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文山市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

文山市三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设 a∈R,且(a﹣i)?2i(i 为虚数单位)为正实数,则 a 等于( A.1 B.0 C.﹣1 D.0 或﹣1 ,则使得 f(x)>f(2x﹣1)成立的 x 的取值范围是( C.(﹣ , ) D. ) )

姓名__________

分数__________

2. 已知函数 f(x)=31+|x|﹣ A. B.

3. 已知集合

,则

A0 或 B0 或 3 C1 或 D1 或 3
4. 下列正方体或四面体中, P 、 Q 、 R 、 S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图形是 ( )

5. 已知双曲线 A.( ,+∞) B.(1,

2 2 的渐近线与圆 x +(y﹣2) =1 相交,则该双曲线的离心率的取值范围是(





C.(2.+∞) )

D.(1,2)

6. 下列四个命题中的真命题是(

A.经过定点 P 0 ? x0 , y0 ? 的直线都可以用方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 表示 B.经过任意两个不同点 P 1 ? x1 , y1 ? 、 P 2 ? x2 , y2 ? 的直线都可以用方程 ? y ? y1 ?? x2 ? x1 ? ? ? x ? x1 ?? y2 ? y1 ? 表示 C.不经过原点的直线都可以用方程

x y ? ? 1 表示 a b
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D.经过定点 A ? 0, b ? 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示 7. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的是( A. B.y=x2 C.y=﹣x|x| D.y=x﹣2 ,BC=1,E 为线段 DC 上一动点,现将△AED 沿 AE 折起,使点 D 在 ) )

8. 如图,在长方形 ABCD 中,AB=

面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上,当 E 从 D 运动到 C,则 K 所形成轨迹的长度为(

A.

B.

C.

D.

9. 已知函数 f(x)= x3+(1﹣b)x2﹣a(b﹣3)x+b﹣2 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是﹣3,则不 等式组 A. B.
2 2 所确定的平面区域在 x +y =4 内的面积为(



C.π

D.2π

2 2 2 10.圆 ( x - 2) + y = r ( r > 0 )与双曲线 x 2 -

y2 = 1的渐近线相切,则 r 的值为( 3



A. 2

B. 2

C. 3

D. 2 2

【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识, 意在考查基本运算能力. 11.函数 f(x)=x2﹣x﹣2,x∈[﹣5,5],在定义域内任取一点 x0,使 f(x0)≤0 的概率是( A. B. C. D. ) )

12.已知函数 f(x)=2x﹣2,则函数 y=|f(x)|的图象可能是(

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A.

B.

C.

D.

二、填空题
13.一组数据 2,x,4,6,10 的平均值是 5,则此组数据的标准差是 14.函数 f(x)= 的定义域是 . .

15.已知条件 p:{x||x﹣a|<3},条件 q:{x|x2﹣2x﹣3<0},且 q 是 p 的充分不必要条件,则 a 的取值范围 是 . ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程 .

16.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(﹣2 是 .

17.棱长为 2 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 18.阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 n 的值等于_________.

三、解答题

开始

x 19.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x< 01 时,f(x)=( ) . n?

(1)求当 x>0 时 f(x)的解析式; (2)画出函数 f(x)在 R 上的图象; (3)写出它的单调区间.

S ? 5, T ? 1
S ? T?




S ? S ?4
T ? 2T

输出 n
结束

n ? n ?1

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20.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面△ABC 是边长为 2 的等边三角形,D 为 AB 中点. (1)求证:BC1∥平面 A1CD; (2)若四边形 BCC1B1 是正方形,且 A1D= ,求直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值.

21.若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x,y>0,满足 f( )=f(x)﹣f(y)

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(1)求 f(1)的值, (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)﹣f( )<2.

22.已知一个几何体的三视图如图所示. (Ⅰ)求此几何体的表面积; (Ⅱ)在如图的正视图中,如果点 A 为所在线段中点,点 B 为顶点,求在几何体侧面上从点 A 到点 B 的最短 路径的长.

23.某商场销售某种品牌的空调器,每周周初购进一定数量的空调器,商场每销售一台空调器可获利 500 元, 若供大于求,则每台多余的空调器需交保管费 100 元;若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时每台空调 器仅获利润 200 元.

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(Ⅰ)若该商场周初购进 20 台空调器,求当周的利润(单位:元)关于当周需求量 n(单位:台,n∈N)的 函数解析式 f(n); (Ⅱ)该商场记录了去年夏天(共 10 周)空调器需求量 n(单位:台),整理得表: 18 19 20 21 22 周需求量 n 频数 1 2 3 3 1 X 表示当周的利润 以 10 周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 若商场周初购进 20 台空调器, (单 位:元),求 X 的分布列及数学期望.

24.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7}. (1)求 A∪B; (2)求(?UA)∩B; (3)求?U(A∩B).

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文山市三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:∵(a﹣i)?2i=2ai+2 为正实数, ∴2a=0, 解得 a=0. 故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件,属于基础题. 2. 【答案】A 【解析】解:函数 f(x)=3 当 x≥0 时,f(x)=3 ∵此时 y=3
1+x 1+x 1+|x|



为偶函数,

﹣ 为减函数,

为增函数,y=

∴当 x≥0 时,f(x)为增函数, 则当 x≤0 时,f(x)为减函数, ∵f(x)>f(2x﹣1), ∴|x|>|2x﹣1|, ∴x2>(2x﹣1)2, 解得:x∈ 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的奇偶性,函数的单调性,难度中档. 3. 【答案】B 【解析】 ,故 或 。 4. 【答案】D 【解析】 或 , ,解得 或 或 ,又根据集合元素的互异性 ,所以 ,

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考 点:平面的基本公理与推论. 5. 【答案】C
2 2 【解析】解:∵双曲线渐近线为 bx±ay=0,与圆 x +(y﹣2) =1 相交

∴圆心到渐近线的距离小于半径,即
2 2 ∴3a <b , 2 2 2 2 ∴c =a +b >4a ,

<1

∴e= >2 故选:C. 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式等.考查了学生数形 结合的思想的运用. 6. 【答案】B 【解析】

考 点:直线方程的形式. 【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式,对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线;直线的 斜截式方程只能表示斜率存在的直线; 直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线; 直线的截距式方程 不能表示与坐标轴平行和过原点的直线,此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111]

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7. 【答案】D 【解析】解:函数 为非奇非偶函数,不满足条件;

函数 y=x2 为偶函数,但在区间(0,+∞)上单调递增,不满足条件; 函数 y=﹣x|x|为奇函数,不满足条件; 函数 y=x﹣2 为偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,满足条件; 故选:D 【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性,是函数图象和性质的综合应用,难度不大,属于 基础题. 8. 【答案】 D 【解析】解:由题意,将△AED 沿 AE 折起,使平面 AED⊥平面 ABC,在平面 AED 内过点 D 作 DK⊥AE,K 为垂足,由翻折的特征知,连接 D'K, 则 D'KA=90°,故 K 点的轨迹是以 AD'为直径的圆上一弧,根据长方形知圆半径是 , 如图当 E 与 C 重合时,AK= = ,

取 O 为 AD′的中点,得到△OAK 是正三角形. 故∠K0A= ,∴∠K0D'= = , ,

其所对的弧长为 故选:D.

9. 【答案】 B 【解析】解:因为函数 f(x)的图象过原点,所以 f(0)=0,即 b=2. 则 f(x)= x3﹣x2+ax,

2 函数的导数 f′(x)=x ﹣2x+a,

因为原点处的切线斜率是﹣3, 即 f′(0)=﹣3, 所以 f′(0)=a=﹣3, 故 a=﹣3,b=2,

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所以不等式组 则不等式组 如图阴影部分表示, 所以圆内的阴影部分扇形即为所求. ∵kOB=﹣ ,kOA= ,


2 2 确定的平面区域在圆 x +y =4 内的面积,

∴tan∠BOA=

=1, , ,扇形的面积是圆的面积的八分之一, ×4×π = ,

∴∠BOA=

∴扇形的圆心角为

2 2 ∴圆 x +y =4 在区域 D 内的面积为

故选:B

【点评】本题主要考查导数的应用,以及线性规划的应用,根据条件求出参数 a,b 的是值,然后借助不等式 区域求解面积是解决本题的关键. 10.【答案】C

11.【答案】C 【解析】解:∵f(x)≤0?x2﹣x﹣2≤0?﹣1≤x≤2, ∴f(x0)≤0?﹣1≤x0≤2,即 x0∈[﹣1,2], ∵在定义域内任取一点 x0, ∴x0∈[﹣5,5],

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∴使 f(x0)≤0 的概率 P= 故选 C

=

【点评】本题考查了几何概型的意义和求法,将此类概率转化为长度、面积、体积等之比,是解决问题的关键 12.【答案】B 【解析】解:先做出 y=2 的图象,在向下平移两个单位,得到 y=f(x)的图象, 再将 x 轴下方的部分做关于 x 轴的对称图象即得 y=|f(x)|的图象. 故选 B 【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题,先作出 y=f(x)的图象,再将 x 轴下方的部分做关于 x 轴 的对称图象即得 y=|f(x)|的图象.
x

二、填空题
13.【答案】 2 .

【解析】解:∵一组数据 2,x,4,6,10 的平均值是 5, ∴2+x+4+6+10=5×5, 解得 x=3, ∴此组数据的方差 ∴此组数据的标准差 S= 故答案为:2 . [(2﹣5)2+(3﹣5)2+(4﹣5)2+(6﹣5)2+(10﹣5)2]=8, =2 .

【点评】本题考查一组数据的标准差的求法,解题时要认真审题,注意数据的平均数和方差公式的求法. 14.【答案】 {x|x>2 且 x≠3} .

【解析】解:根据对数函数及分式有意义的条件可得 解可得,x>2 且 x≠3 故答案为:{x|x>2 且 x≠3} 15.【答案】 [0,2] .

【解析】解:命题 p:||x﹣a|<3,解得 a﹣3<x<a+3,即 p=(a﹣3,a+3);
2 命题 q:x ﹣2x﹣3<0,解得﹣1<x<3,即 q=(﹣1,3).

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∵q 是 p 的充分不必要条件, ∴q?p, ∴ 解得 0≤a≤2, 则实数 a 的取值范围是[0,2]. 故答案为:[0,2]. 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定与应用,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题 16.【答案】 . ,

【解析】解:已知





为所求;

故答案为: 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程.属基础题. 17.【答案】 12? 【解析】

考 点:球的体积与表面积. 【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算,其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的 结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于基础题, 本题的解答中仔细分析,得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键. 18.【答案】 6 【解析】解析:本题考查程序框图中的循环结构.第 1 次运行后, S ? 9, T ? 2, n ? 2, S ? T ;第 2 次运行后,

S ? 13, T ? 4, n ? 3, S ? T ; 第 3 次 运 行 后 , S ? 17, T ? 8, n ? 4, S ? T ; 第 4 次 运 行 后 ,
S ? 21, T ? 16, n ? 5, S ? T ;第 5 次运行后,S ? 25, T ? 32, n ? 6, S ? T ,此时跳出循环,输出结果 n ? 6 程
序结束.

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三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)若 x>0,则﹣x<0…(1 分) ∵当 x<0 时,f(x)=( ) . ∴f(﹣x)=( )﹣ . ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, f(﹣x)=﹣f(x),
x x ∴f(x)=﹣( )﹣ =﹣2 .…(4 分) x x

(2)∵(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴当 x=0 时,f(x)=0,

∴f(x)=

.…(7 分)

函数图象如下图所示:

(3)由(2)中图象可得:f(x)的减区间为(﹣∞,+∞)…(11 分)(用 R 表示扣 1 分) 无增区间…(12 分) 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数的解析式,函数的图象,分段函数的应用,函数的单调性, 难度中档.

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20.【答案】 【解析】证明:(1)连 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 O,连 DO,则 O 为 AC1 中点, ∵D 为 AB 的中点, ∴DO∥BC1, ∵BC1?平面 A1CD,DO?平面 A1CD, ∴BC1∥平面 A1CD. 解:∵底面△ABC 是边长为 2 等边三角形,D 为 AB 的中点, 四边形 BCC1B1 是正方形,且 A1D= ∴CD⊥AB,CD=
2 2 2



=

,AD=1, ,

∴AD +AA1 =A1D ,∴AA1⊥AB, ∵ ,∴ ∴CD⊥DA1,又 DA1∩AB=D, ∴CD⊥平面 ABB1A1,∵BB1?平面 ABB1A1,∴BB1⊥CD, ∵矩形 BCC1B1,∴BB1⊥BC, ∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面 ABC, ∵底面△ABC 是等边三角形, ∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是正三棱柱. 以 C 为原点,CB 为 x 轴,CC1 为 y 轴,过 C 作平面 CBB1C1 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系, B(2,0,0),A(1,0, =( ,﹣2,﹣ ),D( ,0, ),A1(1,2, ),

),平面 CBB1C1 的法向量 =(0,0,1),

设直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角为 θ, 则 sinθ= = = . .

∴直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值为

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21.【答案】 【解析】解:(1)在 f( )=f(x)﹣f(y)中, 令 x=y=1,则有 f(1)=f(1)﹣f(1), ∴f(1)=0; (2)∵f(6)=1,∴2=1+1=f(6)+f(6), ∴不等式 f(x+3)﹣f( )<2 等价为不等式 f(x+3)﹣f( )<f(6)+f(6), ∴f(3x+9)﹣f(6)<f(6), 即 f( )<f(6),

∵f(x)是(0,+∞)上的增函数, ∴ ,解得﹣3<x<9,

即不等式的解集为(﹣3,9). 22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由三视图知:几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体,且圆锥与圆柱的底面半径为 2,母 线长分别为 2 、4, π; 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和. S 圆锥侧= ×2π×2×2 S 圆柱底=π×22=4π. ∴几何体的表面积 S=20π+4 π; =4

S 圆柱侧=2π×2×4=16π;

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(Ⅱ)沿 A 点与 B 点所在母线剪开圆柱侧面,如图: 则 AB= = =2 , . ∴以从 A 点到 B 点在侧面上的最短路径的长为 2

23.【答案】 【解析】解:(I)当 n≥20 时,f(n)=500×20+200×(n﹣20)=200n+6000, 当 n≤19 时,f(n)=500×n﹣100×(20﹣n)=600n﹣2000, ∴ .

( II)由(1)得 f(18)=8800,f(19)=9400,f(20)=10000,f(21)=10200,f(22)=10400, ∴P(X=8800)=0.1,P(X=9400)=0.2,P(X=10000)=0.3,P(X=10200)=0.3,P(X=10400)=0.1, X 的分布列为 X 8800 9400 10000 10200 P 0.1 0.2 0.3 0.3 ∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860. 24.【答案】 【解析】解:全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7}. (1)A∪B={1,2,3,4,5,7} (2)(?UA)={1,3,6,7} ∴(?UA)∩B={1,3,7} (3)∵A∩B={5} ?U(A∩B)={1,2,3,4,6,7}. 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键. 10400 0.1

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