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库伦旗第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

库伦旗第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
A. a ? 0 2. 函数 f(x)= A.a≤0 B.0<a<

姓名__________

分数__________
) D.以上都不对 )

2 1. f ? x ? ? 2 ? a x ? a 在区间 ?0,1? 上恒正,则的取值范围为(

?

?

B. 0 ? a ?

2

C. 0 ? a ? 2

有且只有一个零点时,a 的取值范围是( C. <a<1 D.a≤0 或 a>1

3. 已知函数 f ( x) ? f ' (1) x2 ? x ? 1 ,则 A. ?

?

1

0

f ( x)dx ? (
D. ?



7 6

B.

7 6

C.

5 6

5 6

【命题意图】本题考查了导数、积分的知识,重点突出对函数的求导及函数积分运算能力,有一定技巧性,难 度中等. 4. 已知三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积为 32 ? , ?ABC ? 90 ,三棱锥 S ? ABC 的三视图如图
0

所示,则其侧视图的面积的最大值为( A.4 B. 4 2

) C.8 D. 4 7

5. “

”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的( B.充分必要条件 D.非充分非必要条件



A.充分非必要条件 C.必要非充分条件

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6. 一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所,则该几何体的俯视图为 ( )

A.

B.

C. )
2

D.

7. 满足下列条件的函数 f ( x) 中, f ( x) 为偶函数的是( A. f (e ) ?| x |
x

B. f (e ) ? e
x

2x

C. f (ln x) ? ln x

D. f (ln x ) ? x ?

1 x

【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识,意在考查分析求解能力. 8. 已知 f(x)= A.﹣1 B.0 ) ,则 f(2016)等于( C.1 ) D.2

9. 下列命题中正确的是( B.任何复数都不能比较大小 C.若 = ,则 z1=z2 D.若|z1|=|z2|,则 z1=z2 或 z1=

A.复数 a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d

10.已知 a ? 0.21.5 , b ? 20.1, c ? 0.21.3 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b D. b ? c ? a 11.已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为 数列{an}是( ) B.公差为﹣a 的等差数列 D.公比为 的等比数列 ) A.公差为 a 的等差数列 C.公比为 a 的等比数列

) ,设物体第 n 秒内的位移为 an,则

12.线段 AB 在平面 α 内,则直线 AB 与平面 α 的位置关系是( A.AB?α B.AB?α D.以上都不对
2

C.由线段 AB 的长短而定

二、填空题
13.自圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 外一点 P( x, y ) 引该圆的一条切线,切点为 Q ,切线的长度等于点 P 到
2

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原点 O 的长,则 PQ 的最小值为( A.

) D.

13 10

B.3

C.4

21 10

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离,意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解 能力、数形结合的思想. 14.方程 4 ? x ? k ? x ? 2 ? ? 3 有两个不等实根,则的取值范围是
2



15.等差数列 {an } 中, | a3 |?| a9 | ,公差 d ? 0 ,则使前项和 Sn 取得最大值的自然数是________.

16 .【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数 f ? x ? ? x ? lnx ? 4 的零点在区间

k ? 1? 内,则正整数 k 的值为________. ?k,
8 17. ( x ? ) 的展开式中,常数项为___________.(用数字作答)

1 x

【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项,基础题. 18.在 ?ABC 中,有等式:① a sin A ? b sin B ;② a sin B ? b sin A ;③ a cos B ? b cos A ;④

a b?c ? .其中恒成立的等式序号为_________. sin A sin B ? sin C

三、解答题
19.已知全集 U 为 R,集合 A={x|0<x≤2},B={x|x<﹣3,或 x>1} 求:(I)A∩B; (II)(CUA)∩(CUB); (III)CU(A∪B).

20.已知函数 f(x)= x2﹣ax+(a﹣1)lnx(a>1). (Ⅰ) 讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ) 若 a=2,数列{an}满足 an+1=f(an). (1)若首项 a1=10,证明数列{an}为递增数列; (2)若首项为正整数,且数列{an}为递增数列,求首项 a1 的最小值.

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21.△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边之长依次为 a,b,c,且 cosA= (Ⅰ)求 cos2C 和角 B 的值; (Ⅱ)若 a﹣c= ﹣1,求△ ABC 的面积.

2 2 2 ,5(a +b ﹣c )=3

ab.

22.设函数 f(x)=lnx+a(1﹣x). (Ⅰ)讨论:f(x)的单调性; (Ⅱ)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a﹣2 时,求 a 的取值范围.

2 x 23.【海安县 2018 届高三上学期第一次学业质量测试】已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? a e ,其中 a ? R , e 是

?

?

自然对数的底数.

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 0 处的切线方程; (2)求函数 f ? x ? 的单调减区间;

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(3)若 f ? x ? ? 4 在 ?4,0 恒成立,求 a 的取值范围.

?

?

24.已知命题 p:x2﹣3x+2>0;命题 q:0<x<a.若 p 是 q 的必要而不充分条件,求实数 a 的取值范围.

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库伦旗第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】
2 试题分析:由题意得,根据一次函数的单调性可知,函数 f ? x ? ? 2 ? a x ? a 在区间 ?0,1? 上恒正,则

?

?

?a ? 0 ? f (0) ? 0 ,即 ? ,解得 0 ? a ? 2 ,故选 C. ? 2 ? f (1) ? 0 ?2 ? a ? a ? 0
考点:函数的单调性的应用. 2. 【答案】D 【解析】解:∵f(1)=lg1=0, ∴当 x≤0 时,函数 f(x)没有零点,
x x 故﹣2 +a>0 或﹣2 +a<0 在(﹣∞,0]上恒成立, x x 即 a>2 ,或 a<2 在(﹣∞,0]上恒成立,

故 a>1 或 a≤0; 故选 D. 【点评】本题考查了分段函数的应用,函数零点与方程的关系应用及恒成立问题,属于基础题. 3. 【答案】B

4. 【答案】A 【解析】

考 点:三视图. 【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,
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左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几 何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置, 再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图. 5. 【答案】A
2 【解析】解:由 x +x+m=0 知,

? .) , ,未必有



(或由△≥0 得 1﹣4m≥0,∴

2 反之“一元二次方程 x +x+m=0 有实数解”必有



因此“ 故选 A.

”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的充分非必要条件.

【点评】本题考查充分必要条件的判断性,考查二次方程有根的条件,注意这些不等式之间的蕴含关系.

6. 【答案】C 【解析】 解: 由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向, 从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧, 由以上各视图的描述可知其俯视图符合 C 选项. 故选:C. 【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系,要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义.

7. 【答案】D. 【 解 析 】

8. 【答案】D

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【解析】解:∵f(x)=



∴f(2016)=f(2011)=f(2006)=…=f(1)=f(﹣4)=log24=2, 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数求值,难度不大,属于基础题. 9. 【答案】C 【解析】解:A.未注明 a,b,c,d∈R. B.实数是复数,实数能比较大小. C.∵ 故选:C. 10.【答案】B 【解析】 试题分析:函数 y ? 0.2x 在 R 上单调递减,所以 0.2
1.5

=

,则 z1=z2,正确;

D.z1 与 z2 的模相等,符合条件的 z1,z2 有无数多个,如单位圆上的点对应的复数的模都是 1,因此不正确.

? 0.21.3 ,且 0 ? 0.21.5 ? 0.21.3 ? 1,而 20.1 ? 1 ,所以

a ? c ? b 。故选 B。
考点:指数式比较大小。 11.【答案】A 【解析】解:∵ ∴an=S(n)﹣s(n﹣1)= = ∴an﹣an﹣1= ∴数列{an}是以 a 为公差的等差数列 故选 A 【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式,等差数列的定义的应用,属于数列知识的简单 应用 12.【答案】A 【解析】解:∵线段 AB 在平面 α 内, ∴直线 AB 上所有的点都在平面 α 内, ∴直线 AB 与平面 α 的位置关系: =a ,

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直线在平面 α 内,用符号表示为:AB?α 故选 A. 【点评】 本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一, 主要根据定义进行判断, 考查了空间想象能力. 公 理一:如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上.

二、填空题
13.【答案】D 【 解 析 】

14.【答案】 ? 【解析】

? 5 3? , ? ? 12 4 ?

如图所示, 函数 y ? 4 ? x 2 的图象是一个半圆, 4 ? x 2 和 y ? k ? x ? 2? ? 3 的图象, 3? 0 3 ? ,当直线 直线 y ? k ? x ? 2? ? 3 的图象恒过定点 ? 2,3? ,结合图象,可知,当过点 ? ?2,0 ? 时, k ? 2?2 4 k (0 ? 2) ? 3 ? 0 5 ? 5 3? ? 2 ,解得 k ? ,所以实数的取值范围是 ? , ? .111] y ? k ? x ? 2? ? 3 与圆相切时,即 2 12 ? 12 4 ? 1? k 试题分析: 作出函数 y ?

考点:直线与圆的位置关系的应用. 【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的 斜率公式, 以及函数的图像的应用等知识点的综合考查, 着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答 问题的能力,属于中档试题,本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.

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15.【答案】或 【解析】 试题分析: 因为 d ? 0 , 且 | a3 |?| a9 | , 所以 a3 ? ?a9 , 所以 a1 ? 2d ? ?a1 ? 8d , 所以 a1 ? 5d ? 0 , 所以 a6 ? 0 , 所以 an ? 0 ?1 ? n ? 5? ,所以 Sn 取得最大值时的自然数是或. 考点:等差数列的性质. 【方法点晴】 本题主要考查了等差数列的性质, 其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知 识点的应用,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答 中,根据数列的单调性,得出 a1 ? 5d ? 0 ,所以 a6 ? 0 是解答的关键,同时结论中自然数是或是结论的一个 易错点. 16.【答案】2

【解析】 17.【答案】 70
8 r 8? r r r r 8? 2 r 【 解 析 】 ( x ? ) 的 展 开 式 通 项 为 Tr ?1 ? C8 x (? ) ? ( ?1) C8 x ,所以当 r ? 4 时,常数项为

1 x

1 x

(?1)4 C84 ? 70 .
18.【答案】②④ 【解析】 试题分析:对于①中,由正弦定理可知 a sin A ? b sin B ,推出 A ? B 或 A ? B ?

?

2 形或直角三角形,所以不正确;对于②中, a sin B ? b sin A ,即 sin A sin B ? sin B sin A 恒成立,所以是正
确的;对于③中, a cos B ? b cos A ,可得 sin( B ? A) ? 0 ,不满足一般三角形,所以不正确;对于④中,由 正弦定理以及合分比定理可知

,所以三角形为等腰三角

a b?c ? 是正确,故选选②④.1 sin A sin B ? sin C

考点:正弦定理;三角恒等变换.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:如图: (I)A∩B={x|1<x≤2}; (II)CUA={x|x≤0 或 x>2},CUB={x|﹣3≤x≤1}

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(CUA)∩(CUB)={x|﹣3≤x≤0}; (III)A∪B={x|x<﹣3 或 x>0},CU(A∪B)={x|﹣3≤x≤0}. 【点评】本题考查集合的运算问题,考查数形集合思想解题.属基本运算的考查. 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵ ∴ 当 a=2 时,则 , (x>0), 在(0,+∞)上恒成立,

当 1<a<2 时,若 x∈(a﹣1,1),则 f′(x)<0,若 x∈(0,a﹣1)或 x∈(1,+∞),则 f′(x)>0, 当 a>2 时,若 x∈(1,a﹣1),则 f′(x)<0,若 x∈(0,1)或 x∈(a﹣1,+∞),则 f′(x)>0, 综上所述:当 1<a<2 时,函数 f(x)在区间(a﹣1,1)上单调递减, 在区间(0,a﹣1)和(1,+∞)上单调递增; 当 a=2 时,函数(0,+∞)在(0,+∞)上单调递增; 当 a>2 时,函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(0,1)和(a﹣1,+∞)上单调递增. (Ⅱ)若 a=2,则 ,由(Ⅰ)知函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,

(1)因为 a1=10,所以 a2=f(a1)=f(10)=30+ln10,可知 a2>a1>0, 假设 0<ak<ak+1(k≥1),因为函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增, ∴f(ak+1)>f(ak),即得 ak+2>ak+1>0, 由数学归纳法原理知,an+1>an 对于一切正整数 n 都成立, ∴数列{an}为递增数列. (2)由(1)知:当且仅当 0<a1<a2,数列{an}为递增数列, ∴f(a1)>a1,即 设 ∴函数 g(x)在区间 由于 ∴首项 a1 的最小值为 6. 【点评】本题考查导数的运用:求单调区间,同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用,考查运算能 力,属于中档题. (x≥1),则 上递增, ,g(6)=ln6>0,又 a1 为正整数, (a1 为正整数), ,

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选做题:本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 7 分.如果多做,则 按所做的前两题计分.【选修 4-2:矩阵与变换】 21.【答案】 【解析】解:(I)由∵cosA= ∴sinA=
2 2 2 ∵5(a +b ﹣c )=3

,0<A<π,

=

, ab,

∴cosC= ∵0<C<π, ∴sinC=

=



=



2 ∴cos2C=2cos C﹣1= ,

∴cosB=﹣cos(A+C)=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣ ∵0<B<π, ∴B= (II)∵ ∴a= ∵a﹣c= ∴a= = . = c, ,

×

+

×

=﹣

﹣1,

,c=1, ×1× = .

∴S= acsinB= ×

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用,两角和与差的正弦公式等知识.考查学生对基础知 识的综合运用. 22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)f(x)=lnx+a(1﹣x)的定义域为(0,+∞), ∴f′(x)= ﹣a= ,

若 a≤0,则 f′(x)>0,∴函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,

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若 a>0,则当 x∈(0, )时,f′(x)>0,当 x∈( ,+∞)时,f′(x)<0,所以 f(x)在(0, )上单调 递增,在( ,+∞)上单调递减, (Ⅱ),由(Ⅰ)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当 a>0 时,f(x)在 x= 取得最大值,最 大值为 f( )=﹣lna+a﹣1, ∵f( )>2a﹣2, ∴lna+a﹣1<0, 令 g(a)=lna+a﹣1, ∵g(a)在(0,+∞)单调递增,g(1)=0, ∴当 0<a<1 时,g(a)<0, 当 a>1 时,g(a)>0, ∴a 的取值范围为(0,1). 【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系,以及参数的取值范围,属于中档题. 23.【答案】(1) 2 x ? y ? 1 ? 0 (2)当 a ? 2 时, f ? x ? 无单调减区间;当 a ? 2 时, f ? x ? 的单调减区间
2 是 ? ?2, ?a ? ;当 a ? 2 时, f ? x ? 的单调减区间是 ? ?a, ?2? .(3) ? ? 4 ? 4e , 4 ? ?

【解析】试题分析:(1)先对函数解析式进行求导,再借助导数的几何意义求出切线的斜率,运用点斜式求 出切线方程;(2)先对函数的解析式进行求导,然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分 值与最值,进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。 类分析探求; (3)先不等式 f ? x ? ? 4 进行等价转化,然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极

2 x x (2) 因为 f ' ? x ? ? ? ? x ? ? a ? 2 ? x ? 2a ? ? e ? ? x ? a ?? x ? 2 ? e ,
x 当 a ? 2 时, f ' ? x ? ? ? x ? 2 ? e ? 0 ,所以 f ? x ? 无单调减区间. 2

当 ? a ? ?2 即 a ? 2 时,列表如下:

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所以 f ? x ? 的单调减区间是 ? ?2, ?a ? .
x 当 ?a ? ?2 即 a ? 2 时, f ' ? x ? ? ? x ? 2?? x ? a ? e ,列表如下:

所以 f ? x ? 的单调减区间是 ? ?a, ?2? . 综上,当 a ? 2 时, f ? x ? 无单调减区间; 当 a ? 2 时, f ? x ? 的单调减区间是 ? ?2, ?a ? ; 当 a ? 2 时, f ? x ? 的单调减区间是 ? ?a, ?2? .
2 x x (3) f ' ? x ? ? ? ? x ? ? a ? 2 ? x ? 2a ? ? e ? ? x ? a ?? x ? 2 ? e .

当 a ? 2 时,由(2)可得, f ? x ? 为 R 上单调增函数,

所以 f ? x ? 在区间 ?4,0 上的最大值 f ? 0? ? 2 ? 4 ,符合题意. 当 a ? 2 时,由(2)可得,要使 f ? x ? ? 4 在区间 ?4,0 上恒成立, 只需 f ? 0? ? a ? 4 , f ? ?2? ? ? 4 ? a ? e 当 2 ? a ? 4 时,可得 f ? ? a ? ?
?2

?

?

?

?

? 4 ,解得 4 ? 4e2 ? a ? 2 .

a ? 4 , f ? 0? ? a ? 4 . ea a 1? a 设 g ? a ? ? a ,则 g ' ? a ? ? a ,列表如下: e e

所以 ? ? g ? a ?? ?

max

? g ?1? ?

当 a ? 4 时,可得 f ? 0? ? a ? 4 ,无解.
2 综上, a 的取值范围是 ? ? 4 ? 4e , 4 ? ?.

1 a ? 4 ,可得 a ? 4 恒成立,所以 2 ? a ? 4 . e e

24.【答案】

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【解析】解:对于命题 p:x2﹣3x+2>0,解得:x>2 或 x<1, ∴命题 p:x>2 或 x<1, 又∵命题 q:0<x<a,且 p 是 q 的必要而不充分条件, 当 a≤0 时,q:x∈?,符合题意; 当 a>0 时,要使 p 是 q 的必要而不充分条件, 需{x|0<x<a}?{x|x>2 或 x<1}, ∴0<a≤1. 综上,取并集可得 a∈(﹣∞,1]. 【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断方法,考查了一元二次不等式的解法,是基础题.

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