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高一数学《1[1][1].3.2 函数的奇偶性》


新课引入

观察以下函数图象,思 考并讨论以下问题 . 2 y f ( x) ? x ? 1 y f ( x ) ?| x |

?1 1 O x O (1)这两个函数有什么共 同特征?

x

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观察以下函数图象,思 考并讨论以下问题 . 2 y f ( x) ? x ? 1 y f ( x ) ?| x |

?1 1 O x x O (1)这两个函数有什么共 同特征? (2)对于上述两个函数, ( ?1)与f (1),f ( ?9) f 与f (9),f ( ?100)与f (100)有什么关系?

新课引入

观察以下函数图象,思 考并讨论以下问题 . 2 y f ( x) ? x ? 1 y f ( x ) ?| x |

?1 1 O x x O (3)一般地,若函数y ? f ( x )的图象关于y轴 对称,则f ( x )与f ( ? x )有什么关系?反之成 立吗?

新课讲授

偶函数:
一般地,如果对于函数 ( x )的定义域内任 f 意一个x,都有f ( ? x ) ? f ( x ),则函数f ( x )就叫 偶函数.

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偶函数:
一般地,如果对于函数 ( x )的定义域内任 f 意一个x,都有f ( ? x ) ? f ( x ),则函数f ( x )就叫 偶函数.

奇函数:
一般地,如果对于函数 ( x )的定义域内任 f 意一个x,都有f ( ? x ) ? ? f ( x ),则函数f ( x )就 叫奇函数.

新课讲授

思考1: 奇函数,偶函数的定义 中有“任意”二字, 说明函数的奇偶性是怎 样的一个性质?与函数 的单调性有何区别?

新课讲授

思考1: 奇函数,偶函数的定义 中有“任意”二字, 说明函数的奇偶性是怎 样的一个性质?与函数 的单调性有何区别? 思考2: ? x与x在几何上有何关系?具 有奇偶性的 函数的定义域有何特征 ?

方法小结

1. 根据定义判断一个函数 是奇函数还是偶函 数的方法和步骤是: 1)先判断定义域是否关 于原点对称; 2)判断f ( ? x )与f ( x )的关系.

方法小结

1. 根据定义判断一个函数 是奇函数还是偶函 数的方法和步骤是: 1)先判断定义域是否关 于原点对称; 2)判断f ( ? x )与f ( x )的关系.

2. f ( x )是偶函数 ? f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 ? 函数图象关于 轴对称. y

方法小结

1. 根据定义判断一个函数 是奇函数还是偶函 数的方法和步骤是: 1)先判断定义域是否关 于原点对称; 2)判断f ( ? x )与f ( x )的关系.

2. f ( x )是偶函数 ? f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 ? 函数图象关于 轴对称. y
f ( x )是奇函数 ? f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 ? 函数图象关于原点成中 心对称.

例题讲解

例1. 判断下列函数的奇偶性 . 1 1 2 (1)f ( x ) ? x ? 2 (2)f ( x ) ? x ? x x x ?1 (3)f ( x ) ? (4)f ( x ) ? x ? ( x ? 1) x (5)f ( x ) ?| x ? 1 | (6)f ( x ) ? 0

方法小结

1. 定义域关于原点对称的 函数也不一定具有 奇偶性.

方法小结

1. 定义域关于原点对称的 函数也不一定具有 奇偶性.
2. 对于一个函数而言,它 的奇偶性有四种可 能:奇函数、偶函数、 非奇非偶函数、既是 奇函数又是偶函数 .

例题讲解

0 例2. 已知f ( x )是定义在( ??,) ? (0,? )上的 奇函数,且在 0, ? )上为增函数,判断 ( x ) ( ? f 在( ??,)上是增函数还是减函数 0 ?

课堂练习

1. 如图,给出了奇函数 ? f ( x )的局部图象, y y 则f ( ?4) ? . 2

O

4 x

课堂练习

1. 如图,给出了奇函数 ? f ( x )的局部图象, y y 则f ( ?4) ? . 2

O
2. 如图,给出了偶函数 y ? f ( x )的局部图象, 比较f (1)与f ( 3)的大小.

4 x y

?3

? 1O

x

课堂练习

3. 定义在R上的函数,f ( x )是偶函数,g( x ) 是奇函数,试将下列函 数图象补充完整,并 思考:具有奇偶性的函 数在对称区间上的单 调性有什么关系?

y

f ( x)

y
O

O

x

x g( x )

例题讲解

x 例3. 若f ( x )定义在R上的奇函数,当 ? 0时, 2 f ( x ) ? ? x ? x,画出f ( x )的图象,并求出 f ( x )的解析式.

方法小结

如果奇函数的定义域内 有零,则由奇函 数的定义可知 (0) ? 0. f

奇、偶函数的有关结论 : 1.定义域关于原点对称; 2.奇函数的图像关于原点对称; 偶函数的图像关于y轴对称; 3.奇函数:在对称区间上 的单调性相同; 偶函数:在对称区间上的单调性相反;

4.已知函数f ( x) ? ax ? bx ? cx ? dx ? e
4 3 2

(1)若f ( x)为奇函数, 则a ? c ? e ? 0, (2)若f ( x)为偶函数, 则b ? d ? 0,

练习 :

1.已知函数y ? f ( x)是定义在R上的偶函数, 当x ? 0时, f ( x) ? x ? 2 x ? 3, 求f ( x)的解析式.
2

2.判断下列函数的奇偶性: 4 2 3 (1). f ( x) ? 2 x ? x (2). f ( x) ? x ? 2 x

x ?1 x ?1 (4). f ( x) ? ( x ? 1) (3). f ( x) ? x ?1 x 3.设函数f ( x)对于任意的实数x, y都有

f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ), 求证 : f ( x)是奇函数.


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