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2.1台球桌面上的角北师大版数学课件_图文

余角 与 补角 的定义
E 1 D 2 F ∠ADC + ∠1 = 90 ° ∠BDC + ∠1 =90° ∠ADF + ∠1 =180 ∠BDE + ∠1 ° =180° ∵ ∠BDE +∠2 =180° 如果两个角的和是 平角,那么称这两个角 互为补角;

∠2 = ∠1 C A 图 2–1

B

如果两个角的和是直 角,那么称这两个角互为 余角;

?

余角 与 补角 的判断
想一想 E D F

1
哪些角互为余角?

2 哪些角互为补角?

互为余角的有:
∠1和∠ADC ∠2和∠BDC ∠1和∠BDC ∠2和∠ADC A

∠2 = ∠1
C 图 2– 1 B

互为补角的有:
∠1和∠ADF ∠2和∠BDE

?注意

补角与余角是两个 ∠1和∠BDE 角之间的相互关系。如 ∠2和∠ADF 同一对相反数一样,是 彼此相对而言的。比如 说1与-1互为相反数,则 补角与余角与 1的相反数为-1, 角的位置无关, -1的相反数为1。 只与它的数量有关

互余、互补是指两个角的数量关系;
即与它们的和有关,与角的位置无关; 你学会了吗? ①一个角为60°,则它的余角为_______ ; 30° ②一个锐角为X,则它的余角为_______; (90°-X) ③一个角为60°,则它的补角为_______; 120° ④一个角为X,则它的补角为_______; (180°-X)

强化练习:比一比,看谁填得快
∠α 5° 30° 42° 54° α 的余角 α 的补角

85 °
60 °

175 °
150 ° 138 ° 126 ° 117 ° 37 ′ 101 ° 36 ′52″

48 °
36 °

62°23′
78 ° 23′8″

27 ° 37 ′
11 ° 36 ′52″

你发现了什么规律? 同一个角的补角比余角大90 °。

余角 与 补角 的 性 质
想一想 E 1 D 2 F ∠ADC与∠BDC 有什么关系? 为什么?

∠2 = ∠1

C ∠ADF与∠BDE 有什么关系? A B 图 2–1 为什么? ∵ ∠ADC +∠1 =90°, ?ADC ? ?BDC ∠BDC +∠2 =90°, ∠1 =∠2 , ? ?ADF ? ?BDE ∴ ∠ADC =∠BDC; ∵∠ADF +∠1 =180°, 由此我们可得: 同角或等角的余角相等, ∠BDE +∠2 =180°, ∠1 =∠2 , 同角或等角的补角相等, ∴ ∠ADF =∠BDE。

如图(1)∠1与∠2是一对什么 角?(其中∠3是直角) 如图(2)∠1与∠2是一对什么角? 如图(3)∠1与∠2是一对什 么角? ∠3与∠4呢?(其中∠3、 ∠4是直角) 2 4
1 3 2 1 2 3 1

(1)

(2)

(3)

议一议

对顶角及其性质 及其性质
(1)用剪刀剪东西时,哪对角同时 变大或变小? (2)如果将图2-2简单地表示为 图2-3,那么∠1与∠2的位置有什么 关系?它们的大小有什么关系? 能试着说明你的理由吗?

图2-2

A 2

C ∠1与∠3互补,
3 ∠2与∠3互补, O ∴ ∠1 =∠2。 1

引入概念:如图2-3,
直线AB与CD相交于点O, ∠1与∠2有公共顶点, 它们的两边互为反向延长线, 这样的两个角叫做对顶角。

B D ∠1 =∠2 。 图2-3

对顶角相等

找找看
下列图形中,∠1和∠2是对顶角的图形是( C )
1 1 2 2 1 1

2

2

(A)

(B)

(C)

(D)

巩固 ◣ ◢

知识梳理

如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为 余角 ; 和是平角 的两个角称作互为补角;

补角与余角是两个角之间的相互关系。 补角和余角与角 的位置无关,只与它的 数量 有关。
同角或等角 的余角相等, 同角或等角 的补角相等;

有公共顶点,两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。 两直线相交所成的四个角中, 有 2组 对顶角. 对顶角 相等 。

议一议
p 52

用对顶角相等解题

如图所示,有一个破损的扇形零件, 利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度 数吗?你能说出所量角是多少度吗?你的根据是什么?

答:40°
方法一:可利用对 顶角相等得出。 方法二:可利用补角得出。

脑筋急转弯
你能用量角器量出 图中∠1的度数吗?

2

1 池


∠1 =∠2 。

呵哈!他想起来了!
原来是: 只要量出它的对顶角就可以了!

例. 一个角的补角是这个
角的2倍,求这个角的度数
A

B

解:

则它 设这个角的度数x, 的补角的度数为 180 ? x 根据题意得: ? x ? 2 x 180 180 ? 2 x ? x 即 3 x ? 180 x ? 60 答:这个角为60°
返回

解:
设这个角的度数x, 则它 的补角的度数为 2 x 根据题意得: ? 2 x ? 180 x x ? 60 答:这个角为60°
返回

习题讲解
P52

1、如图,在长方形的台球桌面上,∠1+∠3=90° ∠ 2= ∠3。如果∠ 2= 58°,那么∠1等于多少度? 试着与同伴交流你的理由。

答:32°

2

3

理由:∠1= 90°- ∠3 = 90°- ∠2 = 90°- 58 ° = 32°

1

习题讲解
P52

2、当光线从空气射入水中时,光线的传播方 向发生了改变,这就是折射现象(如图所示)。图 中∠1与∠2是对顶角吗? 答:∠1和∠2 不是 对顶角。 因为:∠2的一条边不是 ∠1的反向延长线。

接接拓展练习

拓 展 练 习
1、如图,OA⊥OB,OC⊥OD,且∠COB=50°, 则∠AOD=

130° 。
A

C B

解:∵ ∠AOC = 90°-50°=40° ∠BOD = 90°-50°=40° ∴ ∠AOD = ∠AOC+ ∠COB+ ∠BOD = 40° + 50° + 40° =130 °

O

D

还有更简单的解法吗?
∠AOD = ∠AOB+ ∠COD—∠BOC= 130°

在长方形的台球桌面上,选择恰当的角度 击打白球,可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入 袋中.此时∠1 =∠ 2,∠3 =∠ 4 ,并且∠ 2+∠ 3=90 ° , ∠ 4+∠ 5=90 °.如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘 的夹角∠ 5=40 ° ,那么∠1 应等于多少度才能保证黑球 准确入袋?请说明理由. 解:因为∠1 =∠ 2,∠3 =∠ 4 ∠ 2+∠ 3=90 °(已知) 2 3 所以∠ 1+∠ 4=90 ° 1 (等量代换) 因为∠ 4+∠ 5=90 ° (已知) 4 所以∠ 1= ∠ 5= 40 ° 5 (等角的余角相等)

C A O D
A O D B C

C B F O D

E A F
E O F

E O B

C A F O

E B D

C A H

G B D

M E C G A B O …… H F N D

(1)

(2)

(3)

(4)

……

… … n(n-1) 若有n(n>1)条直线相交于一点O,那么有_________对对顶角 2 6 12 20

比一比:谁能过关
18 ° 1.已知∠A=72 °,那么∠A的余角=_____, 108 ° ∠A的补角=_____. 30 ° 2.已知∠α的余角是∠α的两倍,则∠α=____. 3.下列说法不正确的是 ( D ) A.60 °的角和120 °的角互为补角 B.35 °的角和55 °的角互为余角 C.钝角的补角是锐角 D.两个角互补,那么这两个角中,一个是钝角, 另一个是锐角

4.(1)若∠β与∠α是对顶角 , ∠α=20°,则∠β=______ 20° (2)如图直线AB与CD相交于O点, OA平分∠EOC, ∠EOC=70°,则 145° 35° ∠BOD=_____, ∠BOC=______.
E D

A
O

B C

每日一题(课外完成):

图3是一个经过改造的台球桌面的示意图, 图中四个角上的阴影部分分别表示四个 入球孔.如果一个球按图中所示的方向被 击出(球可以经过多反射),那么该球 最后将落入的球袋是 B A.1 号袋 B.2 号袋 C.3 号袋 D.4 号袋
(2004河北省中考题)

1.两个角之间的三种关系

两 个 角

别忘了作业:它能反映我们掌握知
识的情况,还能巩固我们所学的知识.

互为余角 互为补角 对顶角 2.互为余角的两角和是 90° 互为补角 的两角和是180° 3.①同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等 。 ②对顶角相等

作业

作业

教材p.52 习题2.1 第1、2、 3题。


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