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高一数学(下) 第二单元 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系知识点及练习题(含答案)

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a b a∥b α β => a∥α

2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a b β β β ∥α

a∩b = P a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 a∥b

1、下列命题中正确的是 (A)平行于同一个平面的两条直线平行 (B)垂直于同一条直线的两条直线平行





(C)若直线 a 与平面 ? 内的无数条直线平行,则 a∥ ? (D)若一条直线平行两个平面的交线,则这条直线至少平行两个平面中的一个 2.平面 α∩ 平面 β=a,平面 β∩ 平面 γ=b,平面 γ∩ 平面 α=c,若 a∥b,则 c 与 a, b 的位置关系是 (A)c 与 a, b 都异面 (C)c 至少与 a, b 中的一条相交 ( ) (B)c 与 a, b 都相交 (D)c 与 a, b 都平行 ( )

3.如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 与平面 AB1C 平行的直线是 (A)DD1 (B)A1D1 4.下列四个命题: (1)存在与两条异面直线都平行的平面; (2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行; (3)过平面外一点可作无数条直线与平面平行; (4)过直线外一点可作无数个平面与直线平行; 其中正确的命题是 (A) , (1)(3) (C) , (1)(3)(4) , (B) , (2)(4) (D) (2)(3)(4) , , ( ) (C)C1D1 (D)A1D

5.若直线 a 与平面 ? 内的无数条直线平行,则 a 与 ? 的关系为 6.如图,在四面体 ABCD 中,M,N 分别是△ACD,△BCD 的重心,则四面体 的四个面中,与 MN 平行的平面是__________。



7.A,B 是直线 l 外两点,过 A,B 且与直线 l 平行的平面的个数 是 。

8. 如图在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, A1C1B 的平面与底面 ABCD 过 的交线为 l,则直线 l 与 A1C1 的距离为 。

9.如图,O 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 底面对角线 AC 与 BD 的交点,求证:B1O∥平面 A1C1D。

10.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 BC,C1D1 的中点,求证:EF∥ 平面 BB1D1D。

11.如图,设 a, b 是异面直线,AB 是 a, b 的公垂线段,过 AB 的中点 O 作平面 α 与 a, b 都平行,M,N 分别是 a, b 上的任意两点,MN 交于点 P。 求证:P 是 MN 的中点。

12.如图,在空间四边形 ABCD 中,M,N 分别是线段 AB,AD 上的点,若

AM AN , ? MB ND

P 为线段 CD 上的一点(P 与 D 不重合) ,过 M,N,P 的平面交平面 BCD 于 Q,求证: BD∥PQ。

【练习答案】 1.选 D。 因 A 中两直线也可能相交或异面;B 中的两直线也可能相交或异面;C 中也有可能为 a ? α;D 正确可以证明。 2. 选 D。用线面平行的判定定理和性质定理可以证明 D 正确。 3.选 D。因 A1D∥B1C 4.选 C。 仅(2)不正确。若过点 A 与直线 a 的平面 α 与直线 b 平行时,不存在符合要求的平面。 5.a∥ ? 或 a ? ? 。 若直线 a 在平面外,则 a∥ ? ;若直线 a 在平面内,符合条件。则 a∥ ? 或 a? ? 。 6.平面 ABC 和平面 ABD ∵AB∥MN,∴经过 AB 的两个平面的平面 ABC 和平面 ABD 均与 MN 平行。 7.0 个或 1 个或无数个。 分直线 AB 与直线 l 相交,异面或平行三种情况,知过 A,B 且与直线 l 平行的平 面的个数分别是 0 个或 1 个或无数个。 8.
6 a。 2

取 A1C1 的中点 M,则所求距离为 MB,可求得它为

6 a 2

9.证明 连 A1C1 交 B1D1 于 O1,连 DO1, ∵O1B1 DO,∴O1B1OD 为平行四边形, ∴B1O∥O1D∵BO1 ? 平面 A1C1D,O1D ? 平面 A1C1D, ∴B1O∥平面 A1C1D。 10.证明 取 D1B1 的中点 O,连 OF,OB, ∵OF ∵BE
1 B1C1, 2 1 B1C1,∴OF BE, 2

则 OFEB 为平行四边形, ∴EF∥BO,∵EF ? 平面 BB1D1D,BO ? 平面 BB1D1D,

∴EF∥平面 BB1D1D。

11.证明 连结 AN 交 α 于 Q,连 QO,QP, ∵BN∥α,BN ? 平面 ABN,平面 α∩ 平面 ABN=OQ, ∴BN∥OQ, ∵O 为 AB 中点,∴Q 为 AN 中点。 同理 AM∥QP,∴P 为 MN 中点。 12.证明 ∵
AM AN ,∴MN∥BD,∵BD ? 平面 MNPQ,MN ? 平 ? MB ND

面 MNPQ,∴BD∥平面 MNPQ,BD ? 平面 BCD,平面 MNPQ∩ 平面 BCD= PQ, ∴BD∥PQ。


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