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安徽省安庆一中高二数学人教A版选修2-1课件:2.1.1 曲线与方程(共20张ppt)_图文

第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程 下图为卫星绕月球飞行示意图,据图回答下面问 题:假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月 球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值 2a,视月球为球体,半径为R,你能写出一个轨迹的方 程吗? 1.理解曲线与方程的概念、意义.(重点、难点) 2.了解数与形结合的基本思想.(难点) 探究点1 曲线的方程与方程的曲线 问题 1 :在直角坐标系中,平分第一、三象限的直 线和方程x-y=0有什么关系? (1)在直线上任找一点 M ( x0则 , y0 ), 是方程x-y=0的解; ?y?0 (2)如果 ( x 0 , y0 )是 x 的解,那么 x 0 ? y0,即( x 0 , y0) y O x-y=0 M ( x0 , y0 ) 以( x 0 , y 0 )为 坐 标 的 点 在 直 线 上 . x 问题2:方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 表示如图的圆, 图象上的点M与此方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2, 有什么关系? (1)圆上任一点 M ( x 0 , y 0 )的 坐 标 是 方 程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 的解. (2)若( x0 , y0 )是方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2的解,则以( x0 , y0 ) 为坐标的点在以( a , b )为圆心, 以 r为半径的圆上 . 0 y ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . · M ( x0 , y0 ) x 通过探究可知,在直角坐标系建立以后,平面内 的点与数对(x,y)建立了一一对应关系.点的运动形 成曲线C,与之对应的实数对的变化就形成了方程 f(x,y)=0. 点 按某种规律运动 曲线C 几何对象 坐标(x,y) x,y制约关系 代数表示 方程f(x,y)=0 曲线的方程与方程的曲线 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看 作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一 个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做 方程的曲线. 问题3:曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解, 能否说f(x,y)=0是曲线C的方程? 解:不能,还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标 的点是不是都在曲线上,如,以原点为圆心,以2为 半径的圆上半部分和方程 x 2 ? y 2 ? 4. 【提升总结】 由曲线的方程的定义可知,如果曲线C的方程为 f(x,y)=0,那么点 P0 ( x0 , y0 ) 在曲线C上的充分必要 条件是 f ( x 0 , y0 ) ? 0. 问题4:曲线的方程与方程的曲线有什么区别? 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念, “曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系;而 “方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形.两 者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系,使方 程成为曲线(几何图形)的代数表示,从而将研究曲 线的性质转化到讨论相应方程的问题上. 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k . 证明:(1)设 M ( x 0 ,是轨迹上的任意一点 . y0 ) 因为点M与x轴的距离为 y0 ,与y轴的距离为 x, 0 所以 x 0 ? y0 ? k , 即( x 0 , y 0 ) 是方程 xy ? ? k的解 . (2)设点 M 1的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程 xy ? ? k的解,则 x1 y1 ? ? k , 即 x1 ? y1 ? k . 而 x1正是点 , y1 M1到纵轴、横轴的距离,因 此点M1到这两条直线的距离的积是常数k,点M1是 曲线上的点. 由(1)(2)可知, xy ? 是与两条坐标轴的距离的 ?k 积为常数k(k>0)的点的轨迹方程. 例2 方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是 ( C ) 解析:选C.方程x2+y2=1表示以原点为圆心,半径为 1的单位圆,而约束条件xy<0则表明单位圆上点的横 、 纵坐标异号,即单位圆位于第二或第四象限的部分. 故选C. 【变式练习】 方程x2+xy=x表示的曲线是( C ) A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线 解析:选C.由x2+xy=x,得x(x+y-1)=0, 即x=0或x+y-1=0. 由此知方程x2+xy=x表示两条直线. 故选C. 1.若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0 的解”是正确的,则下列命题为真命题的是( D ) A.不是曲线C上的点的坐标,一定不满足方程f(x,y) =0 B.坐标满足方程f(x,y)=0的点均在曲线C上 C.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线 D.不是方程f(x,y)=0的解,一定不是曲线C上的点 [思路探索] 从定义入手,考查定义中的两个条件. 2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( D ) A .y 2=x 与 y = x B.y=lg x2 与 y=2lg x y ? 1 C. =1 与 lg (y+1)=lg (x-2) x?2 D.x2+y2=1 与 |y|= 1 ? x 2 解析:选D.主要考虑x与y的范围. 3.方程y= x 2 ? 2 x ? 1 所表示的曲线是______. 解析 : y ? ( x ? 1) ? x ? 1 2 答案:以(1,0)为端点的两条射线 4.已知曲线C的方程为x= 4 ? y 2 ,说明曲线C是什 么样的曲线,并求该曲线与y轴围成的图形的面积. 2 2 解:由x

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