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湖北省浠水县普通高中2011年春季高二期中联考数学文科试题


浠水县普通高中 2011 年春季高二期中联考 数学选修 1-1(文科)试卷
(完卷时间 120 分钟 满分 150 分)

一、选择题(共 10 题,每小题 5 分,共 50 分,每题只有一个选项正确) 1、若 f ?x? ? x ln a ? 3x ,则 f ??a ? 等于( A、 lna ? 3 ln 3
a


a

B、 1 - 3 ln 3

a

C、 alna ? 3 ln 3

D、 alna ? 3

a

2、若抛抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A、 ? 2 B、2 C、 ? 4

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
D、 4 ) D、 y ? 4 x ? 7



3、曲线 y ? 2 x 2 ? 1 在点 p ?? 1,3? 处的切线方程为( A、 y ? ?4 x ? 1 B、 y ? ?4 x ? 1 C、 y ? 4 x ? 7

4、已知命题甲: f ??x0 ? ? 0 ,命题乙:点 x 0 是可导函数 f ? x ? 的极值点,则甲是乙的( A、充分而不必要条件 C、充要条件 B、必要而不充分条件 D、既不充分而不必要条件 )



5、函数 f ( x) ? ax3 ? x在(??,??) 内是减函数,则( A、 a ? 0 6、过椭圆 B、 a ? 1 C、 a ? 2 D、 a ?

1 3

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于一点 P,F2 为右焦点,若 a 2 b2
) D、

?F1 PF2 ? 60? ,则该椭圆的离心率为(
A、

2 2

B、

3 3

C、

1 2

1 3

7、已知命题 p: ? ? {0} ,q:{1} ? {1,2} ,由它们组成的“ p ?q ”“ p ? q ”和“ ? p”形式的 , 复合命题中,真命题有( )个 A、 0 B、1 C、2 D、3 2 x ? 3 y ? 0 为渐近线,且过点(1,2)的双曲线方程为( 8、以 A、

) D、

9x y ? ?1 32 8

2

2

B、

9y x ? ?1 32 8

2

2

C、

32 x y ? ?1 9 8

2

2

32 y 2 x 2 ? ?1 9 8

9、已知函数 f(x)的导函数 f ??x ? 的图像如左图所示,那么函数 f(x)的图像最有可能的是( )

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10、若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内有一点 p?1,?1? ,F 为右焦点,椭圆上有一点 M,使 MP ? 2 MF 的值最 4 3
) B、 ?1,? ?

小,则点 M 的坐标为(

?2 6 ? ? A、 ? ? 3 ,?1? ? ?

? ?

3? 2?

C、 ?1,? ?

? ?

3? 2?

? 2 ? 6 ,?1? D、 ? ? ? 3 ?

二、填空题: (共 5 题,每小题 5 分,共 25 分) 11、命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 0 ”的否定是_________________
2
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x2 ? y 2 ? 1 上的两个焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线上且满足 ?F1 PF2 ? 90? , 12、已知双曲线 4
则 ΔF1PF2 的面积为_______________
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?? ? ?? ? 13、已知函数 f ? x ? ? f ?? ? sin x ? cos x ,则 f ? ? 的值为_______________ ?4? ?4?
3 2

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14、函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? a(a为常数) 在 ?? 2,2?上有最大值 3,那么此函数在 ?? 2,2?上的最小 值为
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15、以下四个关于圆锥曲线的命题中:①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若 PA ? PB ? k , 则动点 P 的轨迹为双曲线;②方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;③双曲 线

x2 x2 y2 2 ? ? 1 与椭圆 ? y ? 1 有相同的焦点;④平面内到定点 F 的距离等于到定直线 l 的距离的 35 25 9
(写出所有真命题的序号)

点的轨迹是抛物线; 其中真命题的序号为

三、解答题: (共 6 题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16、 (本小题 12 分) 已知函数 f ?x ? ? x?x ? c ? 在 x=2处有极大值,求 c 的值。
2

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17、 (本小题12分) 给定两个命题:p:对任意实数 x 都有 ax 2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立;q:关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实 数根;如果 p ? q 为真命题且 p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

18、 (本小题12分) 已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2在坐标轴上,离心率为 2 ,且过点 M (4,? 10 ) 。 ⑴求双曲线方程; ⑵若点 N (3, m) 在双曲线上,求证:点 N 在以 F1F2为直径的圆上; ⑶求 ΔF1NF2的面积。

19、 (本小题12分) 已知某精密仪器生产总成本 C(单位:万元)与月产量 x(单位:台)的函数关系为 C ? 100 ? 4x , 月最高产量为 150 台,出厂单价 p(单位:万元)与月产量 x 的函数关系为 p ? 25 ? (1)求月利润 L 与产量 x 的函数关系式 L( x) ; (2)求月产量 x 为何值时,月利润 L( x) 最大?
1 1 2 x? x . 80 1800

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20、 (本小题13分) 在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 到两点 0, 3 、 0,? 3 的距离之和等于4,设点 P 的轨迹为 C。 ⑴写出 C 的方程; ⑵设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A、B 两点,K 为何值时 OA ? OB ?此时 AB 的值是多少?

?

? ?

?

21、 (本小题14分) 设函数 f ?x ? ? x 3 ? 6 x ? 5, x ? R ⑴求 f ? x ? 的单调区间和极值; ⑵若关于 x 的方程 f ? x ? ? a 有3个不同实根,求实数 a 的取值范围; ⑶已知当 x ? ?1,?? ?时,f

?x? ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

数学选修 1-1(文科)试卷答案

一、选择题

1 A 二、填空题

2 D

3 B

4 B

5 A

6 B

7 B

8 B

9 A

10 A

11、 ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 三、解答题

12、 1

13、 ―1

14、 ―37

15、②③

16、解:因为 f ?x? ? x?x ? c? ? x3 ? 2cx 2 ? c 2 x ,
2

第 4 页 共 7 页

所以 f ??x? ? 3x 2 ? 4cx ? c 2 ? ?3x ? c??x ? c? 又函数在 x=2 处有极大值,所以 f ??2? ? 0 ,得 c ? 2 或 c=6 时,??6 分

?2 ? 又当 C=2 时, x ? ? ,2 ?, f ??x ? ? 0, x ? ?2,?? ?, f ??x ? ? 0 ,函数在 x=2 处取极小值,不符合要求,应 ?3 ? 舍去。
当 C=6 时, x ? ?? ?,2?, f ??x ? ? 0, x ? ?2,6?, f ??x ? ? 0 ,函数在 x=2 处取极大值, 综上得 c=6 ??12 分

17、解:由 p ? q 为真命题且 p ? q 为假命题,可知,p 和 q 中只有一个为真命题 ??3 分

?a ? 0 当 P 为真时命题时,有 a ? 0或? 得 0 ? a ? 4 ??6 分 ?? ? 0
当 q 为真时命题时,有 ? ? 1 ? 4a ? 0得a ?

1 ??9 分 4

?1 ? 综上所述 a ? ?? ?,0? ? ? ,4 ? ??12 分 ?4 ?
18、解:⑴ 因为 e ? 2 ,故可设双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? ? ?? ? 0? 又过点 M (4,? 10 ) ,所以 16 ?10 ? ? ,所以 ? ? 6 ; 双曲线的方程为:

x2 y2 ? ? 1 ??4 分 6 6

⑵证明如下:由⑴可知:在双曲线中, a ? b ? 6 ,?c ? 2 3,? F1 ? 2 3,0 、F2 2 3,0 又点 N 在双曲线上,所以 m 2 ? 3 , 又 NF ? ? 2 3 ? 3,?m , NF2 ? 2 3 ? 3,?m ? NF ? NF2 ? ?3 ? m2 ? 0 , 1 1 所以点 N 在以 F1F2 为直径的圆上??9 分 ⑶ΔF1NF2 的面积=6 ??12 分

?

? ?

?

?

?

?

?

19、解: (1) L( x) ? px ? C ? (25 ?

1 1 2 1 3 1 2 x? x ) x ? (100 ? 4x) ? ? x ? x ? 21x ? 100 , 80 1800 1800 80

其中 0 ? x ? 150 . ??5 分 1 2 1 1 1 (2) L '( x) ? ? x ? x ? 21 ? ? ( x2 ? 15x ? 12600) ? ? ( x ? 120)( x ? 105) 600 40 600 600 令 L '( x) ? 0 ,解得 x ? 120 当 x ? (0,120) 时, L '( x) ? 0 ;当 x ? (120,150] 时, L '( x) ? 0 . 因此,当 x ? 120 时, L( x) 取最大值. 所以,月产量为 120 台时,月利润 L( x) 最大.??12 分

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20、解: (1)设 p ( x, y ) ,由椭圆定义可知,点 P 轨迹是以 0, 3 、 0,? 3 为焦点,长半轴为 2 的椭 圆,它的短半轴 b ? 2 2 ? ( 3 ) 2 ? 1 故曲线 C 的方程为 x 2 ?

?

? ?

?

y2 ? 1 ??5 分 4

? 2 y2 ?1 ?x ? (2)设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,其坐标满足 ? , 4 ? y ? kx ? 1 ?
消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0 故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 ,??8 分 , x1 x2 ? ? 2 k ?4 k ?4
2

OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0
而 y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? k ?x1 ? x2 ? ? 1 于是 x1 x2 ? y1 y 2 ? 所以 k ? ?

? 4k 2 ? 1 k2 ? 4

1 时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 此时 OA ? OB ,??11 分 2 4 12 , x1 x2 ? ? 17 17
所以 AB ?

x1 ? x2 ? ?

4 65 ??13 分 17

21、⑴函数 f ?x ? ? x 3 ? 6 x ? 5, x ? R 的递减区间为 ? ?,? 2 和 2 ,?? ,递增区间为 ? 2 , 2 ,极大 值为 5 ? 4 3 ;极小值为 5 ? 4 3 ??5 分

?

? ?

?

?

?

⑵由⑴可知函数的图象大致为: 由图象可知: 5 ? 4 3 <a< 5 ? 4 3 ??9 分

⑶ x ? ?1,?? ?时,x ? 1 ? 0 又 f ?x ? ? k ( x ? 1) ,则 x 3 ? 6 x ? 5 ? k ( x ?1)

x 3 ? x 2 ? x 2 ? 6x ? 5 ? k ( x ?1) ( x ?1)(x 2 ? x ? 5) ? k ( x ?1)
即 x 2 ? x ? 5 ? k ,要使 x ? ?1,?? ?时,f 又 ( x ? x ? 5) min ? ?3 ,所以 k ? ?3
2

?x? ? k ( x ? 1) 恒成立,只需 ( x 2 ? x ? 5)min ? k
??14 分

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