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高考数学一轮复习课时检测 第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积 理

第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积
一、选择题 4 1. 母线长为 1 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 π , 则该圆锥的体积为 3 A. 2 2 π 81 4 5 π 81 B. 8 π 81 10 π 81 ( )

C.

D.

4 4 解析:圆锥的侧面展开图扇形的弧长,即底面圆的周长为 π ·1= π ,设底面圆的半 3 3 4 2 径为 r,则有 2π r= π ,得 r= ,于是圆锥的高 h= 3 3 4 5 = π. 81 答案:C 2.(2011·陕西高考)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 ( ) 1- 2 3
2



5 ,故圆锥的体积 V 3

2π A.8- 3 C.8-2π

π B.8- 3 2π D. 3

解析:圆锥的底面半径为 1,高为 2,该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积,即 V 1 2 3 2 =2 - ×π ×1 ×2=8- π . 3 3 答案:A 3.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长都相等,其外接球的表面积是 4π ,则其 侧棱长为 A. C. 3 3 2 2 3 2 3 B. 3 D. 2 3 ( )

解析:依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.设侧棱长为 a,球半 径为 r.∵r=1,∴ 3a=2r=2, 2 3 ∴a= . 3 答案:B 4.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积为 ( ) A.

a3
6 3 3 a 12

B.

a3
12 2 3 a 12

C.

D.

解析:设正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 E,沿 AC 折起后依题意得,当 BD=a 时,BE⊥DE,所以 DE⊥平面 ABC,于是三棱锥 D-ABC 的高为 DE= 1 1 2 2 2 3 的体积 V= · a · a= a . 3 2 2 12 答案:D 5.(2011·广东高考)如图,某几何体的正视图,侧视图和俯视图分别是等边三角形, 等腰三角形和菱形,则该几何体体积为 ( ) 2 a,所以三棱锥 D-ABC 2

A.4 3 C.2 3

B.4 D.2

解析:由题意知该几何体为如图所示的四棱锥,底面为菱形,且 AC 1 1 =2 3,BD=2,高 OP=3,其体积 V= ×( ×2 3×2)×3=2 3. 3 2 答案:C 6. (2012·台州模拟)在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直 二面角 B-AC-D,则四面体 ABCD 的外接球的体积为 A. 125 π 12 125 B. π 9 ( )

C.

125 π 6

125 D. π 3

解析:由题意知,球心到四个顶点的距离相等,所以球心在对角线 AC 上,且其半径为

AC 长度的一半,则 V 球= π ×( )3=
答案:C 二、填空题

4 3

5 2

125π . 6

7.(2011·福建高考)三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,则三棱锥 P-ABC 的体积等于________. 1 1 3 2 解析:依题意有,三棱锥 P-ABC 的体积 V= S△ABC·PA= × ×2 ×3= 3. 3 3 4 答案: 3 8.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m .
3

解析:由三视图可知,此几何体的上面是正四棱柱,其长,宽,高分别是 2,1,1,此几 何体的下面是长方体, 其长, 宽, 高分别是 2,1,1, 因此该几何体的体积 V=2×1×1+2×1×1 =4(m ). 答案:4 9.四棱锥 P-ABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 中的投影恰好是 A,其三视图如图所示,则四 棱锥 P-ABCD 的表面积为________.
3

解析:依题意可知,在该四棱锥中,PA⊥底面 ABCD,PA=a,底面四边形 ABCD 是边长

1 2 为 a 的正方形, 因此有 PD⊥CD, PB⊥BC, PB=PD= 2a, 所以该四棱锥的表面积等于 a +2× 2

a2+2× × 2a×a=(2+ 2)a2.
答案:(2+ 2)a 三、解答题 10.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为 8、 高为 4 的等腰三角形,侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S. 解:由题设可知,几何体是一个高为 4 的四棱锥,其底面是长、宽分 别为 8、6 的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为 8,高为 h1 的等腰三 角形,左、右侧面均为底边长为 6、高为 h2 的等腰三角形,如图所示. 1 1 (1)几何体的体积 V= ·S 矩形·h= ×6×8×4=64. 3 3 (2)正侧面及相对侧面底边上的高 h1= 4 +3 =5, 左、右侧面的底边上的高 h2= 4 +4 =4 2, 1 1 故几何体的侧面积 S=2×( ×8×5+ ×6×4 2)=40+24 2. 2 2 11.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱垂直于底面,其高为 6 cm,底面 三角形的边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,以上、下底面的内切圆为底面,挖 去一个圆柱,求剩余部分形成的几何体的体积. 解:V 棱柱=3×4÷2×6=36(cm ). 设圆柱底面圆的半径为 r, (3-r)+(4-r)=5,
3 2 2 2 2 2

1 2

r=1. V 圆柱=π r2·h=6π (cm3).

V=V 棱柱-V 圆柱=(36-6π )cm3.
π 12. (2011·江西高考)如图,在△ABC 中,∠B= ,AB=BC=2,P 2 为 AB 边上一动点,PD∥BC 交 AC 于点 D,现将△PDA 沿 PD 翻折至△PDA′,

使平面 PDA′⊥平面 PBCD.

(1)当棱锥 A′-PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A′C 的中点, 求证:A′B⊥DE. 解:(1)令 PA=x(0<x<2),则 A′P=PD=x,BP=2-x,因为 A′P⊥PD 且平面 A′PD⊥ 1 1 1 3 平面 PBCD,故 A′P⊥平面 PBCD,所以 VA′-PBCD= Sh= (2-x)(2+x)x= (4x-x ), 3 6 6 1 1 3 2 令 f(x)= (4x-x ),由 f′(x)= (4-3x )=0, 6 6 2 得 x= 3, 3 2 当 x∈(0, 3)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 3 2 当 x∈( 3,2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 3 2 所以,当 x= 3时,f(x)取得最大值, 3 2 3 即:当 VA′-PBCD 取得最大时,PA= . 3

(2)证明:设 F 为 A′B 的中点, 1 1 连接 PF,FE.则有 EF 綊 BC,PD 綊 BC, 2 2 ∴EF 綊 PD 四边形 EFPD 为平行四边形. 所以 DE∥PF,又 A′P=PB, 所以 PF⊥A′B,故 DE⊥A′B


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