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广州市2014届普通高中毕业班综合测试(二)(文数)


试卷类型:B

广州市 2014 届普通高中毕业班综合测试(二) 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔 将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。漏 涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式: 锥体的体积公式是 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 i z ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z 等于 A. ? 2 i B. 2 i C. ? 2 2.已知集合 A ? ?0,1, 2,3? , B ? x x ? x ? 0
2

D. 2

?

? ,则集合 A ? B 的子集个数为
C. 6 D. 8

A. 2

B. 4
3 2

3.命题“对任意 x ?R,都有 x ? x ”的否定是
3 2 A.存在 x0 ? R,使得 x0 ? x0 3 2 C.存在 x0 ? R,使得 x0 ? x0 3 2 B.不存在 x0 ? R,使得 x0 ? x0

D.对任意 x ?R,都有 x ? x
3

2

4. 下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ??? 上单调递增的是

1

A. y ?

x

B. y ? ? x 2 ? 1

C. y ? cos x

D. y ? x ? 1

5.有两张卡片,一张的正反面分别写着数字 0 与 1 ,另一张的正反面分别写着数字 2 与 3 , 将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2
3

D.

3 8
3

6.一个几何体的三视图如图 1,则该几何体 的体积为 A. 12 ? B. 6 ? 4 C. ? D. 2 ? 7.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,公差 d ? 0 , 若 S11 ? 132, a3 ? ak ? 24 ,则正整数 k 的值为 A. 9 C. 11 B. 10 D. 12

4 正视图 2 俯视图 图1
则 sin ?BAC 的值为

2 侧视图

? 8.在△ ABC 中, ?ABC ? 60 , AB ? 1 , BC ? 3 ,

A.

3 14

B.

3 3 14

C.

21 14

D.

3 21 14

9. 设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 右焦点, 点 P 在椭圆 C 上, 线段 PF1 a 2 b2

? C 的离心率为 的中点在 y 轴上,若 ?PF 1F 2 ? 30 ,则椭圆

A.

3 3

B.

3 6

C.

1 3
第1列

D.

1 6
第3列 第4列 第5列

10.将正偶数 2, 4, 6,8,? 按表 1 的方式进行 排列,记 aij 表示第 i 行第 j 列的数,若 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 …

第2列

16

aij ? 2014 ,则 i ? j 的值为
A. 257 C. 254 B. 256 D. 253

32


2 14 18 30 34
… 表1

4 12 20 28 36


6 10 22 26 38


8
24

40


二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.不等式 ? x ? 1?? x ? 2? ? 0 的解集为
2

.

12. 已知四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,若 DE ? 2EC, CF ? 2FB ,则 AE ? AF 的值 为 .

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 13.设 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值 ? x ? 0, y ? 0. ?
为 8 ,则 ab 的最大值为 . (二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 ?

? x ? a ? t, (t 为参数 ) 与 ?y ? t
.

圆?

? x ? 1 ? cos ? , (? 为参数 ) 相切,切点在第一象限,则实数 a 的值为 ? y ? sin ?

15. (几何证明选讲选做题)在平行四边形 ABCD 中,点 E 在线段 AB 上,且

A E?

1 2 EB ,连接 DE, AC , AC 与 DE 相交于点 F ,若△ AEF 的面积为 1 cm ,则 2
cm .
2

△ AFD 的面积为

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

?? ? 2 cos ? x ? ? , x ?R . 4? ?

(1) 求函数 f ? x ? 的最小正周期和值域; (2)若 ? ? ? 0,

? ?

??

1 ? ,且 f ?? ? ? 2 ,求 sin 2? 的值. 2?

17. (本小题满分 12 分) 某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取 n 名学生的数 学成绩, 制成表 2 所示的频率分布表. (1) 求 a , b , n 的值; (2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取 6 名学生,并在这 6 名学生中随机抽取 2 名与张老师面谈,求第三组中至少有 1 名学生与张老师面谈的概率. 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 频数 频率

?90,100? ?100,110? ?110,120? ?120,130? ?130,140?

5

0.05
0.35

a
30
20 10

0.30
b
0.10

3

合 计

n

1.00

表2 18. (本小题满分 14 分) 如图 2 , 在五面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,EF ∥平面 ABCD ,

EF ? 1 , FB ? FC, ?BFC ? 90? , AE ? 3 , H 是 BC 的中点.
(1)求证: FH ∥平面 BDE ; (2)求证: AB ? 平面 BCF ; (3)求五面体 ABCDEF 的体积.

E D

F C H

A
19. (本小题满分 14 分)

图2

B

已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n ? pn ? q( p, q ? R ) ,且 a2 , a3 , a5 成等比数列.
2

(1)求 p, q 的值; (2)若数列 ?bn ? 满足 an ? log2 n ? log 2 bn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? ax , a ?R .
2

(1)若函数 f ? x ? 在其定义域上为增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,函数 g ? x ? ?

f ? x? ? x 在区间 ?t , ?? ? ( t ?N * ) 上存在极值,求 t 的最大 x ?1

值. ( 参考数值: 自然对数的底数 e ≈ 2.71828 )

21. (本小题满分 14 分)
4

已知点 A ? 2,1? 在抛物线 E : x 2 ? ay 上,直线 l1 : y ? kx ? 1(k ? R,且 k ? 0) 与抛物线 E 相交于 B, C 两点,直线 AB, AC 分别交直线 l2 : y ? ?1 于点 S , T . (1)求 a 的值; (2)若 ST ? 2 5 ,求直线 l1 的方程; (3)试判断以线段 ST 为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若 不是,说明理由.

参考答案
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分. 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 C 6 B 7 A 8 D 9 A 10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做一题. 11. ? ?1, 2? 12. 9 13. 4 14. 2 ? 1 15. 3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (1)解:∵ f ? x ? ?

?? ? 2 cos ? x ? ? , 4? ?
……………2 分

∴ 函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? . ∵ x ?R, cos ? x ?

? ?

??

? ? ? ?1,1? , 4?

……………3 分

∴ 2 cos ? x ?

? ?

?? ? ? ? ? 2, 2 ? ?. 4? ?
5

……………4 分

∴ 函数 f ? x ? 的值域为 ? ? 2, 2 ? .

?

?

……………5 分

(2)解法 1:∵ f ?? ? ? ∴ 2 cos ? ? ?

1 , 2

? ?

??

1 ?? . 4? 2

……………6 分

∴ cos ?? ?

? ?

??

2 . ?? 4? 4
?? ? ? 2? ? ?2 ?

……………7 分

∴ sin 2? ? ? cos ?

……………9 分

?? ? ? 1 ? 2 cos 2 ? ? ? ? 4? ?
? 2? ? 1? 2? ? ? 4 ? ? ? ? 3 ? . 4 1 解法 2:∵ f ?? ? ? , 2

2

……………11 分

……………12 分

?? 1 ? 2 cos ? ? ? ? ? . 4? 2 ?
? ?

……………6 分

∴ 2 ? cos ? cos

?
4

? sin ? sin

??

1 ?? . 4? 2

……………7 分

∴ cos ? ? sin ? ?
2

1 . 2
2

……………8 分

两边平方得 cos ? ? 2 cos ? sin ? ? sin ? ? ∴ sin 2? ?

1 . 4

……………10 分 ……………12 分

3 . 4

17. (本小题满分 12 分) (1) 解:依题意,得

……………3 分 (2) 解:因为第三、四、五组共有 60 名学生,用分层抽样方法抽取 6 名学生, 则第三、四、五组分别抽取

5 a 20 ? 0.05, ? 0.35, ?b, n n n 解得, n ? 100 , a ? 35 ,b ? 0.2 .

30 20 10 ? 6 ? 3 名, ? 6 ? 2 名, ? 6 ? 1 名. …………6 分 60 60 60

第三组的 3 名学生记为 a1 , a2 , a3 , 第四组的 2 名学生记为 b1 , b2 , 第五组的 1 名学生记为 c1 ,

6

则从 6 名学生中随机抽取 2 名,共有 15 种不同取法,具体如下: ?a1, a2? , ?a1 , a3 ? ,

?a1 , b1? , ?a1 , b2 ? , ?a1 , c1? , ?a2 , a3? , ?a2 , b1? , ?a2 , b2 ? , ?a2 , c1? , ?a3 , b1? , ?a3 , b2 ? , ?a3 , c1? , ?b1 , b2 ? , ?b1 , c1? , ?b2 , c1? .
……………8 分

其中第三组的 3 名学生 a1 , a 2, a 3 没有一名学生被抽取的情况共有 3 种,具体如下:

?b1 , b2 ? ,?b1 , c1? ,?b2 , c1? .
故第三组中至少有 1 名学生与张老师面谈的概率为 1 ? 18. (本小题满分 14 分)

……………10 分

3 ? 0.8 . 15

……………12 分

(1)证明:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O ,则点 O 是 AC 的中点,连接 OH , EO , ∵ H 是 BC 的中点,

1 AB ? 1 . ……………1 分 2 ∵ EF ∥平面 ABCD , EF ? 平面 ABFE ,平面 ABCD ? 平面 ABFE ? AB , ∴ EF ∥ AB . ……………2 分 E ∵ EF ? 1 , ∴ OH ∥ EF , OH ? EF . D ∴四边形 EOHF 是平行四边形. ∴ EO ∥ FH , EO ? FH . ……………3 分 O ∵ EO ? 平面 BDE , FH ? 平面 BDE , M B ∴ FH ∥平面 BDE . ……………4 分 A (2)证法 1:取 AB 的中点 M ,连接 EM ,则 AM ? MB ? 1 , 由(1)知, EF ∥ MB ,且 EF ? MB , ∴四边形 EMBF 是平行四边形. ∴ EM ∥ FB , EM ? FB . ……………5 分
∴ OH ∥ AB , OH ? 在 Rt△ BFC 中, FB ? FC ? BC ? 4 ,又 FB ? FC ,得 FB ?
2 2 2

F C H

2.
……………6 分

∴ EM ? 2 . 在△ AME 中, AE ? 3 , AM ? 1 , EM ? 2 , ∴ AM ? EM ? 3 ? AE .
2 2 2

∴ AM ? EM . ∴ AM ? FB ,即 AB ? FB . ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB ? BC . ∵ FB ? BC ? B , FB ? 平面 BCF , BC ? 平面 BCF , ∴ AB ? 平面 BCF .
7

……………7 分

……………8 分 ……………9 分

证法 2:在 Rt△ BFC 中, H 为 BC 的中点, ∴ FH ?

1 BC ? 1 . 2 1 AC ? 2, EO ? FH ? 1 , 2

在△ AEO 中, AE ? 3, AO ? ∴ AO ? EO ? AE .
2 2 2

∴ AO ? EO . ∵ FH ∥ EO , ∴ AO ? FH .

……………5 分 ……………6 分

∵ FH ? BC, BC ? 平面 ABCD , AO ? 平面 ABCD , AO ? BC ? C , ∴ FH ? 平面 ABCD . ∵ AB ? 平面 ABCD , ∴ FH ? AB . ……………7 分 ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB ? BC . ……………8 分 A ∵ BC ? 平面 BCF , FH ? 平面 BCF , BC ? FH ? H , ∴ AB ? 平面 BCF . (3)解:连接 EC , 在 Rt△ BFC 中, FH ?

E

F C

D O B
……………9 分

H

1 BC ? 1 , 2

∴ EO ? FH ? 1 . 由(2)知 AB ? 平面 BCF ,且 EF ∥ AB , ∴ EF ? 平面 BCF . ∵ FH ? 平面 ABCD , EO ∥ FH , ∴ EO ? 平面 ABCD . ∴四棱锥 E ? ABCD 的体积为 V1 ?

……………10 分 ……………11 分

1 1 4 ? EO ? S正方形ABCD ? ?1? 22 ? . ………12 分 3 3 3 2 1 1 1 1 ∴三棱锥 E ? BCF 的体积为 V2 ? ? EF ? S ? BCF ? ? 1? ? 2 ? . ………13 分 3 3 2 3 5 ∴五面体 ABCDEF 的体积为 V ? V1 ? V2 ? . ……………14 分 3

? ?

19. (本小题满分 14 分) (1)解法 1:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ? p ? q , 当 n ? 2 时,an ? Sn ? Sn?1
2

……………1 分 ……………2 分

? n2 ? pn ? q ? ?? n ? 1? ? p ? n ? 1? ? q ? ? 2n ? 1 ? p . ………3 分 ? ?
∵ {an } 是等差数列, ∴ 1 ? p ? q ? 2 ?1 ? 1 ? p , 得q ? 0. ……………4 分

8

又 a2 ? 3 ? p, a3 ? 5 ? p, a5 ? 9 ? p , ∵ a2 , a3 , a5 成等比数列,
2 ∴ a3 ? a2a5 ,即 ? 5 ? p ? ? ?3? p ??9 ? p ? ,
2

……………5 分

……………6 分 ……………7 分

解得 p ? ?1 . 解法 2:设等差数列 {an } 的公差为 d , 则 Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d d? ? d ? n2 ? ? a1 ? ? n . 2 2 2? ?

……………1 分

∵ Sn ? n2 ? pn ? q , ∴

d d ? 1 , a1 ? ? p , q ? 0 . 2 2

……………4 分

∴ d ? 2 , p ? a1 ?1 , q ? 0 . ∵ a2 , a3 , a5 成等比数列,
2 ∴ a3 ? a2a5 ,

……………5 分

即 ? a1 ? 4 ? ? ? a1 ? 2 ?? a1 ? 8 ? .
2

解得 a1 ? 0 . ∴ p ? ?1 . (2)解法 1:由(1)得 an ? 2n ? 2 . ∵ an ? log2 n ? log 2 bn , ∴ bn ? n ? 2 n ? n ? 22n?2 ? n ? 4n?1 .
a

……………6 分 ……………7 分 ……………8 分

……………9 分
0 1 2 n ?2

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn?1 ? bn ? 4 ? 2 ? 4 ? 3? 4 ? ?? ? n ?1? ? 4

? n ? 4n?1 ,①

……………10 分

4Tn ? 41 ? 2 ? 42 ? 3? 43 ??? ? n ?1? ? 4n?1 ? n ? 4n ,②
① ? ②得 ?3Tn ? 4 ? 4 ? 4 ? ?? 4
0 1 2 n?1 n

……………11 分

1 ? 3n ? ? 4n ? 1 ? 1 ? 4n n ? n?4 ? . ? n? 4 ? 1? 4 3
……………13 分
9

∴ Tn ?

1 ? ? 3n ? 1? ? 4n ? 1? ? ?. 9

……………14 分 ……………8 分

解法 2:由(1)得 an ? 2n ? 2 . ∵ an ? log2 n ? log 2 bn , ∴ bn ? n ? 2 n ? n ? 22n?2 ? n ? 4n?1 .
a

……………9 分

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn?1 ? bn ? 40 ? 2 ? 41 ? 3? 42 ? ?? ? n ?1? ? 4n?2 ? n ? 4n?1 . ……………10 分 由 x ? x ? x ??? x ?
2 3 n

x ? x n ?1 ? x ? 1? , 1? x
1 2 n ?1

……………11 分

两边对 x 取导数得, x ? 2 x ? 3x ? ? ? nx
0
0 1 2

?
n?2

nx n ?1 ? ? n ? 1? x n ? 1

?1 ? x ?
? n ? 4n ?1 ?

2

. …………12 分

令 x ? 4 ,得 4 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n ? 1? ? 4 ∴ Tn ?

1 ? ? 3n ? 1? ? 4n ? 1? ? ?. 9
……………14 分

1 ? ? 3n ? 1? ? 4n ? 1? ? ?. 9

20. (本小题满分 14 分) (1)解法 1:函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? , ∵ f ? x ? ? ln x ? x ? ax ,
2

……………1 分

∴ f ?? x? ?

1 ? 2x ? a . x

……………2 分

∵ 函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增, ∴ f ? ? x? ? 0 , 即 ∴ ?a ?

1 ? 2 x ? a ? 0 对 x ? ? 0, ??? 都成立. x

……………3 分 ……………4 分

1 ? 2 x 对 x ? ? 0, ??? 都成立. x

当 x ? 0 时,

1 1 1 2 时,取等号. ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 2 2 , 当且仅当 ? 2 x , 即 x ? x 2 x x
……………5 分

∴ ?a ? 2 2 , 即 a ? ?2 2 . ∴ a 的取值范围为 ? ?2 2, ?? .

?

?

……………6 分 ……………1 分

解法 2:函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? ,
2 ∵ f ? x ? ? ln x ? x ? ax , ∴ f ? ? x ? ?

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? 2x ? a ? .……………2 分 x x

10

方程 2 x ? ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? a ? 8 .
2 2 2 ① 当 ? ? 0 , 即 ?2 2 ? a ? 2 2 时, 2 x ? ax ? 1 ? 0 ,

……………3 分

此时, f ? ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, ??? 都成立, 故函数 f ? x ? 在定义域 ? 0, ??? 上是增函数. ……………4 分

② 当 ? ? 0 , 即 a ? ?2 2 或 a ? 2 2 时 , 要使函数 f ? x ? 在定义域 ? 0, ??? 上为 增函数, 只需 2 x ? ax ? 1 ? 0 对 x ? ? 0, ??? 都成立.
2

?h ? 0 ? ? 1 ? 0, ? 设 h ? x ? ? 2x ? ax ? 1 , 则 ? a 得a ? 0. ? ? 0, ? ? 4
2

故a ? 2 2. 综合①②得 a 的取值范围为 ? ?2 2, ?? .

……………5 分

?

?

……………6 分

(2)解:当 a ? 1 时, g ? x ? ?

f ? x? ln x ? x 2 ? x ln x ?x? ?x? . x ?1 x ?1 x ?1

1 ? ln x x . g?? x? ? 2 ? x ? 1? 1?
∵ 函数 g ? x ? 在 ?t , ?? ? ( t ?N ) 上存在极值,
*

……………7 分

∴ 方程 g? ? x ? ? 0 在 ?t , ?? ? ( t ?N ) 上有解,
*

1 ? ln x ? 0 在 ?t , ?? ? ( t ?N * ) 上有解. ……………8 分 x 1 1 1 令 ? ? x ? ? 1 ? ? ln x ? x ? 0 ? , 由于 x ? 0 , 则 ? ? ? x ? ? ? 2 ? ? 0 , x x x
即方程 1 ? ∴函数 ? ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减. ∵ ? ? 3? ? ……………9 分

4 1 e 4 1 2.54 ? ln 3 ? ln ? ln ? 0, 3 3 27 3 27 5 4 1 4

……………10 分

? ? 4 ? ? ? ln 4 ? ln

e5 1 35 ? ln ? 0, 256 4 256

……………11 分 ……………12 分

∴函数 ? ? x ? 的零点 x0 ? ? 3, 4? .
11

∵方程 ? ? x ? ? 0 在 ?t , ?? ? (t ? N ) 上有解, t ?N
*

*

∴t ? 3 . ∵ t ?N ,
*

……………13 分

∴ t 的最大值为 3 . 21. (本小题满分 14 分) (1)解:∵点 A ? 2,1? 在抛物线 E : x 2 ? ay 上, 第(2) 、 (3)问提供以下两种解法: 解法 1: (2)由(1)得抛物线 E 的方程为 x2 ? 4 y . ∴a ? 4.

……………14 分

……………1 分

2 2 设点 B, C 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,依题意, x1 ? 4 y1 , x2 ? 4 y2 ,

由?

? y ? kx ? 1, 2 消去 y 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 , 2 ? x ? 4 y,
4k ? 4 k 2 ? 1 ? 2k ? 2 k 2 ? 1 . 2
……………2 分

解得 x1,2 ?

∴ x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 .

直线 AB 的斜率 k AB

x12 ?1 y ?1 4 x ?2 ? 1 ? ? 1 , x1 ? 2 x1 ? 2 4
x1 ? 2 ? x ? 2? . 4
……………3 分

故直线 AB 的方程为 y ? 1 ? 令 y ? ?1 ,得 x ? 2 ?

? ? 8 8 , ?1 ? . ……………4 分 ,∴点 S 的坐标为 ? 2 ? x1 ? 2 x1 ? 2 ? ? ? ? ? 8 , ?1 ? . x2 ? 2 ?
……………5 分

同理可得点 T 的坐标为 ? 2 ?

∴ ST ? 2 ?

8 ? x1 ? x2 ? ? 8 8 ? ??2? ?? x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?
……………6 分

?

8 ? x1 ? x2 ? 8 ? x1 ? x2 ? x ?x ? ? 1 2 . x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 8k k
∴ x1 ? x2 ? 2 5 k .
2

∵ ST ? 2 5 , 由 x1 ? x2
2

? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ,得 20k 2 ? 16k 2 ? 16 ,
12

解得 k ? 2 , 或 k ? ?2 , ∴直线 l1 的方程为 y ? 2 x ? 1 , 或 y ? ?2 x ? 1 . (3)设线段 ST 的中点坐标为 ? x0 , ?1? , 则 x0 ?

…………… 7 分 ……………9 分

4 ? x1 ? x2 ? 4 ? 1? 8 8 ? ?2? ?2? ? ? 2? 2? x1 ? 2 x2 ? 2 ? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?
4 ? 4k ? 4 ? 4 ? 4k ? 4 ? 2 ? 2? ?? . x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 8k k
……………10 分

? 2?

而 ST

2

?

? x1 ? x2 ?
k2

2

?x ? x ? ? 1 2

2

? 4 x1 x2

k2

?

16 ? k 2 ? 1? k2



……………11 分

2 4 ? k 2 ? 1? 2? 1 2 2 ? ∴以线段 ST 为直径的圆的方程为 ? x ? ? ? ? y ? 1? ? ST ? . k2 k? 4 ?

4 ? k 2 ? 1? 4 4 2 展开得 x ? x ? ? y ? 1? ? ? 2 ? 4. k k2 k
2

……………12 分 ……………13 分 ……………14 分

令 x ? 0 ,得 ? y ? 1? ? 4 ,解得 y ? 1 或 y ? ?3 .
2

∴以线段 ST 为直径的圆恒过两个定点 ? 0,1? , ? 0, ?3? . 解法 2: (2)由(1)得抛物线 E 的方程为 x ? 4 y .
2

设直线 AB 的方程为 y ?1 ? k1 ? x ? 2? ,点 B 的坐标为 ? x1 , y1 ? ,

2 ? ? y ? 1 ? k1 ? x ? 2 ? , ?x ? 2 ? , k1 由? 解得 ? ? y ? ?1, ? y ? ?1. ?
∴点 S 的坐标为 ? 2 ?

? ?

? 2 , ?1 ? . k1 ?

……………2 分

由?

? y ? 1 ? k1 ? x ? 2 ? , ? x ? 4 y,
2

消去 y ,得 x2 ? 4k1x ? 8k1 ? 4 ? 0 ,

即 ? x ? 2?? x ? 4k1 ? 2? ? 0 ,解得 x ? 2 或 x ? 4k1 ? 2 . ∴ x1 ? 4k1 ? 2 , y1 ?

1 2 x1 ? 4k12 ? 4k1 ? 1 . 4

2 ∴点 B 的坐标为 4k1 ? 2, 4k1 ? 4k1 ? 1 .

?

?

……………3 分

13

同理,设直线 AC 的方程为 y ?1 ? k2 ? x ? 2? , 则点 T 的坐标为 ? 2 ?

? ?

? 2 2 , ?1 ? ,点 C 的坐标为 ? 4k2 ? 2, 4k2 ? 4k2 ? 1? . …………4 分 k2 ?

∵点 B, C 在直线 l1 : y ? kx ? 1上,

? 4k ∴k ?

2 2

? 4k2 ? 1? ? ? 4k12 ? 4k1 ? 1?

? 4k2 ? 2 ? ? ? 4k1 ? 2 ?

?k ?

2 2

? k12 ? ? ? k2 ? k1 ? k2 ? k1

? k1 ? k2 ?1 .
……………5 分

∴ k1 ? k2 ? k ? 1 .

2 2 又 4k1 ? 4k1 ?1 ? k ? 4k1 ? 2? ?1 ,得 4k1 ? 4k1 ? 4kk1 ? 2k ? 4 ? k1 ? k2 ?1? k1 ? 2k ,

化简得 k1k 2 ?

k . 2

……………6 分

? 2? ? 2 ? 2 ? k1 ? k2 ? ST ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? , k k k k ? 1 ? ? 2 ? 1 2
∵ ST ? 2 5 ,

……………7 分



2 ? k1 ? k2 ? ?2 5. k1k2
2 2

∴ ? k1 ? k2 ? ? 5 ? k1k2 ? . 由 ? k1 ? k2 ? ? ? k1 ? k2 ? ? 4k1k2 ? 5 ? k1k2 ? ? 4k1k2 ,
2 2 2

得 ? k ? 1? ?
2

5 2 k ? 2k , 4
……………8 分 …………… 9 分

解得 k ? ?2 . ∴直线 l1 的方程为 y ? 2 x ? 1 ,或 y ? ?2 x ? 1 . (3)设点 P ? x, y ? 是以线段 ST 为直径的圆上任意一点, 则 SP ? TP ? 0 , 得? x ? 2?

??? ???

……………10 分 ……………11 分

? ?

2 ?? 2? ?? x ? 2 ? ? ? ? y ? 1?? y ? 1? ? 0 , k1 ?? k2 ?
2

整理得, x ?

4 2 x ? 4 ? ? y ? 1? ? 0 . k
2

……………12 分 ……………13 分

令 x ? 0 ,得 ? y ? 1? ? 4 ,解得 y ? 1 或 y ? ?3 .

14

∴ 以线段 ST 为直径的圆恒过两个定点 ? 0,1? , ? 0, ?3? .

……………14 分

15


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