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汉寿县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

汉寿县第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 已知双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F1 作直线 l⊥x 轴交双曲线 C
的渐近线于点 A,B 若以 AB 为直径的圆恰过点 F2,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C.2 D.

2. 如果点 P(sinθcosθ,2cosθ)位于第二象限,那么角 θ 所在象限是( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3. 如图所示的程序框图输出的结果是 S=14,则判断框内应填的条件是( )

A.i≥7?B.i>15? C.i≥15? D.i>31? 4. 如图 Rt△ O′A′B′是一平面图形的直观图,斜边 O′B′=2,则这个平面图形的面积是( )

A. B.1 C. D.

5. (2011 辽宁)设 sin( +θ)= ,则 sin2θ=( )

A.﹣

B.﹣

C.

D.

6. 已知函数 f(x)的图象如图,则它的一个可能的解析式为( )

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精选高中模拟试卷

A.y=2

B.y=log3(x+1) C.y=4﹣

D.y=

7. 若直线 y ? 2x 上存在点 (x, y) 满足约束条件

?x ? y ? 3 ? 0,

? ?

x

?

2

y

?

3

?

0,

则实数

m

的最大值为

??x ? m,

A、 ?1 B、 C、 3 2

D、 2

8. 抛物线 y= x2 的焦点坐标为(



A.(0, ) B.( ,0) C.(0,4) D.(0,2)

9. 已知命题 p:“?∈[1,e],a>lnx”,命题 q:“?x∈R,x2﹣4x+a=0””若“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围 是( ) A.(1,4] B.(0,1] C.[﹣1,1] D.(4,+∞)

10.已知三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则

=( )

A.﹣1 11.以 A. C.

B.2

C.﹣5

D.﹣3

的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )

B.

D.

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12.( )0﹣(1﹣0.5﹣2)÷

的值为( )

A.﹣

B.

C.

D.

二、填空题

13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.若 C= ,则 = .

14.若



15.已知实数 x,y 满足

共线,则 y=



,则目标函数 z=x﹣3y 的最大值为

16.函数 f(x)=

(x>3)的最小值为 .

17.当

时,4x<logax,则 a 的取值范围 .

18.已知 是等差数列, 为其公差,

所有正确的序号是___________









是其前 项和,若只有 是 ⑤

中的最小项,则可得出的结论中

三、解答题
19.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过 8 万元时,按销售利润的 15%进行奖励; 当销售利润超过 8 万元时,若超出 A 万元,则超出部分按 log5(2A+1)进行奖励.记奖金为 y(单位:万元), 销售利润为 x(单位:万元). (1)写出奖金 y 关于销售利润 x 的关系式; (2)如果业务员小江获得 3.2 万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?

20.(本小题满分 12 分)菜农为了蔬菜长势良好,定期将用国家规定的低毒杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防 止害虫的危害,待蔬菜成熟时将采集上市销售,但蔬菜上仍存有少量的残留农药,食用时可用清水清洗干净,
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下表是用清水 x(单位:千克)清洗该蔬菜 1 千克后,蔬菜上残存的农药 y(单位:微克)的统计表: xi 1 2 3 4 5 yi 57 53 40 30 10
(1)在下面的坐标系中,描出散点图,并判断变量 x 与 y 的相关性;

(2)若用解析式 y=cx2+d 作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程,求其解析式;(c,a 精确到 0.01); 附:设 ωi=x2i ,有下列数据处理信息: ω =11, y =38,
(ωi- ω )(yi- y )=-811, (ωi- ω )2=374, 对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线方程 y=bx+a 的斜率和截距的最小二乘估 计分别为
(3)为了节约用水,且把每千克蔬菜上的残留农药洗净估计最多用多少千克水.(结果保留 1 位有效数字)

21.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知曲线

C

的参数方程为

?x ?

?

2 cos? (? 为参数),过点 P(1,0) 的直线交曲线 C 于 A、B 两点.

?y ? sin ?

(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程;

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(2)求| PA| ? | PB | 的最值.

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22.如图,在四棱柱

中, 底面









(Ⅰ)求证: 平面



(Ⅱ)求证:



(Ⅲ)若

,判断直线 与平面

是否垂直?并说明理由.

23.从某中学高三某个班级第一组的 7 名女生,8 名男生中,随机一次挑选出 4 名去参加体育达标测试. (Ⅰ)若选出的 4 名同学是同一性别,求全为女生的概率; (Ⅱ)若设选出男生的人数为 X,求 X 的分布列和 EX.
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24.(本小题满分 13 分)

已知函数 f (x) ? ax3 ? 3x2 ?1,

(Ⅰ)讨论 f (x) 的单调性;

(Ⅱ)证明:当 a

?

?2 时,

f

(x)

有唯一的零点

x0

,且

x0

? (0,

1) 2



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汉寿县第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:设 F1(﹣c,0),F2(c,0),则 l 的方程为 x=﹣c,
双曲线的渐近线方程为 y=± x,所以 A(﹣c, c)B(﹣c,﹣ c)
∵AB 为直径的圆恰过点 F2 ∴F1 是这个圆的圆心 ∴AF1=F1F2=2c ∴ c=2c,解得 b=2a

∴离心率为 =

=

故选 D. 【点评】本题考查了双曲线的性质,如焦点坐标、离心率公式.

2. 【答案】D 【解析】解:∵P(sinθcosθ,2cosθ)位于第二象限, ∴sinθcosθ<0,cosθ>0, ∴sinθ<0, ∴θ 是第四象限角. 故选:D. 【点评】本题考查了象限角的三角函数符号,属于基础题.

3. 【答案】C 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 S=2,i=0 不满足条件,S=5,i=1 不满足条件,S=8,i=3 不满足条件,S=11,i=7 不满足条件,S=14,i=15 由题意,此时退出循环,输出 S 的值即为 14, 结合选项可知判断框内应填的条件是:i≥15? 故选:C.

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【点评】本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的 S,i 的值是解题的关键,属于基本知识 的考查.

4. 【答案】D 【解析】解:∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图,斜边 O'B'=2, ∴直角三角形的直角边长是 ,

∴直角三角形的面积是



∴原平面图形的面积是 1×2 =2 故选 D.

5. 【答案】A

【解析】解:由 sin( +θ)=sin cosθ+cos sinθ= (sinθ+cosθ)= ,
两边平方得:1+2sinθcosθ= ,即 2sinθcosθ=﹣ ,
则 sin2θ=2sinθcosθ=﹣ . 故选 A 【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化 简求值,是一道基础题.
6. 【答案】C 【解析】解:由图可得,y=4 为函数图象的渐近线, 函数 y=2 ,y=log3(x+1),y= 的值域均含 4, 即 y=4 不是它们的渐近线, 函数 y=4﹣ 的值域为(﹣∞,4)∪(4,+∞), 故 y=4 为函数图象的渐近线, 故选:C 【点评】本题考查的知识点是函数的图象,函数的值域,难度中档.
7. 【答案】B
【解析】如图,当直线 x ? m 经过函数 y ? 2x 的图象 与直线 x ? y ? 3 ? 0 的交点时,

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函数 y ? 2x 的图像仅有一个点 P 在可行域内,



?y ??x

? ?

2x y?

3

?

0

,得

P(1,2)

,∴

m

?

1.

8. 【答案】D

【解析】解:把抛物线 y= x2 方程化为标准形式为 x2=8y,

25 4

5

41
∴焦点坐标为(0,2).

2

3

故选:D.

41

4

【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用,把抛物线的方程化为标准形式是关键.

9. 【答案】A 【解析】解:若命题 p:“?∈[1,e],a>lnx,为真命题, 则 a>lne=1, 若命题 q:“?x∈R,x2﹣4x+a=0”为真命题, 则△=16﹣4a≥0,解得 a≤4, 若命题“p∧q”为真命题, 则 p,q 都是真命题,





解得:1<a≤4. 故实数 a 的取值范围为(1,4]. 故选:A. 【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用条件先求出命题 p,q 的等价条件是解决本题的 关键.

10.【答案】C 【解析】解:由三次函数的图象可知,x=2 函数的极大值,x=﹣1 是极小值, 即 2,﹣1 是 f′(x)=0 的两个根, ∵f(x)=ax3+bx2+cx+d, ∴f′(x)=3ax2+2bx+c, 由 f′(x)=3ax2+2bx+c=0,
得 2+(﹣1)= =1,
﹣1×2= =﹣2,

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即 c=﹣6a,2b=﹣3a, 即 f′(x)=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a(x﹣2)(x+1),



=

=

=﹣5,

故选:C 【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系,以及根与系数之间的关系的应用,考查学生的计算能力.

11.【答案】D

【解析】解:双曲线

的顶点为(0,﹣2

)和(0,2

),焦点为(0,

﹣4)和(0,4). ∴椭圆的焦点坐标是为(0,﹣2

)和(0,2

),顶点为(0,﹣4)和(0,4).

∴椭圆方程为



故选 D. 【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用,解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质.

12.【答案】D

【解析】解:原式=1﹣(1﹣

)÷

=1﹣(1﹣

)÷

=1﹣(1﹣4)× =1﹣(﹣3)× =1+ =. 故选:D. 【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算问题,解题时应细心计算,是易错题.

二、填空题

13.【答案】 =



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【解析】解:在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, ∵已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1, ∴sinAsinB+sinBsinC=2sin2B. 再由正弦定理可得 ab+bc=2b2,即 a+c=2b,故 a,b,c 成等差数列. C= ,由 a,b,c 成等差数列可得 c=2b﹣a, 由余弦定理可得 (2b﹣a)2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab. 化简可得 5ab=3b2,∴ = .
故答案为: . 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,二倍角公式、余弦定理的应用,属于中档题.
14.【答案】 ﹣6 .

【解析】解:若



共线,则 2y﹣3×(﹣4)=0

解得 y=﹣6

故答案为:﹣6

【点评】本题考查的知识点是平面向量共线(平行)的坐标表示,其中根据“两个向量若平行,交叉相乘差为

零”的原则,构造关于 y 的方程,是解答本题的关键.

15.【答案】 5

【解析】解:由 z=x﹣3y 得 y=



作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):

平移直线 y=



由图象可知当直线 y= 此时 z 最大,

经过点 C 时,直线 y=



,解得

,即 C(2,﹣1).

代入目标函数 z=x﹣3y, 得 z=2﹣3×(﹣1)=2+3=5, 故答案为:5.

的截距最小,

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16.【答案】 12 .

【解析】解:因为 x>3,所以 f(x)>0

由题意知:

=﹣

令 t= ∈(0, ),h(t)=

=t﹣3t2

因为 h(t)=t﹣3t2 的对称轴 x= ,开口朝上知函数 h(t)在(0, )上单调递增,( , )单调递减;

故 h(t)∈(0, ]

由 h(t)=

?f(x)=

≥12

故答案为:12

17.【答案】



【解析】解:当

时,函数 y=4x 的图象如下图所示

若不等式 4x<logax 恒成立,则 y=logax 的图象恒在 y=4x 的图象的上方(如图中虚线所示)

∵y=logax 的图象与 y=4x 的图象交于( ,2)点时,a=

故虚线所示的 y=logax 的图象对应的底数 a 应满足 <a<1

故答案为:( ,1)

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18.【答案】①②③④

【解析】

因为只有 是

中的最小项,所以



,所以

,故①②③正

确;

,故④正确;
,无法判断符号,故⑤错误, 故正确答案①②③④

答案:①②③④

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)由题意,当销售利润不超过 8 万元时,按销售利润的 1%进行奖励;当销售利润超过 8 万 元时,若超出 A 万元,则超出部分按 log5(2A+1)进行奖励, ∴0<x≤8 时,y=0.15x;x>8 时,y=1.2+log5(2x﹣15)
∴奖金 y 关于销售利润 x 的关系式 y=
(2)由题意知 1.2+log5(2x﹣15)=3.2,解得 x=20. 所以,小江的销售利润是 20 万元. 【点评】本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查学生的计算能力,属于中档题.

20.【答案】 【解析】解:(1)

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根据散点图可知,x 与 y 是负相关. (2)根据提供的数据,先求数据(ω1,y1),(ω 2,y2),(ω3,y3),(ω4,y4),(ω5,y5)的回归直线 方程,y=cω+d,

a^=y-c^ω =38-(-2.17)×11=61.87.

-811 = 374 ≈-2.17,

∴数据(ωi,yi)(i=1,2,3,4,5)的回归直线方程为 y=-2.17ω+61.87, 又 ωi=x2i , ∴y 关于 x 的回归方程为 y=-2.17x2+61.87.

(3)当 y=0 时,x= 621.1.877= 6211877≈5.3.估计最多用 5.3 千克水.

21.【答案】(1) x2 ? y2 ? 1.(2)| PA| ? | PB | 的最大值为,最小值为 1 .

2

2

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【解析】

精选高中模拟试卷



题解析:解:(1)曲线

C

的参数方程为

? ?

x

?

2 cos? (? 为参数),消去参数?

?y ? sin ?

得曲线 C 的普通方程为 x2 ? y2 ? 1 2

(3 分)

(2)由题意知,直线的参数方程为

?x

? ?

y

? 1? t cos? ? t sin?

(为参数),将

?x

? ?

y

? 1? t cos? ? t sin?

代入

x2 2

?

y2

?1

得 (cos2 ? ? 2sin2 ? )t2 ? 2t cos? ?1 ? 0

(6 分)



A, B 对应的参数分别为 t1,t2 ,则|

PA| ?|

PB |?| t1t2

|?

cos2 ?

1 ? 2sin2 ?

?

1

?

1 sin

2

?

?[1 ,1]. 2

∴| PA| ? | PB | 的最大值为,最小值为 1 . (10 分) 2

考点:参数方程化成普通方程.

22.【答案】

【解析】【知识点】垂直平行

【试题解析】(Ⅰ)证明:因为

, 平面

, 平面



所以 平面



因为



平面



平面



所以 平面



又因为



所以平面

平面



又因为

平面



所以 平面



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(Ⅱ)证明:因为

底面



底面



所以



又因为





所以

平面



又因为

底面



所以



(Ⅲ)结论:直线 与平面

不垂直.

证明:假设

平面





平面

,得



由棱柱

中,

底面



可得





又因为



所以

平面



所以



又因为



所以

平面



所以



这与四边形

为矩形,且

矛盾,

故直线 与平面

不垂直.

23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)若 4 人全是女生,共有 C74=35 种情况;若 4 人全是男生,共有 C84=70 种情况;

故全为女生的概率为

= .…

(Ⅱ)共 15 人,任意选出 4 名同学的方法总数是 C154,选出男生的人数为 X=0,1,2,3,4…

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P(X=0)=

= ;P(X=1)=

= ;P(X=2)=

=;

P(X=3)=

= ;P(X=4)=

故 X 的分布列为

X0 1 2 3

4

P

= .…

EX=0× +1× +2× +3× +4× = .… 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式,正确理解题意是解决问题的基 础.

24.【答案】(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ) f ?(x) ? 3ax2 ? 6x ? 3x(ax ? 2) , (1 分)

①当 a ? 0 时,解 f ?(x) ? 0 得 x ? 2 或 x ? 0 ,解 f ?(x) ? 0 得 0 ? x ? 2 ,

a

a

∴ f (x) 的递增区间为 (??, 0) 和 ( 2 , ??) , f (x) 的递减区间为 (0, 2 ) . (4 分)

a

a

②当 a ? 0 时, f (x) 的递增区间为 (??, 0) ,递减区间为 (0, ??) . (5 分)

③当 a ? 0 时,解 f ?(x) ? 0 得 2 ? x ? 0 ,解 f ?(x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? 2

a

a

∴ f (x) 的递增区间为 ( 2 , 0) , f (x) 的递减区间为 (??, 2) 和 (0, ??) . (7 分)

a

a

(Ⅱ)当 a ? ?2 时,由(Ⅰ)知 (??, 2) 上递减,在 ( 2 , 0) 上递增,在 (0, ??) 上递减.

a

a



f

? ??

2 a

? ??

?

a2 ? 4 a2

? 0 ,∴

f

(x) 在 (??, 0) 没有零点.

(9 分)



f

?0?

?1?

0,

f

? ??

1 2

? ??

?

1 8

(a

?

2)

?

0



f

(x)

在 (0, ??) 上递减,

∴在 (0, ??) 上,存在唯一的

x0

,使得

f

? x0 ?

?

0 .且

x0

? (0,

1) 2

(12 分)

综上所述,当 a ? ?2 时,

f

(

x)

有唯一的零点

x0

,且

x0

?

(0,

1 2

)



(13 分)

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