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微积分(二)复习题1


2012 年微积分(二)复习题(仅供参考)

微积分(二)复习题一 第一部分
? ? ? ? ? ? ? ? ? 1. 设 a ? 2 ,若向量 3a ? 2b 垂直于向量 a ? b ,向量 2a ? b 垂直于向量 4a ? 3b , ? ? ? ? ? ? 求 a 与 b 之间的夹角,并求以 3a ? 2b 和 2a ? b 为邻边的平行四边形的面积.
? ? ? ? 2.已知向量 a ? ( x, y, ?2) 与向量 b ? (4,1,3) 垂直, a 的模等于 b 在 z 轴上的投影, 且
求 x, y . 3.证明:两直线 L1 : 所在平面的方程.
?x ? y ?1 ? 0 x ?1 y ? 1 z 4.求过直线 L1 : ? 且与直线 L2 : 平行的平面方程. ? ? 2 ?1 ?1 ?x ? 2 y ? 2z ? 0

x ?1 y ? 1 z ?1 x?2 y?3 与 L2 : ? ? ? ? z 相交,并求此两直线 1 ?1 2 ?1 2

5. 求 过 点 P(1,1,1) 且 与 直 线

x y z?2 L1 : ? ? 1 1 ?3 垂直相交的直线方
程.

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.求曲线

? x2 ? y2 ? z 2 ? 4 ? ?:? 2 2 ? x ? y ? 3z ?

在 xOy 面 的 投

影。

? x2 ? 4 y 2 ? y ? 4 ?:? 7.求曲线 ? z ? 0 绕 轴旋转一

周所得的曲面。

第二部分

1、求函数 z ? ln(1 ? x 2 ? y 2 ) 定义域。

4x ? y 2

2、求 lim ? x 2 ? y 2 ? sin
x ?0 y ?0

1 . xy

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x2 ? y2 ? 0 x2 ? y2 ? 0



? sin 2( x 2 ? y 2 ) ? f ( x, y ) ? ? x 2 ? y 2 ?2 ?
在点(0,0)处的连续性。

x z z ? f ( x, y) 由 z ? ln y 确定,求 4、设
?z ? 2 z , 2 ?x ?x



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5、 u ? e 设

x2 ? y2 ? z 2

?u , z ? x sin y , ?x 而 求
2



?u , du 。 ?y

x 6、设 z ? f ( x ? y , y ) ,其中
2 2

f (u,? ) 具


?z ? 2 z 有二阶连续偏导数,求 ?x , ?x?y

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u ? 3x 2 y 2 ? 2 y ? 4 x ? 6 z 在原点 7、 求函数
??? ? 沿 OA ? ? 2,3,1? 方向的方向导数。

8、设 u ? 2 xy ? z ,求 u 在点 ? 2, ?1,1? 处的
3

方向导数的最大值及取得最大值的 方向。

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z ? x 2 ? xy ? y 2 ? 2 x ? y 的 极
值。

10

z ? z ( x, y ) 是 由 e x ?2 y sin(x ? z ) ? 0 所确定,求 dz


设 函 数



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11、 求函数 和最小值。

f ? x, y ? ? 2 x 2 ? 3 y 2 ? 4 x ? 2 在
2

闭区域 D ? ?? x , y ? | x

? y 2 ? 16? 上的最大值

? x ? 2t ? 12、求曲线 ? y ? s int ? z ? co st ?

(0 ? t ? 2? )

平行于平面

y ? z ? 1 的切线方程。
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x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 21 平行于平 13、求曲面

面 x ? 4 y ? 6 z ? 0 的各切平面方程。

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? x2 ? y2 ? z2 ? 1 14、在曲线 ? x ? y ? 0 上求一点,使之 ?

与平面 3 x ? 4 y ? 2 z ?

3 2 的距离最大.

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第三部分

1、 计算 ?? (2 x ? y)d? , 其中D由
D

和x=1

所围成的平面区域。

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e? x 2、计算 ??
D

2

? y2

dxdy ,其中

D 是由中心

在原点,半径为 a 的圆周所围成的闭区 域.

cos x 3、计算 ?? x ? 2 d? D

,其中区域 D 为曲线

y ? x, y ? 2 及 x ? 1 所围成。

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4、计算 ? ?

1

x

0 1

e

? y2

dydx 。

5、计算 ?0

?
2

dx ?

?
2

x

x 2 sin y 2 dy

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6、

交换积分次序 ?1 dx?0 f ( x, y)dy 。

e

ln x

x 2 ? y 2 ? 2 z , xOy 平面与柱面 7、求抛物面
x 2 ? y 2 ? 4 x 所围立体的体积。

z ? x2 ? y 2 含 在 柱 面 8 、 求 曲 面
x 2 ? y 2 ? 2 x 内的那部分曲面的面积。

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z 3dxdydz ,其中 9、计算 ???
?

?

为两个球

x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 与 x2 ? y 2 ? z 2 ? 2Rz
的公共部分。

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10、 求 ??? ( x
?

2

? y 2 ? x ? y )dxdydz ,其中 ? 是

? y2 ? 2z 曲线 ? x ? 0 ?

绕 z 轴旋转一周所得

曲面与 z ? 4 围成的立体.

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11、求抛物面 x2 ? y 2 ? 2 z ,xOy 平面与柱面

x 2 ? y 2 ? 4 x 所围立体的体积.

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