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直线与方程 优秀教案选


复习课: 直线与方程
教学目标 重点:掌握直线方程的五种形式,两条直线的位置关系. 难点:点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决. 能力点:培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力. 教育点:培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用. 自主探究点:1.由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系; 2.能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程; 3.能够深入研究对称问题的实质,利用对称性解决相关问题. 考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现,直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目. 易错点:判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错. 易混点:用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件. 拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究. 学法与教具 1.学法:讲练结合,自主探究 2.教具:多媒体课件,三角板 一、 【知识结构】 定义 直线的倾斜角 范围 直线的倾斜角与斜率 定义 直 线 的 方 程 直线的斜率 公式 点斜式 斜截式 直线方程的五种形式 两点式 截距式 一般式

平行的判定方法 平行与垂直的判定 垂直的判定方法 两直线相交 求交点坐标 点与点的距离 两条直线的位置关系 三种距离计算 点与线的距离 平行线的距离

点关于直线对称

直线对称问题

直线关于直线对称

直线关于点对称

?

二、 【知识梳理】 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ① 定义:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准, x 轴________与直线 l ________方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为________. ② 倾斜角 ? 的范围为______________. (2)直线的斜率 ① 定义:一条直线的倾斜角 ? 的________叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,即

k ? ________,倾斜角是 90? 的直线斜率不存在.
② 过两点的直线的斜率公式: 经过两点 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 的 直线的斜率公式为 k ? ______________________.当 1 2

x1 ? x2 时,直线的斜率__________.
(3)直线的倾斜角 ? 与斜率 k 的关系 当 ? 为锐角时, ? 越大 ? k 越____;当 ? 为钝角时, ? 越大 ? k 越____; 2.直线方程的五种基本形式 名称 点斜式 几何条件 过点 ? x0 , y0 ? ,斜率为 k 方程 局限性 不含__________的直线

斜截式

斜率为 k ,纵截距为 b 过 两 点 ? x1 , y1 ? 和 ? x2 , y2 ?

不含__________的直线

两点式 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 横截距为 a ,纵截距为 截距式

不含__________的直线

b ? ab ? 0?

不含________和_______的直线

一般式

A, B, C ? A2 ? B 2 ? 0 ?
?

平面直角坐标系内的直线都适用

答案:1. (1) ① 正向,向上, 0 在. (3)大,大.

;②0? ? ? ? 180? ; (2) ① 正切值, tan ? ;②

y2 ? y1 .不存 x2 ? x1

2. y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , y ? kx ? b ,

x y y ? y1 x ? x1 2 2 , ? ? 1 , Ax ? By ? C ? 0( A ? B ? 0) . ? y2 ? y1 x2 ? x1 a b

垂直于 x 轴;垂直于 x 轴;垂直于坐标轴;垂直于坐标轴、过原点. 3.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1 、 l2 ,其斜率分别为 k1 、 k2 ,则有 l1 // l2 的斜率 l1 、 l2 都不存在时, l1 与 l2 ________. (2)两条直线垂直 如果两条直线斜率 l1 、 l2 存在,设为 k1 、 k2 ,则 l1 一条直线斜率不存在时,两直线________. 4.两直线相交 交点:直线 l1 : A x ? B1 y ? C1 1

? ____________.特别地,当直线

? l2 ? ____________,当一条直线斜率为零,另

? 0 和 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的公共点的坐标与方程组

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的解一一对应. ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交 ? 方程组有__________,交点坐标就是方程组的解; 平行 ? 方程组________; 重合 ? 方程组有______________.
5.三种距离公式 (1)点 A

? x1, y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? 间的距离:


AB ?
(2)点 P

? x0 , y0 ? 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离:


d?
(3)两平行直线 l1 : A x ? B1 y ? C1 1

? 0 与 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ( C1 ? C2 )间的距离为

d ? ______________.
6.直线中的对称问题有哪些?(学生讨论)如何求一个点关于直线的对称点?如何求直线关于点的对称直 线以及直线关于点的对称直线呢?

三、 【范例导航】

例 1 已知直线 l : mx ? y ? m ? 2 ? 0 与以 A ? ?2, ?3? 、B ?3,0? 为端点的线段相交, 求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 【分析】可用两点式写出直线 AB 的方程,联立直线 l 和 AB 的方程,解出交点的坐标 M ,利用 ?2 ? xM ? 3 ,解出 m 的取值 范围,由 m 与斜率 k 的关系,即得斜率 k 的取值范围.这样求解, 显然非常繁琐,不宜采用.既然直线 l 的方程中含有参数 m ,可 以得到直线 l 必过一定点 P ,将直线 l 绕定点 P 转动,寻找与线段 AB 相交的位置.由“直线 l 与线段 AB 相交”展开联想. (1)结合图形,运用运动变化的观点,考虑直线斜率与倾斜 角的变化关系,可求出符合条件的直线斜率的取值范围. (2)直线 l 与线段 AB 相交于点 M ,则点 A 、 B 分别在直 线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上,可考虑利用不等式表示的平面 区域求解.

y

P(﹣3,0) B(3,0)

O

x

C A(﹣2,﹣3)

【解答】直线 l 的方程可以化为 ? ? y ? 2? ? m ? x ? 1? ? 0 ,它表示经过直线 ? y ? 2 ? 0 和 x ? 1 ? 0 的交 点的直线方程,由 ?

?? y ? 2 ? 0, ? x ? ?1, 解得 ? 所以直线 l 必过定点 P(?1, 2) . ? x ? 1 ? 0, ? y ? 2,
1 .如图,当直线 l 由 PA 变化到与 y 2

法一:设 PA 与 PB 的倾斜角分别为 ? , ? . k PA ? 5 , k PB ? ?
0

轴平行的位置 PC 时, 其倾斜角由 ? 增至 90 , 斜率 k 的变化范围是 ?5, ?? ? . 当直线 l 由 PC 变化到 PB 的 位置时,其倾斜角由 90 增至 ? ,斜率 k 的变化范围是 ? ??, ? . 2
0

? ?

1? ?

故斜率 k 的取值范围是 ? ??, ? ? ?5, ?? ? . 2

? ?

1? ?

法二:设直线 l 的方程为 y ? 2 ? k ? x ? 1? ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 . ∵点 A 、 B 分别在直线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上,∴ ? ?2k ? 3 ? k ? 2??3k ? 0 ? k ? 2? ? 0 , 解得 k ? 5 或 k ? ?

1 1? ? .故斜率 k 的取值范围是 ? ??, ? ? ?5, ?? ? . 2 2? ?

【点评】 求直线过定点的步骤是: (1) ①将直线方程整理为 f ? x, y ? ? mg ? x, y ? ? 0(其中 m 为参数) ; ②解方程组 ?

? f ? x, y ? ? 0, ? 即得定点坐标. ? g ? x, y ? ? 0, ?

(2)本题确定直线斜率 k 的取值范围用了以下两种方法: ①数形结合法:根据直线的变化规律,借助直线的倾斜角 ? 与斜率 k 的关系: “当 ? 为锐角时, ? 越 大 ? k 越大 ? k ? 0 ? ;当 ? 为钝角时, ? 越大 ? k 越大 ? k ? 0 ? ”去探究 k 的变化规律.

②利用不等式表示的平面区域:当 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? 在直线 Ax ? By ? C ? 0 的异侧时,则

? Ax1 ? By1 ? C ?? Ax2 ? By2 ? C ? ? 0 ;当 A ? x1, y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? 在直线 Ax ? By ? C ? 0 的同侧时,则 ? Ax1 ? By1 ? C ?? Ax2 ? By2 ? C ? ? 0 .
变式训练:在上述条件中,若 P 点坐标为 ? ?3, 2? ,则直线 l 的斜率的取值范围有何变化? 解 当 P 点坐标为 ? ?3, 2? 时, kPA ? ?5 , k PB ? ? 率始终是存在的,故斜率 k 的取值范围是 ? ?5, ? ? . 3

1 .直线 l 由 PA 转动到 PB 的过程中,直线 l 的斜 3

? ?

1? ?

例 2 求适合下列条件的直线方程: (1) 过点 A(?1, ?3) ,斜率是直线 y ? 3x 的斜率的 ? (2) 经过点 P(3, 2) ,且在两坐标轴上的截距相等; (3) 过点 A(1, ?1) 与已知直线 l1 : 2 x ? y ? 6 ? 0 相交于 B 点且 AB ? 5 . 【分析】在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件. 【解答】 (1) 设所求直线的斜率为 k ,依题意 k ? ? 由点斜式,得直线方程为 y ? 3 ? ?

1 ; 4

1 3 ? 3 ? ? .又直线经过点 A(?1, ?3) , 4 4

3 ( x ? 1) ,即 3x ? 4 y ? 15 ? 0 . 4

(2)法一:设直线 l 在 x , y 轴上的截距均为 a . ①若 a ? 0 ,则 l 过点 (0, 0) 和 (3, 2) ,由点斜式,得 l 的方程为 y ? ②若 a ? 0 ,则设 l 的方程为 ∴l 的方程为 x ? y ? 5 ? 0 . 综上可知,直线 l 的方程为 2 x ? 3 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0 . 法二:由题意,所求直线的斜率必定存在.设所求直线方程为 y ? 3 ? k ? x ? 2? ,它在 x 轴、 y 轴上 的截距分别为 2?

2 x ,即 2 x ? 3 y ? 0 . 3

x y 3 2 ? ? 1 ,∵l 过点 (3, 2) ,∴ ? ? 1 ,解得 a ? 5 , a a a a

3 3 3 k 、 3 ? 2k , 于 是 2 ? ? 3 ? 2 , 解 得 k ? 或 k ? ?1 , 所 以 直 线 方 程 为 k 2 k

y ?3 ?

3 ? x ? 2 ? 或 y ? 3 ? ? ? x ? 2? ,即 2 x ? 3 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0 . 2

(3)法一:过点 A(1, ? 1) 与 y 轴平行的直线为 x ? 1 .解方程组 ?

?x ? 1 ,求得 B 点坐标为 ?2 x ? y ? 6 ? 0

(1, 4) ,此时 AB ? 5 ,即 x ? 1 为所求.

设过 A(1, ?1) 且与 y 轴不平行的直线为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,解方程组 ?

? 2 x ? y ? 6 ? 0, 得两直线交点为 ? y ? 1 ? k ( x ? 1),

k ?7 ? ? x ? k ?2, ? ( k ? ?2 ,否则与已知直线平行) ,则 B 点坐标为 ( k ? 7 , 4 k ? 2 ) . ? 4k ? 2 k?2 k?2 ?y ? , ? k ?2 ?
由已知 (

3 k ? 7 2 4k ? 2 2 3 ) ?( ) ? 52 ,解得 k ? ? ,∴ y ? 1 ? ? ( x ? 1) ,即 3x ? 4 y ? 1 ? 0 . 4 k ?2 k ?2 4

综上可知,所求直线的方程为 x ? 1 或 3x ? 4 y ? 1 ? 0 .
2 法二: B ? a,6 ? 2a ? , AB ? 5 , ? a ? 1? ? ? 7 ? 2a ? ? 25 , 设 由 得 整理, a ? 6a ? 5 ? 0 , 得 解得 a ? 1
2 2

或 a ? 5 .由两点式,得直线的方程为 x ? 1 或 3x ? 4 y ? 1 ? 0 . 【点评】 (1)用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线, 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截 距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况. (2)求直线方程需要两个条件.当两个条件显性时,直接选择适当的直线方程的形式,写出所求直 线的方程,如第(1)题;当两个条件至少一个隐性时,可根据已知条件,选择适当的直线方程的形式, 设出所求的直线方程,建立方程(组) ,待定出其中的系数,从而求得直线方程,如第(2)和第(3)题. (3)对于直线上的点,我们往往运用直线方程,将该点的坐标一元化,从而简化运算过程,如第(3) 题的法二,若设 B ? a, b? ,则需列方程组求解,过程较为繁琐. 变式训练: 求满足下列条件的直线 l 的方程: (1) 过点 A(0, 2) ,它的倾斜角的正弦值是

3 ; 5

(2) 过点 A(2,1) ,它的倾斜角是直线 l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的倾斜角的一半; (3) 过点 A(2,1) 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 的交点. 答案(1) 3x ? 4 y ? 8 ? 0 或 3x ? 4 y ? 8 ? 0 . (2) 3x ? y ? 5 ? 0 .

(3) 法一:由 ?

? x ? 2 y ? 3 ? 0, 解 得 交 点 坐 标 为 ? ?5, ?4? , 由 两 点 式 , 得 所 求 直 线 方 程 为 ?2 x ? 3 y ? 2 ? 0,

5x ? 7 y ? 3 ? 0 .
法二:设所求直线方程为 ? x ? 2 y ? 3? ? m ? 2x ? 3 y ? 2? ? 0 (其中 m ? R ) ,将点 A(2,1) 代入,解得

m ? ?3 ,从而所求直线方程为 5x ? 7 y ? 3 ? 0 .
例 3. (1)已知两直线 l1 : x ? m
2

y ? 6 ? 0 , l2 : ? m ? 2? x ? 3my ? 2m ? 0 ,若 l1 // l2 ,求实数 m 的值;

(2)已知两直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 和 l2 : x ? ? a ? 1? y ? a ? 1 ? 0 .若 l1
2

?

?

? l2 ,求实数 a 的值.

【分析】(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1 和

l2 , l1 // l2 ? k1 ? k2 , l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 .若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是多少
一定要特别注意. (2)①若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 :

y ? k2 x ? b2 ,则 l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . ②设 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 .则: l1 ? l2 ? A A2 ? B1B2 ? 0 . 1 1 【解答】(1)方法一:①当 m ? 0 时, l1 : x ? 6 ? 0 , l2 : x ? 0 , l1 // l2 ; 1 6 2?m 2 x? , ②当 m ? 0 时, l1 : y ? ? 2 x ? 2 , l2 : y ? m m 3m 3 1 2?m 6 2 由? 2 ? 且? 2 ? ? , m 3m m 3 ∴ m ? ?1 . 故所求实数 m 的值为 0 或 ?1 . 方法二:直线 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 平行的等价条件是: 1 A1B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? B2C1 ? 0 或 AC2 ? A2C1 ? 0 ,由所给直线方程可得: 1

1? 3m ? m2 ? m ? 2? ? 0 且 1? 2m ? 6 ? m ? 2? ? 0 ? m ? m 2 ? 2m ? 3? ? 0 且 m ? 3

? m ? 0 或 ?1 ,故所求实数 m 的值为 0 或 ?1 . a (2) 方法一:由直线 l1 的方程知其斜率为 ? , 2 当 a ? 1 时,直线 l2 的斜率不存在, l1 与 l2 不垂直; 1 当 a ? 1 时,直线 l2 的斜率为 ? , a ?1 a ? 1 ? 2 由 ? ?? ? ? ? ?1 ? a ? . 2 ? a ?1 ? 3 2 故所求实数 a 的值为 . 3 方法二: 直线 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 垂直的等价条件是 A A2 ? B1B2 ? 0 . 1 1 2 2 由所给直线方程可得: a ?1 ? 2 ? ? a ? 1? ? 0 ? a ? ,故所求实数 a 的值为 . 3 3
【点评】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键,注意转化与化归思想的应用.

变式训练:已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 .试确定 m 、 n 的值,使
(1) (2)

l1 与 l2 相交于点 P ? m, ?1? ;

l1 // l2 ; (3) l1 ? l2 ,且 l1 在 y 轴上的截距为 ?1 .
答案:(1)由题意得: ?

? m2 ? 8 ? n ? 0

? 2m ? m ? 1 ? 0 (2)当 m ? 0 时,显然 l1 不平行于 l2 ;
当 m ? 0 时,由

,解得 m ? 1, n ? 7 .

2 m 8 n ? m ? 8? 2 ? 0 ? ? ? 得? , 2 m ?1 ?8 ? ? ?1? ? mn ? 0 ?

?m?4 ?m ? ?4 ,或 ? . ?n ? ?2 ? n?2 即 m ? 4, n ? ?2 时或 m ? ?4, n ? 2 时, l1 // l2 .
∴?

(3)当且仅当 m ? 2 ? 8 ? m ? 0 ,即 m ? 0 时, l1 即 m ? 0 , n ? 8 时, l1

? l2 ,又 ?

n ? ?1 ,∴ n ? 8 . 8

? l2 且 l1 在 y 轴上的截距为 ?1 . 例 4.求经过直线 l1 : 3x ? 2 y ? 1 ? 0 和 l2 : 5 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点,且垂直于直线 l3 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 的直 线 l 的方程. 【分析】运用直线系方程,有时会给解题带来方便,常见的直线系方程有:(1)与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行 的直线系方程是: Ax ? By ? m ? 0 ? m ? R且m ? C ? ;(2)与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程是

Bx ? Ay ? m ? 0 ? m ?R? ;(3)过直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系
方程为 A x ? B1 y ? C1 ? ? 1

? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ?? ?R? ,但不包括 l2 .

?3x ? 2 y ? 1 ? 0 3 ,得 l1 、 l2 的交点坐标为 ? ?1, 2 ? ,再由 l3 的斜率 求出 l 的斜 5 ?5 x ? 2 y ? 1 ? 0 5 5 率为 ? ,于是由直线的点斜式方程求出 l : y ? 2 ? ? ? x ? 1? ,即 5 x ? 3 y ? 1 ? 0 . 3 3 方法二: 由于 l ? l3 ,故 l 是直线系 5 x ? 3 y ? C ? 0 中的一条,而 l 过 l1 、 l2 的交点 ? ?1, 2 ? ,故
【解答】方法一:先解方程组 ?

5? ? ?1? ? 3? 2 ? C ? 0 ,由此求出 C ? ?1 ,故 l 的方程为 5 x ? 3 y ? 1 ? 0 .
方法三: 由于 l 过 l1 、 l2 的交点,故 l 是直线系 3x ? 2 y ?1 ? ?

?5x ? 2 y ?1? ? 0 中的一条,将其整理,得
1

为 5x ? 3 y ? 1 ? 0 . 倍的效果.

?3 ? 5? ? x ? ? 2 ? 2? ? y ? ? ?1? ? ? ? 0 ,其斜率 ? 2 ? 2? ? ? 3 ,解得 ? ? 5 ,代入直线系方程即得 l 的方程

3 ? 5?

5

【点评】准确定位直线的各个要素才能快速求出直线方程,常规方法及直线系方程的恰当使用能够起到事半功

变式训练:直线 l 被两条直线 l1 : 4 x ? y ? 3 ? 0 和 l2 : 3x ? 5 y ? 5 ? 0 截得的线段的中点为 P ? ?1, 2? ,
求直线 l 的方程. 答案:设直线 l 与 l1 的交点为 A

? x0 , y0 ? ,由已知条件,得直线 l 与 l2 的交点为 B ? ?2 ? x0 , 4 ? y0 ? ,并且满足

4 x0 ? y0 ? 3 ? 0 ? ? 4 x0 ? y0 ? 3 ? 0 ? x0 ? ?2 ,即 ? ,解得: ? ,因此直线 l 的方程为: ? ?3 x0 ? 5 y0 ? 31 ? 0 ? y0 ? 5 ?3 ? ?2 ? x0 ? ? 5 ? 4 ? y0 ? ? 5 ? 0
y ? 2 x ? ? ?1? ,即 3x ? y ? 1 ? 0 . ? 5 ? 2 ?2 ? ? ?1?

四、 【解法小结】 1.斜率的求法 (1) 定义法:已知倾斜角 ? ,可根据 k ? tan ? 求解; (2)公式法:已知直线上两点 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? ? x1 ? x2 ? ,可根据斜率公式 k ?

y2 ? y1 (该公 x2 ? x1

式与两点顺序无关)求解. 2.求直线方程.直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述,具体使用时要根据题意 选择最简单、适当的形式;同时结合参数的几何意义,注意方程形式的局限性. (1)直接法:当两个条件显性时,直接选择适当的直线方程的形式,写出所求直线的方程. (1)待定系数法:当两个条件至少一个隐性时,可根据已知条件,选择适当的直线方程的形式,设 出所求的直线方程,建立方程(组) ,待定出其中的系数,从而求得直线方程.

3.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1 、 l2 ,

l1 // l2 ? k1 ? k2 , l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 .若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是什
么一定要特别注意. 4.在运用两平行直线间的距离公式 d 相等的系数.

?

C1 ? C2 A2 ? B 2

时,一定要注意将两方程中的 x , y 项系数化为分别

五、 【布置作业】 必做题: 1.已知 a ? 0 ,若平面内三点 A(1, ?a), B(2, a2 ), C(3, a3 ) 共线,则 a ? .

2.经过点 P(1, 4) 的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,求直线的方程.

? k ? 3? x ? ? 4 ? k ? y ?1 ? 0 与 l2 : 2 ? k ? 3? x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 k 的值是 4.若直线 l1 : y ? k ? x ? 4? 与直线 l2 关于点 ? 2,1? 对称,则直线 l2 恒过定点是 .
3.已知直线 l1 : 5.已知 2 x ? y ? 5 ? 0 ,则



x 2 ? y 2 的最小值是



6.设直线 l 经过点 ? ?1,1? ,则当点 ? 2, ?1? 与直线 l 的距离最大时,直线 l 的方程为 答案: 1. 1 ? 2 选做题: 1.已知直线 l : kx ? y ? 1 ? 2k ? 0 ? k ?R ? . (1)证明直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A ,交 y 轴正半轴于 B ,求使
2.已知直线 l : 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,点 A



2. 2 x ? y ? 6 ? 0 3. 3 或 5 ;4. ? 0, 2 ? ;5. 5 ;

6. 3x ? 2 y ? 5 ? 0

? AOB 面积最小时直线 l 的方程.

? ?1, ?2? .求:

(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A? 的坐标; (2)直线 m : 3x ? 2 y ? 6 ? 0 关于直线 l 的对称直线 m? 的方程;

(3)直线 l 关于点 A ? ?1, ?2? 对称的直线 l ? 的方程. 答案:
1.(1)定点

? ?2,1? ;(2) ?0,??? ;(3) x ? 2 y ? 4 ? 0 .

33 y?2 2 ? ? x?? ? ? ?1 ? ? ? ? 13 x ?1 3 2. 【解答】(1)设 A? ? x, y ? ,由已知 ? ,解得: ? , 4 x ?1 y?2 ?2 ? ? y? ? 3? ?1 ? 0 ? ? 13 ? 2 2 ? ? 33 4 ? ∴ A? ? ? , ? ? 13 13 ? (2)在直线 m 上取一点,如 M ? 2,0? ,则 M ? 2,0? 关于直线 l 的对称点 M ? 必在直线 m? 上.设对称点

? ?a?2? ?b?0? ?2 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 1 ? 0 ? ? 6 30 ? ? ? ? ,得 M ? ? , ?, M ? ? a, b ? ,则 ? ? b?0 2 ? 13 13 ? ? ? ? ?1 ? a?2 3 ? ? 2x ? 3 y ?1 ? 0 设直线 m 与直线 l 的交点为 N ,则由 ? 得 N ? 4,3? . ?3x ? 2 y ? 6 ? 0 又∵ m? 经过点 N ? 4,3? ,,∴由两点式得直线 m? 的方程为 9 x ? 46 y ? 102 ? 0 .

?1,1? , N ? 4,3? ,则 M , N 关于点 A? ?1, ?2? 的对称点 M ?, N ? 均在直线 l ? 上,易得 M ? ? ?3, ?5? , N ? ? ?6, ?7? ,再由两点式可得 l ? 的方程为
(3)方法一 在 l : 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 上任取两点,如 M

2x ? 3 y ? 9 ? 0 . 方法二 ∵ l // l ? ,∴设 l ? 的方程为 2x ? 3 y ? C ? 0 ?C ? 1? ,
∵点 A

? ?1, ?2? 到两直线 l , l ? 的距离相等,∴由点到直线的距离公式得:
设P

?2 ? 6 ? C 22 ? 32

?

?2 ? 6 ? 1 22 ? 32

,解得

C ? ?9 ,∴ l ? 的方程为 2 x ? 3 y ? 9 ? 0 .
方法三

? x, y ? 为 l ? 上任意一点,则 P ? x, y ? 关于点 A? ?1, ?2? 的对称点为 P? ? ?2 ? x, ?4 ? y ? , ∵点 P? 在直线 l 上,∴ 2 ? ?2 ? x ? ? 3? ?4 ? y ? ? 1 ? 0 ,即 2 x ? 3 y ? 9 ? 0 .
【点评】(1)点关于线对称,转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题. (2)线关于线对称,转化为点关于线的对称问题;线关于点的对称,转化为点关于点的对称问题.

六、 【教后反思】 1.本教案的亮点是:直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式,都 具有明显的几何意义,但又都有一些特定的限制条件,如点斜式方程的使用要求直线存在斜率;截距式方 程的使用要求横纵截距都存在且均不为零;两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直.因此要启发学生 在应用时关注它们各自适用的范围, 以免漏解.对两直线的位置关系选题典型, 特别强化了基本运算的转化, 涉及了中点问题,为后续复习做好了铺垫.让学生在课堂中提出问题、讨论、讲解,问题的解决非常好. 2.本教案的弱项是:因为课堂时间的问题没有能在例题中凸显距离问题的计算,课堂实际中学生展 现的做法很多,没能一一给出详解.


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