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复数代数形式的乘除运算_图文

复数代数形式的乘除运算 温故夯基 1.设复数z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c, d∈R,则z1±z2=(a±c)+(b±d)i,类似于把i 看成未知数的多项式的加减运算. 2.对于两个非零复数z1和z2,|z1±z2|___| ≤ z1|+ |z2|. 知新益能 1.复数的乘法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), ac-bd+(ad+bc)i 则 z 1· z2=(a+bi)(c+di)=_________________. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C,有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 z 2· z1 z1· z2=_____ z 1· ( z 2· z3) (z1· z2)· z3=_______ z1z2+z1z3 z1(z2+z3)=________ 3.共轭复数 如 果 两 个 复 数 满 足 实部相等,虚部互为相反数 时, __________________________ 称这两个 复数为共轭复数.z 的共轭复数用 z 表示, a- bi 即 z=a+bi,则 z =______. 1).共轭复数对应点关于实轴对称。 2) .实数的共轭复数是它本身,即 z∈R?z = z, 利用此性质可以证明一个复数是实数. 3) .若 z≠0 且 z+ z =0,则 z 为纯虚数,利 用此性质可证明一个复数是纯虚数. 优化方案系列丛书 问题探究 第3章 数系的扩充与复数的引入 课 前 自 主 学 案 1.z· z 与|z|2 和| z |2 有什么关系? 提示:z· z =|z|2=| z |2. 2.z2 与|z|2 有什么关系? 提示: 当 z∈R 时, z2=|z|2, 当 z 为虚数时, z2≠|z|2,但|z|2=|z2|. 3.对于复数z,z· 0=0成立吗? 提示:仍然成立. 返回 课 堂 互 动 讲 练 知 能 优 化 训 练 山东水浒书业有限公司·www.yhfabook.com 优化方案系列丛书 第3章 数系的扩充与复数的引入 课 前 自 主 学 案 4.复数的除法法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0), a+bi ac+bd bc-ad z1 = 2 2+ 2 2 i(c+di≠0) c+di c +d c +d 则 =________________________________ . z2 课 堂 互 动 讲 练 复数化简的原则,分子分母同乘以分母 的共轭复数,实现了分母实数化 知 能 优 化 训 练 山东水浒书业有限公司·www.yhfabook.com 返回 考点突破 复数的乘除法 例1 计算:(1)(2+i)(2-i); (2)(1+2i)2; 1+ i 6 2+ 3i (3)( )+ . 1- i 3- 2i (1)复数的乘法可以按照乘法法则进行,对于能够 使用乘法公式计算的两个复数的乘法,用乘法公 式更简便,例如平方差公式,完全平方公式等. (2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复 数. 【解】 (1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(- 1)=5; 2 2 2 (2)(1+2i) =1+4i+(2i) =1+4i+4i = -3+4i; ?1+i?2 6 (3) 法 一 : 原 式 = [ ] + 2 ? 2+ 3i?? 3+ 2i? ? 3?2+? 2?2 6+2i+3i- 6 6 =i + 5 =-1+i. 法二:(技巧解法) ?1+i?2 6 ? 2+ 3i?i 原 式 = [ ] + = i6 + 2 ? 3- 2i?i ? 2+ 3i?i =-1+i. 2+ 3i 【思维总结】 对于复数的混合运算,仍可按照 先乘方、再乘除、后加减的顺序,有括号先计算 括号. 1 2 3 变式训练 1 计算(1-i) +2i+(3+i )+ 的 i 值. 解:原式=-2i+2i+3-i-i=3-2i. 共轭复数 z· z =|z|2,体现了复数与实数的转化. z∈R?z= z ;若 z≠0,z+ z =0,则 z 为纯 虚数. 1 例2 已知 z=x+yi(x、y∈R)且 z= , z (z+1)( z +1)=x2+y2,求复数 z. 【思路点拨】 1 z= ?z z =1?|z|=1,从 z 而展开(z+1)· ( z +1)可求. 1 【解】 ∵z= ,∴z z =1,∴|z|=1, z 即 x2+y2=1. 又∵(z+1)( z +1)=x2+y2, ∴z· z +z+ z +1=1, 1 ∴2x+1=0,∴x=- . 2 3 3 2 2 2 由 x +y =1,得 y = ,∴y=± . 4 2 1 3 ∴z=- ± i. 2 2 【思维总结】 本题充分利用了共轭复数的有关 性质,使问题直接化简为2x+1=0而不是直接把z =x+yi代入等式. 变式训练 2 已知 x、y∈R,若 2x+(5-y)i 和 3x-1-(y+1)i 是共轭复数, 求复数 z=x +yi 和 z . 解:因为 2x+(5-y)i 和 3x-1-(y+1)i 是共轭复数, ?2x=3x-1, ?x=1, 所以? 解得? ?5-y=y+1, ?y=2. 所以 z=1+2i, z =1-2i. i的运算性质及应用 虚数单位i的周期性: (1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n= 1(n∈N). (2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N). n也可以推广到整数集. 例3 计算:i+i2+i3+…+i2010. 【思路点拨】 解答本题可利用等比数列求和 公式化简或者利用in的周期性化简. i?1-i2010? i[1-?i2?1005] 【解】 法一: 原式= = 1-i 1- i i· ?1+1? 2i?1+i? = = 2 1-i =-1+i. 法二:∵i+i

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