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等差数列同步练习

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等差数列同步练习
一.选择题(共 26 小题) 1.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则公差 d 的值为( ) A. B.1 C.

金老师

D.﹣1

2.已知数列{an}的通项公式是 an=2n+5,则此数列是( ) A.以 7 为首项,公差为 2 的等差数列 B. 以 7 为首项,公差为 5 的等差数列 C. 以 5 为首项,公差为 2 的等差数列 D.不是等差数列 3.在等差数列{an}中,a1=13,a3=12,若 an=2,则 n 等于( ) A.23 B.24 C.25 4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=6,a4=8,则公差 d=( A.一 1 B.2 C.3 5.两个数 1 与 5 的等差中项是( A.1 B.3 ) C.2 D. ) ) D.一 2

D.26

6.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是( A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣5? 7. (2012?福建)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A.1 B.2 C.3 8. 数列 A.0 的首项为 3, 为等差数列且 B.8 C.3 , 若 ) D.4 , D.11 ) , 则

= (



9.已知两个等差数列 5,8,11,…和 3,7,11,…都有 100 项,则它们的公共项的个数为( A.25 B.24 C.20 D.19 10.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若满足 an=an﹣1+2(n≥2) ,且 S3=9,则 a1=( ) A.5 B.3 C.﹣1 D.1 11. (2005?黑龙江)如果数列{an}是等差数列,则( A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8=a4+a5 ) C.a1+a8<a4+a5

D.a1a8=a4a5

12. (2004?福建)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 B.﹣1 C.2

=(

) D.

13. (2009?安徽)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( A.﹣1 B.1 C.3

) D.7

14.在等差数列{an}中,a2=4,a6=12, ,那么数列{ A. B.

}的前 n 项和等于( C.

) D.

15.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项的和,a2+a5=4,S7=21,则 a7 的值为( A.6 B.7 C.8 16.已知数列{an}为等差数列,a1+a3+a5=15,a4=7,则 s6 的值为( A.30 B.35 C.36 17. (2012?营口) 等差数列{an}的公差 d<0, 且 A.5 B.6 )

) D.9

D.24 )

, 则数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数 n 是 ( C.5 或 6 D.6 或 7 ) D.176 ) D.2 ) D.9 ) D.5

18. (2012?辽宁)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 B.88 C.143 19.已知数列{an}等差数列,且 a1+a3+a5+a7+a9=10,a2+a4+a6+a8+a10=20,则 a4=( A.﹣1 B.0 C.1 20. (理)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣8n,第 k 项满足 4<ak<7,则 k=( A.6 B.7 C.8 21.数列 an 的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2n ﹣17n,则当 Sn 取得最小值时 n 的值为( A.4 或 5 B.5 或 6 C.4 22.等差数列{an}中,an=2n﹣4,则 S4 等于( A.12 B.10 ) C.8 )
2 2

D.4

23.若{an}为等差数列,a3=4,a8=19,则数列{an}的前 10 项和为( A.230 B.140 C.115 24.等差数列{an}中,a3+a8=5,则前 10 项和 S10=( A.5 B.25 ) C.50

D.95

D.100

25.设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,且 S1,S2,S4 成等比数列,则 A.1 B.2 C.3

等于( D.4



26.设 an=﹣2n+21,则数列{an}从首项到第几项的和最大( ) A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 10 项或 11 项

D.第 12 项

二.填空题(共 4 小题)
2

27.如果数列{an}满足:

= _________ .

28.如果 f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…) ,且 f(1)=2,则 f(100)= _________ . 29.等差数列{an}的前 n 项的和 ,则数列{|an|}的前 10 项之和为 _________ .

30.已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式: (Ⅱ )若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== (n 为正整数) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

3

参考答案与试题解析
一.选择题(共 26 小题) 1.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则公差 d 的值为( ) A. B.1 C. D.﹣1

解答: 解:等差数列{an}中,a3=9,a9=3, 由等差数列的通项公式,可得

解得 故选 D

,即等差数列的公差 d=﹣1.

2.已知数列{an}的通项公式是 an=2n+5,则此数列是( ) A.以 7 为首项,公差为 2 的等差数列 B. 以 7 为首项,公差为 5 的等差数列 C. 以 5 为首项,公差为 2 的等差数列 D.不是等差数列 解答: 解:因为 an=2n+5, 所以 a1=2×1+5=7; an+1﹣an=2(n+1)+5﹣(2n+5)=2. 故此数列是以 7 为首项,公差为 2 的等差数列. 故选 A. 3.在等差数列{an}中,a1=13,a3=12,若 an=2,则 n 等于( ) A.23 B.24 C.25 解答: 解:由题意得 a3=a1+2d=12,把 a1=13 代入求得 d=﹣ , 则 an=13﹣ (n﹣1)=﹣ n+ 故选 A 4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=6,a4=8,则公差 d=( A.一 1 B.2 C.3 解答: 解:∵ 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S3=6, ∴2=2 a ∵4=8, a ∴ 8=2+2d ∴ d=3, 故选 C. ) D.一 2 =2,解得 n=23

D.26

4

5.两个数 1 与 5 的等差中项是( A.1 B.3 解答: 解:1 与 5 的等差中项为: 故选 B.

) C.2 D.

=3,

6.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是( A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣5? 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, 所以 a6=23+5d,a7=23+6d, 又因为数列前六项均为正数,第七项起为负数, 所以 ,



因为数列是公差为整数的等差数列, 所以 d=﹣4. 故选 C. 7. (2012?福建)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

解答: 解:设数列{an}的公差为 d,则由 a1+a5=10,a4=7,可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,解得 d=2, 故选 B. 8. 数列 A.0 解答: 解:∵ 的首项为 3, 为等差数列且 B.8 为等差数列, , , C.3 , 若 , D.11 , 则 = ( )

∴ ∴n=b3+(n﹣3)×2=2n﹣8 b ∵ ∴8=a8﹣a1 b ∵ 数列 的首项为 3

∴ 2×8﹣8=a8﹣3, ∴8=11. a 故选 D 9.已知两个等差数列 5,8,11,…和 3,7,11,…都有 100 项,则它们的公共项的个数为( A.25 B.24 C.20 D.19 解 解法一:设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an},则 a1=11 答:∵ 数列 5,8,11,…与 3,7,11,…公差分别为 3 与 4, ∴ n}的公差 d=3×4=12, {a
5



∴n=11+12(n﹣1)=12n﹣1. a 又∵ 5,8,11,…与 3,7,11,…的第 100 项分别是 302 与 399, ∴n=12n﹣1≤302,即 n≤25.5. a 又∵ n∈N*, ∴ 两个数列有 25 个相同的项. 故选 A 10.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若满足 an=an﹣1+2(n≥2) ,且 S3=9,则 a1=( ) A.5 B.3 C.﹣1 D.1 解答: 解:∵n=an﹣1+2(n≥2) an﹣an﹣1=2(n≥2) a ,∴ , ∴ 等差数列{an}的公差是 2, 由 S3=3a1+ 故选 D. 11. (2005?黑龙江)如果数列{an}是等差数列,则( A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8=a4+a5 解答: 解:∵1+a8﹣(a4+a5)=2a1+7d﹣(2a1+7d)=0 a ∴1+a8=a4+a5 a ∴ 故选 B ) C.a1+a8<a4+a5 =9 解得,a1=1.

D.a1a8=a4a5

12. (2004?福建)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 B.﹣1 C.2

=(

) D.

解答: 解:设等差数列{an}的首项为 a1,由等差数列的性质可得 a1+a9=2a5,a1+a5=2a3,

∴ =

=

=

=1,

故选 A. 13. (2009?安徽)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( A.﹣1 B.1 C.3 解答: 解:由已知得 a1+a3+a5=3a3=105, a2+a4+a6=3a4=99, ∴3=35,a4=33,∴ 4﹣a3=﹣2. a d=a ∴20=a3+17d=35+(﹣2)×17=1. a 故选 B ) D.7

14.在等差数列{an}中,a2=4,a6=12, ,那么数列{

}的前 n 项和等于(



6

A.

B.

C.

D.

解答: 解:∵ 等差数列{an}中,a2=4,a6=12; ∴ 公差 d= ∴n=a2+(n﹣2)×2=2n; a ∴ ; ;



的前 n 项和,

= 两式相减得

=

∴ 故选 B 15.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项的和,a2+a5=4,S7=21,则 a7 的值为( A.6 B.7 C.8 解答: 解:等差数列{an}中,a2+a5=4,S7=21 根据等差数列的性质可得 a3+a4=a1+a6=4① 根据等差数列的前 n 项和公式可得, 所以 a1+a7=6② ② 可得 d=2,a1=﹣3 ﹣① 所以 a7=9 故选 D 16.已知数列{an}为等差数列,a1+a3+a5=15,a4=7,则 s6 的值为( A.30 B.35 C.36 解答: 解:a1+a3+a5=3a3=15, ∴3=5 a ∴1+a6=a3+a4=12 a ∴6= s ×6=36 ) D.24 ) D.9

7

故选 C 17. (2012?营口) 等差数列{an}的公差 d<0, 且 A.5 解答: 解:由 知 a1+a11=0. ∴6=0, a 故选 C. 18. (2012?辽宁)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 B.88 C.143 解答: 解:∵ 在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,∴1+a11=a4+a8=16,∴ 11= a S 故选 B. 19.已知数列{an}等差数列,且 a1+a3+a5+a7+a9=10,a2+a4+a6+a8+a10=20,则 a4=( A.﹣1 B.0 C.1 解答: 解:由等差数列得性质可得:a1+a9=a3+a7=2a5,又 a1+a3+a5+a7+a9=10, 故 5a5=10,即 a5=2.同理可得 5a6=20,a6=4. 再由等差中项可知:a4=2a5﹣a6=0 故选 B 20. (理)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣8n,第 k 项满足 4<ak<7,则 k=( A.6 B.7 C.8 解答: 解:an=
2

, 则数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数 n 是 ( C.5 或 6 D.6 或 7



B.6 ,

) D.176

=88,

) D.2

) D.9

= ∵ 时适合 an=2n﹣9,∴n=2n﹣9. n=1 a ∵ k<7,∴ 4<a 4<2k﹣9<7, ∴ <k<8,又∵ +,∴ k∈N k=7, 故选 B. 21.数列 an 的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2n ﹣17n,则当 Sn 取得最小值时 n 的值为( A.4 或 5 B.5 或 6 C.4 解答:
2 2

) D.5

解:因为 Sn=2n ﹣17n=2 又 n 为正整数,





8

所以当 n=4 时,Sn 取得最小值. 故选 C 22.等差数列{an}中,an=2n﹣4,则 S4 等于( A.12 B.10 解答: 解:∵ 等差数列{an}中,an=2n﹣4, ∴1=2﹣4=﹣2, a a2=4﹣4=0, d=0﹣(﹣2)=2, ∴ 4=4a1+ S =4×(﹣2)+4×3 =4. 故选 D. 23.若{an}为等差数列,a3=4,a8=19,则数列{an}的前 10 项和为( A.230 B.140 C.115 解答: 解:a3=a1+2d=4① 8=a1+7d=19② ,a , ② 得 5d=15, ﹣① 解得 d=3, 把 d=3 代入① 求得 a1=﹣2, 所以 S10=10×(﹣2)+ ×3=115 ) D.95 ) C.8 D.4

故选 C. 24.等差数列{an}中,a3+a8=5,则前 10 项和 S10=( A.5 B.25 解答: 解:等差数列{an}中,a3+a8=5,∴1+a10=5, a ∴ 10 项和 S10 = 前 故选 B. =25,

) C.50

D.100

25.设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,且 S1,S2,S4 成等比数列,则 A.1 B.2 C.3

等于( D.4



解答: 解:由 S1,S2,S4 成等比数列, 2 ∴ 1+d) =a1(4a1+6d) (2a . ∵ d≠0,∴ d=2a1. ∴ = 故选 C 26.设 an=﹣2n+21,则数列{an}从首项到第几项的和最大( ) A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 10 项或 11 项
9

=

=3.

D.第 12 项

解答: 解:方法一:由 an=﹣2n+21,得到首项 a1=﹣2+21=19,an﹣1=﹣2(n﹣1)+21=﹣2n+23, + 则 an﹣an﹣1=(﹣2n+21)﹣(﹣2n+23)=﹣2, (n>1,n∈N ) , 所以此数列是首项为 19,公差为﹣2 的等差数列, 则 Sn=19n+ 当 n=﹣ ?(﹣2)=﹣n +20n,为开口向下的抛物线, =10 时,Sn 最大.
2

所以数列{an}从首项到第 10 项和最大. 方法二:令 an=﹣2n+21≥0, 解得 n≤ ,因为 n 取正整数,所以 n 的最大值为 10,

所以此数列从首项到第 10 项的和都为正数,从第 11 项开始为负数, 则数列{an}从首项到第 10 项的和最大. 故选 A 二.填空题(共 4 小题) 27.如果数列{an}满足: = .

解答: 解:∵ 根据所给的数列的递推式 ∴ 数列{ ∵1=3, a ∴ = , ∴ 数列的通项是 ∴ 故答案为: }是一个公差是 5 的等差数列,

28.如果 f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…) ,且 f(1)=2,则 f(100)= 101 . 解答: 解:∵ f(n+1)=f(n)+1,x∈N+, f(1)=2, ∴ f(2)=f(1)+1=2+1=3, f(3)=f(2)+1=3+1=4, f(4)=f(3)+1=4+1=5, … ∴ f(n)=n+1, ∴ f(100)=100+1=101. 故答案为:101. 29.等差数列{an}的前 n 项的和 ,则数列{|an|}的前 10 项之和为 58 .

10

解答: 解:由于等差数列{a }的前 n 项的和 n

,故 a1=s1=5,

∴2=s2﹣s1=8﹣5=3,故公差 d=﹣2,故 an=5+(n﹣1) a (﹣2)=7﹣2n. 当 n≤3 时,|an|=7﹣2n,当 n>3 时,|an|=2n﹣7. 故前 10 项之和为 a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10= 故答案为 58. 30.已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式: (Ⅱ )若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== (n 为正整数) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. + =9+49=58,

解答: 解(1)解:设等差数列{an} 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2+a7=16.得 2a1+7d=16 ① a3?a6=55,得(a1+2d) 1+5d)=55 ② 由 (a 由① 2a1=16﹣7d 将其代入② 得 得(16﹣3d) (16+3d)=220. 2 2 即 256﹣9d =220∴ =4,又 d>0, d ∴ d=2,代入① a1=1 得 ∴n=1+(n﹣1)?2=2n﹣1 a 所以 an=2n﹣1 (2)令 cn= ,则有 an=c1+c2+…+cn,an+1=c1+c2+…+cn﹣1

两式相减得 an+1﹣an=cn+1, 由(1)得 a1=1,an+1﹣an=2 ∴n+1=2,cn=2(n≥2) c , n+1 即当 n≥2 时,bn=2 又当 n=1 时,b1=2a1=2 ∴n= b <BR>

于是 Sn=b1+b2+b3…+bn=2+2 +2 +…+2 即 Sn=2
n+2

3

4

n+1

=2+2 +2 +2 +…+2

2

3

4

n+1

﹣4=

﹣6,

﹣6

11


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