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第54届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一


第 54 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一
第一天 2013 年 3 月 13 日上午 8:00-12:30

1、如图,设四边形 ABCD 内接于 圆 ω , AC , BD 交于点 F , 延长 线段 BA , CD 交于点 E , 设 F 在 AB , CD 上的射影分别为点 G , H , 点 M , N 分别为线段 BC , EF 的中点 ,设 ?MNG 的外接圆 与 线 段 BF 有 唯 一 交 点 P ,

E

N A

D H F Q

G

?MNH 的外接 圆与 线段 CF 有
唯一交点 Q 求证: PQ / / BC
B P

C M

2、对正整数 n ,定义 f (n) min =
m∈?

2?

m ( ? 为整数集).设 {ni } 是一个严格递增的正 n

整数数列, C 为常数,满足 f ( ni ) <

C , i = 1, 2,? ni2

证明:存在一个实数 q > 1 ,使得 ni ≥ q i ?1 对 i = 1, 2,? 成立

3、有编号为 1, 2,? , n ( n ≥ 3 )的小球,用下述染色方式将每个小球染上红、黄、蓝、绿 四种颜色之一:先将 n 个小球任意排列在圆周上,对顺时针方向的任意连续三个小球,设它们 的编号依次为 i , j , k ,若 i > j > k ,则将 j 号球染为红色, 若 i < j < k ,则将 j 号球染为黄 色;若 i < j , k < j ,则将 j 号球染为蓝色;若 i > j , k > j ,则将 j 号球染为绿色. n 个小球 的两个染色方式称为不同的,若至少有一个小球,它在两个染色方式中被染上不同的颜色. 求所有的不同的染色方式数.

第 54 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一
第二天 2013 年 3 月 14 日上午 8:00-12:30

4、 设 n , k 为给定的大于 1 的整数,非负实数 a1 , a2 ,? , an ; c1 , c2 ,? , cn 满足: (1) a1 ≥ a2 ≥ ? ≥ an ,且 a1 + a2 + ? + an = 1; (2)对 m = 1, 2,? , n ,有 c1 + c2 + ? + cm ≤ m k .
k k 求 c1a1k + c2 a2 的最大值 + ? + cn an

A

5、 如图, P 为 ? ABC 内一点, L , M , N 分别
N

E

为 BC , CA , AB 的中点,且

F

M

PL : PM : PN = BC : CA : AB , 延长 AP , BP , CP 分别交 ? ABC 的外接圆于 点 D, E, F . 证明 : ? APF , ? APE , ? BPF , ? BPD , ?CPD , ?CPE 的外接圆圆心六点共圆.

P B L C

D

6、 求一切正实数 r < 1 ,使得存在由实数组成的集合 S ,具有性质:对任意实数 t ,数 t ,

t + r , t + 1 中有且仅有一个在 S 中:并且数 t ? 1 , t ? r , t 中有且仅有一个在 S 中.


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