 f(x)> 即(k﹣1)lnx+ >0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,g′(x)= +1+ = ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,即为(x﹣1)lnx+ >(x﹣k)lnx,

令 g(x)=(k﹣1)lnx+ 令 m(x)=x2+(k﹣1)x+1, ①当

≤1 即 k≥﹣1 时,m(x)在(1,+∞)单调递增且 m(1)≥0,

所以当 x>1 时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)单调递增, 则 g(x)>g(1)=0 即 f(x)> ②当 恒成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ )上单调递减,

>1 即 k<﹣1 时,m(x)在上(1,

且 m(1)<0,故当 x∈(1, 所以函数 g(x)在(1, 当 x∈(1,

)时,m(x)<0 即 g′(x)<0, )单调递减,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

)时,g(x)<0 与题设矛盾,

综上可得 k 的取值范围为[﹣1,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 21.【答案】 【解析】解:

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(1)证明:∵D 是 BC 的中点, ∴BD=DC=a. 2

a2 法一:在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得 c2=AD2+ -2AD· 4 acos∠ADB,① 2 2 b2=AD2+a -2AD·a·cos∠ADC,② 4 2 2 ①+②得 c2+b2=2AD2+a , 2 即 4AD2=2b2+2c2-a2, ∴AD=1 2b2+2c2-a2. 2 法二:在△ABD 中,由余弦定理得 AD2=c2+a -2c·acos B 4 2 2+c2-b2 2 a a 2 =c + -ac· 4 2ac 2b2+2c2-a2 = , 4 ∴AD=1 2b2+2c2-a2. 2 (2)∵A=120°,AD=1 19,sin B=3, 2 sin C 5 由余弦定理和正弦定理与(1)可得
2

a2=b2+c2+bc,① 2b2+2c2-a2=19,②

b=3,③ c 5

联立①②③解得 b=3,c=5,a=7, 15 3 ∴△ABC 的面积为 S=1bc sin A=1×3×5×sin 120°= . 4 2 2 即△ABC 的面积为15 3. 4 22.【答案】 【解析】解:(1)f(x)= ? =2cos2x+ sin2x= sin2x+cos2x+1=2sin(2x+ )+1,

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令﹣ 解得﹣

+2kπ≤2x+ +kπ≤x≤



+2kπ,

+kπ, +kπ, +kπ],

函数 y=f(x)的单调递增区间是[﹣ (Ⅱ)∵f(A)=2 ∴2sin(2A+ )+1=2,即 sin(2A+ .…

)=

….

又∵0<A<π,∴A= ∵a= ,

由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣3bc=7 ∵sinB=2sinC∴b=2c ②… 由①②得 c2= .… ∴S△ABC=   23.【答案】 【解析】解:(1)∵0<α< ∴cosα= , ,且 sinα= , .…

①…

∴f(α)=cosα(sinα+cosα)﹣ , = ×( + )﹣

= . (2)f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . =sinxcosx+cos2x﹣ = sin2x+ cos2x = ∴T= 由 2kπ﹣ sin(2x+ =π, ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,k∈Z, ),

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∴f(x)的单调递增区间为[kπ﹣   24.【答案】 【解析】解:由已知可得方程组

,kπ+

],k∈Z.



第二式除以第一式得

= ,

整理可得 q2+4q+4=0,解得 q=﹣2.  

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