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山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试:数学(理)

高三理科数学适应性练习

2013.3

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共 4 页.满分 150 分,考试 时间 120 分钟. 考试结束,将本试卷答题纸和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

选择题(共 60 分)

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3.答第Ⅱ卷前将答题纸密封线内的项目填写清楚. 4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题纸各题规定的矩形区域内,超出该区域的答案无效. 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1 ? 2i 1? i 1.已知复数 z ? ,则 2 的共轭复数是 1? i z ?1 A. ?
1 2 ?i

B. ?

1 2

?i

C.

1 2

?i

D.

1 2

?i

2.已知集合 A ? ? ?1, ? , B ? x mx ? 1 ? 0 ,若 A ? B ? B ,则所有实数 m 组成的集合是

? ?

1? 2?

?

?

A. ?0, ?1, 2?

B. ? ?

? 1 ? , 0,1? ? 2 ?

C. ??1, 2?

D. ? ?1, 0, ?

? ?

1? 2?

3.下列各小题中, p 是 q 的充要条件的是 (1) p : cos ? ? cos ? ;

q : sin ? ? sin ? ;
q : y ? f ( x) 是奇函数;

(2) p :

f (? x) f ( x)

? ?1;

(3) p : A ? B ? B;

q : CU B ? CU A ;
2

(4) p : m ? 2 或 m ? 6 ; q : y ? x ? mx ? m ? 3 有两个不同的零点. A. (1)(3) B. (3)(4)
2

C. (3)

D. (4)

4.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? ) ,且 P (? ? 4) ? 0.9 ,则 P (0 ? ? ? 2) ? A. 0.2 5.方程 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6

x2 2?m

?

y2 m ?3

? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是
B. ?3 ? m ? 0 或 0 ? m ? 2 或 m ? 3 D. 2 ? m ? 3 或 m ? ?3

A. 2 ? m ? 3 C. m ? 3 或 ? 3 ? m ? 2

6.一个样本容量为 20 的样本数据,它们组成一个公差不为 0 的 等差数列 {an } ,若 a3 ? 8 且前 4 项和 S 4 ? 28 ,则此样本的 平均数和中位数分别是 A. 22, 23 B. 23, 22 C. 23, 23 D. 23, 24

开始

n ? 1, S ? 0

7.右面的程序框图中,若输出 S 的值为 126 ,则图中应填上的 条件为 A. n ? 5 B. n ? 6 C. n ? 7 D. n ? 8

?




输出 S
n

8.设函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

S ? S ?2

) ,则下列结论正确的是



) 结束

A. f ( x) 的图像关于直线 x ? B. f ( x) 的图像关于点 (

?
3

对称

n ? n ?1

?
6

, 0) 对称

C. f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 [0, D.把 f ( x) 的图像向右平移

?
12

] 上为增函数

?

个单位,得到一个偶函数的图像

12 ???? ? ??? ? ??? ? 9.设 O, A, B, M 为平面上四点, OM ? ? OA ? (1 ? ? )OB, ? ? (0,1) ,则
A.点 M 在线段 AB 上 C.点 A 在线段 BM 上 B.点 B 在线段 AM 上 D. O, A, B, M 四点共线

10.二项式 (ax ? A. 3

3 6

)3 的展开式的第二项的系数为 ?
B.

3 2

,则

?

a

?2

x 2 dx 的值为
10 3

7 3

C. 3 或

7 3
2

D. 3 或 ?

11.在平面直角坐标系 xoy 中, C 的方程为 x ? y ? 8 x ? 15 ? 0 , 圆 若直线 y ? kx ? 2 上至
2

少存在一点,使得以该点为圆心,为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值为 A. 2 B.

4 3

C.

2 3

D. 3

? 12.对于正实数 ? , M ? 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合: x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 , 记
有 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) .下列结论中正确的是 A. 若 f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ?1 ?? 2 B. 若 f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ? 2 且 ?1 ? ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ?1 ?? 2

C. 若 f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ?1 ?? 2 D. 若 f ( x) ? M ?1 , g ( x) ? M ? 2 且 g ( x) ? 0 ,则

f ( x) g ( x)

? M ?1
?2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. 13.设不等式组 ?

?0 ? x ? 1 ?0 ? y ? 2
命 题

表示的平面区域为 D , 在区域 D 内随机取一个点, 则此点到坐标 .

原点的距离大于的概率是 14. 已 知

p : ?x ? ?1, 4? , x 2 ? a

,





q : ?x ? R, x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0, 若命题“ p且q ”是真命题,
则实数 a 的取值范围为 .

15.如图,已知球 O 的面上有四点 A, B, C , D ,

DA ? 平面 ABC , AB ? BC , DA ? AB ? BC ? 2 , 则球 O 的体积与表面积的比为 .
16.函数 f ( x) ? 3sin ? x ? log 1 x 的零点的个数是
2



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比 赛时,每局胜者得分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时结束.假 设选手甲与选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为

1 2

c?b.

2 3

,且各局比赛胜负互不影响.

(Ⅰ)求比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分的概率; (Ⅱ)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 19.(本小题满分 12 分)

如图, 在多面体 ABCDEFG 中, 平面 ABC ∥平面 DEFG ,

A B

C

AD ⊥平面 DEFG , BA ? AC , ED ? DG , EF ∥ DG .
且 AC ? 1, AB ? ED ? EF ? 2 , AD ? DG ? 4 . (Ⅰ)求证: BE ? 平面 DEFG ;

D (Ⅱ)求证: BF ∥平面 ACGD ; (Ⅲ)求二面角 F ? BC ? A 的余弦值. E F

G

20.(本题满分 12 分) 已知数列 {an } 为公差不为 0 的等差数列, S n 为前 n 项和, a5 和 a7 的等差中项为 11 , 且 a2 ? a5 ? a1 ? a14 .令 bn ?

1 an ? an ?1

, 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn .

(Ⅰ)求 an 及 Tn ; (Ⅱ)是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n), 使得T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 的 m, n 的值;若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 设点 P ( x, y ) 到直线 x ? 2 的距离与它到定点 (1, 0) 的距离之比为 2 , 并记点 P 的轨迹 为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设 M (?2, 0) ,过点 M 的直线与曲线 C 相交于 E , F 两点,当线段 EF 的中点落在 由四点 C1 (?1, 0), C2 (1, 0), B1 (0, ?1), B2 (0,1) 构成的四边形内(包括边界)时,求直线斜率 的取值范围.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(e ? a ? 1)(a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数
x

g ( x) ? ? f ( x) ? sin x 在区间 ? ?1,1? 上是减函数.
(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 g ( x) ? ? t ? 1 在 x ? ? ?1,1? 上恒成立,求实数的最大值;

(Ⅲ)若关于 x 的方程

ln x f ( x)

? x 2 ? 2ex ? m 有且只有一个实数根,求 m 的值.

201303 理科数学 参考答案及评分标准
一、 BACCD, CBCAC , BA
二、13. 1 ?

?
8

14. a ? 1 或 a ? ?2

15. 1: 3

16.

9

三.解答题 17.解(Ⅰ)由 a cos C ?

1

1 c ? b 得 sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2

????2 分

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

1 1 ????4 分 ? sin C ? ? cos A sin C ,? sin C ? 0,? cos A ? ? 2 2 2? 又? 0 ? A ? ? ? A ? ????6 分 3
(Ⅱ)由正弦定理得: b ?

a sin B sin A

?

2 3

sin B , c ?

2 3

sin C

l ? a ? b ? c ? 1?

2 3

? sin B ? sin C ? ? 1 ?

2 3

? sin B ? sin ? A ? B ? ?

? 1?
?A?

2

1 3 2 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? sin( B ? ) ????9 分 2 3 3 2 3

2?

? ? ? 2? ,? B ? (0, ),? B ? ? ( , ) , ????10 分 3 3 3 3 3

? sin( B ?

?
3

)?(

3 2

,1]

故 ?ABC 的周长的取值范围为 (2,

2 3 3

? 1] . ????12 分
2 3 ? 1 3
.????1 分

18 解(Ⅰ)由题意知,乙每局获胜的概率皆为 1 ?

比 赛 进 行 4 局 结 束 , 且 乙 比 甲 多 得 2 分 即 头 两 局 乙 胜 一 局 , 3,4 局 连 胜 , 则

4 1 1 2 1 1 P2 ? C2 ? ? ? ? . 3 3 3 3 81
(Ⅱ)由题意知, ? 的取值为 2, 4, 6 .

????4 分 ???5 分

则 P (? ? 2) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ?

2

1

5

????6 分 ????7 分 ????9 分

3 3 9 12 2 2 20 1 1 1 2 1 2 P (? ? 4) ? C2 ( ) ? C2 ( ) ? 33 3 33 3 81 16 1 1 2 2 P (? ? 6) ? (C2 ) ? 33 81

所以随机变量 ? 的分布列为

?
P

2

4

6
16 81
???10 分

5 9

20 81 20 81 ? 6? 16 81 ?

则 E? ? 2 ?

5 9

? 4?

266 81

????12

19.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)? 平面 ABC ∥平面 DEFG ,平面 ABC ? 平面 ADEB ? AB ,平面 DEFG ? 平 面 ADEB ? DE ,? AB ∥ DE ???1 分

又? AB ? DE ,? 四边形 ADEB 为平行四边形,? BE ∥ AD ??2 分

? AD ? 面 DEFG,? BE ? 平面 DEFG. ??3 分
(Ⅱ) DG 的中点为 M , 设 连接 AM , MF , DM ? 则

1 2

DG ? 2 ,
B

A

C

? EF ? 2, EF ∥ DG ,∴四边形 DEFM 是平行四边形????4 分
∴ MF ? DE且MF ∥ DE ,由(Ⅰ)知, ADEB 为平行四边形, ∴ AB ? DE且AB ∥ DE ,∴ AB ? MF 且AB ∥ MF , ∴四边形 ABFM 是平行四边形,????5 分 E D F M G

即 BF ∥ AM ,又 BF ? 平面 ACGD ,故 BF ∥平面 ACGD ;????6 分 (Ⅲ)由已知, AD, DE , DG 两两垂直,建立如图的空间坐标系,则

A(0, 0, 4), B(2, 0, 4), C (0,1, 4), F (2, 2, 0) ??? ? ??? ? ∴ BF ? (0, 2, ?4), BC ? ( ?2,1, 0) ?? 设平面 FBC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,
?? ??? ? ? ?n1 ? BF ? 2 y ? 4 z ? 0 ? 则 ? ?? ??? , ? ? ?n1 ? BC ? ?2 x ? y ? 0 ?

A B

C

令 z ? 1 ,则 n1 ? (1, 2,1) , 而平面 ABC 的法向量 n2 ? DA ? (0, 0, 4)
?? ? ??? ?

??

D E F

M

G

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 4 6 ?? = ? ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ? 6 1? 4 ?1? 4 | n1 | ? | n2 |
由图形可知,二面角 F ? BC ? A 的余弦值-

6 6

.????????12 分

20 解:(Ⅰ)因为 {an } 为等差 数列,设公差为 d ,则由题意得 ?a5 ? a7 ? 22 ? 2a1 ? 10d ? 22 ? ?a2 ? a5 ? a1 ? a14 ? (a1 ? d )(a1 ? 4d ) ? a1 (a1 ? 13d ) 整理得 ? 所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ?????3 分 由 bn ?

?a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2a1

?d ? 2 ?? ?a1 ? 1

1 an ? an ?1
1

?

1 (2n ? 1)(2n ? 1)

?

1

2 2n ? 1

(

1

?

1 2n ? 1

)

所以 Tn ?

1 1 1 1 1 n ?????5 分 (1 ? ? ? ? ? ? ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 n 2n ? 1 1 3 m 2m ? 1 n 2n ? 1

(Ⅱ)假设存在 由(Ⅰ)知, Tn ? ,所以 T1 ?

, Tm ?

, Tn ?

若 T1 , Tm , Tn 成等比,则有

Tm 2 ? T1 ? Tn ? ( ?

1 n m2 n ???8 分 )2 ? ? ? ? 2 2m ? 1 3 2n ? 1 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 m ? 6n ? 3 n ? 3 n ? 4m ? 1 ? 2m 2 m2
6 2
,。。。。。(1)

4m 2 ? 4m ? 1 m2

因为 n ? 0 ,所以 4m ? 1 ? 2m 2 ? 0 ? 1 ?
?

? m ? 1?

6 2

,?????10 分

因为 m ? N , m ? 1,? m ? 2, ,当 m ? 2 时,带入(1)式,得 n ? 12 ; 综上,当 m ? 2, n ? 12 可以使 T1 , Tm , Tn 成等比数列.?????12 分 21 解:(Ⅰ)有题意

| x?2| ( x ? 1) 2 ? y 2

? 2,

??????2 分

整理得

x2 2

? y 2 ? 1 ,所以曲线 C 的方程为

x2 2

? y 2 ? 1 ??????4 分

(Ⅱ)显然直线的斜率 k 存在,所以可设直线的方程为 y ? k ( x ? 2) .

设点 E , F 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), 线段 EF 的中点为 G ( x0 , y0 ) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?2
得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 由 ? ? (8k ) ? 4(1 ? 2k )(8k ? 2) ? 0 解得 ?
2 2 2 2

2 2

?k?

2 2

.?(1)

????7 分

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

?8k 2 1 ? 2k 2

,于是

x0 ?

x1 ? x2 2

=?

4k 2 1 ? 2k
2

, y0 ? k ( x0 ? 2) ?

2k 1 ? 2k 2

?????8 分

因为 x0 ? ?

4k 2 1 ? 2k 2

? 0 ,所以点 G 不可能在 y 轴的右边,

又直线 C1 B2 , C1 B1 ,方程分别为 y ? x ? 1, y ? ? x ? 1 所以点 G 在正方形内(包括边界)的充要条件为

? 2k ?4k 2 ? ?1 ? ? y0 ? x0 ? 1 ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 即? ? 2 ? y0 ? ? x0 ? 1 ? 2k ? 4k ? 1 ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?
解得 ?

亦即 ?

?2k 2 ? 2k ? 1 ? 0, ?
2 ?2k ? 2k ? 1 ? 0. ?

??????10 分

3 ?1 2

?k?

3 ?1 2

,?????(2)

由(1)(2)知,直线斜率的取值范围是 [?
x

3 ?1 2

,

3 ?1 2

]. ??????12 分

22.解:(Ⅰ)? f ( x) ? ln(e ? a ? 1) 是实数集 R 上奇函数,

? f (0) ? 0 ,即 ln(e0 ? a ? 1) ? 0 ? 2 ? a ? 1 ? a ? ?1
将 a ? ?1 带入 f ( x) ? ln e ? x ,显然为奇函数.
x

??2 分. ??3 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? ? f ( x) ? sin x ? ? x ? sin x ,? g '( x) ? ? ? cos x, x ? ? ?1,1?

? 要 使 g ( x) 是 区 间 ? ?1,1? 上 的 减 函 数 , 则 有 g '( x) ? 0 在 x ? ? ?1,1? 恒 成 立 ,

? ? ? (? cos x) min ,所以 ? ? ?1 .
要使 g ( x) ? ? t ? 1 在 x ? ? ?1,1? 上恒成立,

??5 分

只需 g ( x) max ? g (?1) ? ?? ? sin1 ? ?t ? 1 在 ? ? ?1 时恒成立即可.

? (t ? 1)? ? sin1 ? 1 ? 0 (其中 ? ? ?1 )恒成立即可. ???7 分
令 h(? ) ? (t ? 1)? ? sin1 ? 1(? ? ?1) ,则 ?

?t ? 1 ? 0, ?h(?1) ? 0,

即?

?t ? 1 ? 0, ??t ? 2 ? sin1 ? 0,
???9 分

? t ? sin1 ? 2 ,所以实数的最大值为 sin1 ? 2
(Ⅲ)由(Ⅰ)知方程

ln x f ( x)

? x 2 ? 2ex ? m ,即

ln x x

? x 2 ? 2ex ? m ,

令 f1 ( x) ?

ln x x

, f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m 1 ? ln x x2

? f '1 ( x) ?

当 x ? ? 0, e ? 时, f '1 ( x) ? 0,? f1 ( x) 在 ? 0, e ? 上为增函数; 当 x ? [e, ??) 时, f '1 ( x) ? 0,? f1 ( x) 在 [e, ??) 上为减函数; 当 x ? e 时, f1 ( x) max ?

1 e



??????11 分

而 f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m ? ( x ? e) 2 ? m ? e 2 当 x ? ? 0, e ? 时 f 2 ( x) 是减函数,当 x ? [e, ??) 时, f 2 ( x) 是增函数,

? 当 x ? e 时, f 2 ( x) min ? m ? e 2 . ??????12 分
只有当 m ? e 2 ?

1 e

,即 m ? e 2 ?

1 e

时,方程有且只有一个实数根. ????14 分


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