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高中数学必修4第一章三角函数选择题例题


高中数学必修 4 第一章三角函数选择题例题汇编
任意角的三角函数的定义 ....................................................................................................... 1 三角函数值的符号................................................................................................................... 1 诱导公式................................................................................................................................... 2 同角三角函数基本关系 ........................................................................................................... 4 三角函数的图象....................................................................................................................... 5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换 ......................................................................................... 6 三角函数的定义域和值域 ....................................................................................................... 7 复合三角函数的单调性 ........................................................................................................... 8 三角函数的对称性................................................................................................................... 9 三角函数的周期性................................................................................................................. 10 (复习用)

任意角的三角函数的定义
1.已知角 α 的终边经过点 P(﹣4m,3m) (m≠0) ,则 2sinα+cosα 的值是( ) A.1 或﹣1 B. C. D. 或﹣ 1 或﹣ ﹣1 或 解: 当 m>0 时, 当 m<0 时, . ∴选 B , , , ;

三角函数值的符号
2.若 sinθ>0,cosθ<0, ,则 θ 所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

sinx;cscx 选B 3.集合{α|kπ+ A. ≤α≤kπ+ B.

cosx;secx

tanx;cotx

,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( C. D.



解:当 k 取偶数时,比如 k=0 时,+ 当 k 取奇数时,比如 k=1 时,+

≤α≤+

,故角的终边在第一象限. ,故角的终边在第三象限.

≤α≤+

综上,角的终边在第一、或第三象限,∴选 C

1

4.θ 是第二象限角,且满足 cos

﹣sin

=

,那么





A.是第一象限角 B. 是第二象限角 C. 是第三象限角 D.可能是第一象限角,也可能是第三象限角 先根据 θ 的范围确定 与 sin 的范围, 再由 cos ﹣sin = 可确定 cos

的大小关系,进而确定 ﹣sin =

的象限. ,必有 cos ≥sin ;

解:若 cos

又∵ θ 是第二象限角 ∴ +2kπ<θ<2kπ+π ∴ ∴ 当 k 为偶数时, 当 k 为奇数时, 故 在第三象限 在第一象限,有 cos 在第三象限,有 cos <sin >sin , ;

∴选:C

诱导公式
5.已知 tan100°=k,则 sin80°的值等于( A. B. ﹣ ) C. D. ﹣

解:已知 tan100°=k=tan(180°﹣80°)=﹣tan80°, ∴ tan80°= = =﹣k,

解得 sin80°=﹣ ∴选 B



6. sin(﹣1560°)=( ) A. B. 解:因为 sin(﹣1560°)

C.

D.

2

=sin(﹣1800°+240°) =sin(180°+60°) =﹣sin60° =﹣ ∴选 C .

7.已知 sin(﹣2)=﹣ A.

,则 cos( B. ﹣

+2)的值为( C.

) D. ﹣

∵已知 sin(﹣2)=﹣ ∴选 B 8.已知 sin( A. 直接利用 解:因为 ∴选 B 9.如果 A. 解:由题意可得: 所以 ∴选 B. 与 与

,则 sin2=

,∴cos(

+2)=﹣sin2=﹣



)= ,则 B. 互余,求出 互余,所以

=( C.

) D. 的值即可 =sin( )= . ﹣

,那么 B. C.

的值是(

) D.

,根据诱导公式可得 cosA= , =cosA= ,

10.下列等式恒成立的是( ) A.cos(﹣α)=﹣cosαB.sin (360°﹣α) =sinαC.tan(2π﹣α)=tan D.cos(π+α)=cos(π (π+α) ﹣α) 解:∵cos(﹣α)=cosα,sin(360°﹣α)=﹣sinα,tan(2π﹣α)=tan(﹣α)=﹣tan(π+α) , ∴A、B、C 都不正确, ∵ cos(π+α)=﹣cosα=cos(π﹣α) , ∴选 D. 11. 等于(
3



A.sin2﹣cos2 B.cos2﹣sin2 C.±(sin2﹣cos2) D.sin2+cos2 利用诱导公式化简表达式, 通过角 2 的范围, 得到 sin2 大于 0, cos2 小于 0, 进而确定出 sin2 2 2 ﹣cos2 大于 0,将所求式子中的“1”利用同角三角函数间的基本关系化为 sin 2+cos 2 解:∵ <2<π,

∴sin2>0,cos2<0,即 sin2﹣cos2>0, 则 = = = =|sin2﹣cos2|, (又 2 是钝角) =sin2﹣cos2. ∴选 A

同角三角函数基本关系
12. 若|sinθ|= , A. 由|sinθ|= , 解:∵ |sinθ|= , ∴ sin cosθ=﹣ , =﹣ , <θ<5π,则 tanθ 等于( B.﹣ <θ<5π,知 sin <θ<5π, C. ) D. ,求出 tanθ

,再求出 cosθ,然后利用公式 tanθ=

∴ tanθ=

=

=﹣



∴选 C 13.已知 sinα+cosα= ,则 tanα+cotα 等于( ) A.﹣1 B.﹣2 C. 1 由已知中 sinα+cosα=
2 2

D.2

, 两边平方后, 根据 sin α+cos α=1, 可求出 sinα?cosα= , 将 tanα+cotα

切化弦并通分后,结合 sinα?cosα= ,即可得到答案.
4

解:∵ sinα+cosα= , 2 ∴ (sinα+cosα) =1+2sinα?cosα=2 ∴ sinα?cosα= ∴ tanα+cotα = = = ∴选 D =2

三角函数的图象
14. (2004?福建)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2) ,当 x∈ [3,5]时,f(x) =2﹣|x﹣4|,则( ) A. B.f(sin1)>f(cos1) C. D.f(cos2)>f(sin2) f(sin )<f f(cos )<f (cos ) (sin ) 先根据 f(x)=f(x+2)求得函数的周期,进而可求函数在 4<x≤5 时的解析式,根据其单调 性可判断 D 正确. 解:由 f(x)=f(x+2)知 T=2, 又∵ x∈ [3,5]时,f(x)=2﹣|x﹣4|, 可知当 3≤x≤4 时,f(x)=﹣2+x. 当 4<x≤5 时,f(x)=6﹣x.其图如下, 故在(﹣1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数. 又由|cos2|<|sin2|, ∴ f(cos2)>f(sin2) . ∴选 D.

15.已知函数 y=2cosx(0≤x≤2π)的图象与直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这个封闭 图形的面积是( ) A.4 B.8 C . 2π D.4π 绘图:

5

图中封闭图形的面积,就是矩形面积的一半, ∴选 D.

=4π.

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换
16.要得到 y=sin(3x+ A. 向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位 )=sin3(x+ )的图象,只要把 y=sin3x 的图象( B. D. 向右平移 向右平移 )

个单位 个单位 )的图象,只要把 y=3sinx

解:由于 y=sin(3x+ 的图象向左平移 ∴选 C

) ,要得到 y=sin(3x+

个单位即可,

17. (2013?浙江模拟)要得到函数 ( ) A. 向左平移 C. 向左平移

的图象,只要将函数 y=sin2x 的图象

个单位 个单位

B. D.

向右平移 向右平移

个单位 个单位

根据平移的性质,

, 根据平移法则“左加右减”可知向右平移

个单位

解:∵ ∴选:D

6

三角函数的定义域和值域
18.函数 y=tanxcotx 的定义域是( ) A.R B. {x|x≠ π,k∈z} C.{x|x≠kπ,k∈z} D.{x|x≠kπ+π,k∈z} ,k∈z,

解:要使函数 y=tanxcotx 由题意,应有 sinx≠0,且 cosx≠0,∴x≠ 故函数的定义域为 {x|x≠ π,k∈z},选 B

19.定义新运算 a*b 为: 的值域为( A. ) B.

,例如 1*2=1,3*2=2,则函数 f(x)=sinx*cosx

C.

D.

解:由已知中

可知

新运算的功能是计算 a,b 中的最小值 则 f(x)=sinx*cosx 的功能为计算 x 正弦函数 sinx 与余弦函数 cosx 最小值 由正余弦函数的值域均为[﹣1,1]可得 f(x)的最小值为﹣1 由此可以排除 B、D 答案 最大值不大于 1,可以排除 C 答案 ∴选 A 20. 求函数 f1 (t ) ? tan2 x ? 2a tan x ? 5 在 x ? [
解:

? ?

, ] 时的值域(其中 a 为常数) 4 2

y ? tan2 x ? 2a tan x ? 5 ? (tan x ? a)2 ? a2 ? 5

x ? [ , ] ? tan x ? [1, ??] ? 4 2

? ?

2 当 a ? ?1 时, y ? ?a ? 5 ,此时 tan x ? ? a

? 当 a ? ?1 时, y ? a 2 ? 5 ,此时 tan x ? 1
2

21.函数 y=4sin x+6cosx﹣6, (﹣ A.[﹣6,0] B.

≤x≤ π)的值域是( C.
2

) D.

把函数化简为关于 cosx 的二次函数 f(x)=﹣4cos x+6cosx﹣2,利用二次函数在闭区间 上的最值求解即可. 解:f(x)=4sin x+6cosx﹣6=﹣4cos x+6cosx﹣2
2 2

7

= ∵ ,∴﹣ ≤cosx≤1

∴函数在 cosx=﹣ 时取得最小值:﹣6; ∴函数在 cosx= 时取得最大值 , ∴选 D

复合三角函数的单调性
22.已知 f(x)=sin(2x+φ)+ 的一个值为( A. ) B. π C. π D. cos(2x+φ)为奇函数,且在[0, ]上为减函数,则 φ

先将函数化简为 y=Asin(ωx+φ)的形式,再根据三角函数的奇偶性和单调性对选项进行逐 一验证即可得到答案. 解:f(x)=2sin(2x+φ+ A、B. 当 φ= 当 φ= ∴选 D 23.下列四个函数中,既是(0, A.y=cos2x B.y=|sin2x| )上的增函数,又是以 π 为周期的偶函数是( C.y=|cosx| D.y=|sinx| ) 时 f(x)=2sin2x 在[0, ]上为增函数,故 C 不对. ]上为减函数. ) ,要使 f(x)是奇函数,必须 φ+ =kπ(k∈Z) ,因此应排除

时,f(x)=﹣2sin2x 在[0,

利用周期排除 B,利用(0,

)上的增函数,排除 A、C,即可推出结果. ,排除 B;

解:π 为周期的偶函数,y=|sin2x|的周期是 y=cos2x 在(0, y=|cosx|在(0, ∴选 D

)上是减函数,A 不正确; )上是减函数,C 不正确;

24.已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,则( ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.b<a<c 解:∵ 已知 a=tan1>1,b=tan2=﹣tan(π﹣2)<0,c=tan3=﹣tan(π﹣3)<0.
8

再根据

>π﹣2>π﹣3>0,∴ tan(π﹣2)>tan(π﹣3)>0,∴ ﹣tan(π﹣2)<﹣tan(π

﹣3)<0. 综上可得,a>0>c>b, ∴选 C 25.函数 y=3sin(x+ A. [﹣ 由 2kπ﹣ 2kπ﹣ , ≤x+ ] )﹣1 在下列区间上是增函数的是( B. ≤2kπ+ [﹣ π, ] C.[﹣π,0] ) D. [﹣ , π]

,k∈Z 可求得该函数的单调增区间:

≤x≤2kπ+

,k∈Z. , , ].

当 k=0 时,﹣

≤ x≤

∴函数 y=3sin(x+ ∴选 B

)﹣1 的一个单调增区间为[﹣

三角函数的对称性
26. (2012?北京模拟)函数 中心是( A. ) B. C. D. 的图象是中心对称图形,其中它的一个对称

解:∵正弦曲线的对称中心(kπ,0) ∴ ∴x= , × ,k∈z, ,0) ,0)

∴函数的对称中心是( 当 k=﹣2 时,对称中心是(﹣ ∴选 B

27.已知 f(x)是以 π 为周期的偶函数,且 时,f(x)等于( A.1+sinx B.1﹣sinx )

时,f(x)=1﹣sinx,则当

C.﹣1﹣sinx

D.﹣1+sinx

9

由题意,可先由函数是偶函数求出 用函数是以 π 为周期的函数得到 解:由题意,任取 又 ,则

时,函数解析式为 f(x)=1+sinx,再利 时,f(x)的解析式即可选出正确选项

时,f(x)=1﹣sinx,故 f(﹣x)=1+sinx

又 f(x)是偶函数,可得 f(﹣x)=f(x) ∴ 时,函数解析式为 f(x)=1+sinx ,则

由于 f(x)是以 π 为周期的函数,任取 ∴f(x)=f(x﹣3π)=1+sin(x﹣3π)=1﹣sinx ∴选 B

三角函数的周期性
28.函数 y=cos( A. ﹣ x)的最小正周期是( B. π ) D.5π

C . 2π

解:函数 y=cos(

﹣ x)=cos( x﹣

)的最小正周期 T=

=5π,

∴选 D. 29. (2010?朝阳区一模) 下列函数中, 最小正周期为 π, 且图象关于直线 A. B. C. 对称的是 ( D. )

根据三角函数的最小正周期的求法和对称轴上取最值对选项逐一验证即可得到答案. 解:将 代入 ≠π,排除 B. 可得 y= ≠±1,排除 A

将 ∴选 D

代入

,y=

≠±1,排除 C

30.函数 y=tan(

)在一个周期内的图象是(



10

A.

B.

C.

D.

先令 tan (

) =0 求得函数的图象的中心, 排除 C, D; 再根据函数 y=tan (



的最小正周期为 2π,排除 B. 解:令 tan( 交点不是 ∵ y=tan( )=0,解得 x=kπ+ ,可知函数 y=tan( )与 x 轴的一个

,排除 C,D )的周期 T= =2π,故排除 B

∴选 A

11


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