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直线与圆练习题(高一寒假作业)


直线的方程与圆的方程单元测试题
一、选择题: 1. 已知过 A?? 1, a ? 、 B?a, 8? 两点的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 a 的值为( A. -10 B. 2 C.5 D.17 ) )

二、填空题: 11. 若直线 l 沿 x 轴正方向平移 2 个单位,再沿 y 轴负方向平移 1 个单位,又回到原来的位置,则直线 l 的斜率 k =_________ . 12. 斜率为 1 的直线 l 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为2,则直线 l 的方程为 13. 已知直线 l 过点 P(5,10),且原点到它的距离为 5,则直线 l 的方程为 14. 过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 . . .

2. 设直线 x ? my ? n ? 0 的倾角为 ? ,则它关于 x 轴对称的直线的倾角是( A. ? B.

?
2

??

C. ? ? ?

D.

?
2

15. 已知圆 C 的圆心与点 P (?2,1) 关于直线 y ? x ? 1 对称,直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C 相交于 A 、 B 两点, 且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为 ) .

??

1 3. 已知过 A(?2, m), B(m,4) 两点的直线与直线 y ? x 垂直,则 m 的值( 2
A.4 B.-8 C.2 D.-1 4. 若点 P(m, 0) 到点 A(?3, 2) 及 B(2, 8) 的距离之和最小,则 m 的值为( A. ?2 B. 1 C. 2 D. ?1

三、解答题: 16. 求经过直线 l1:3x+4y-5=0 l2:2x-3y+8=0 的交点 M,且满足下列条件的直线方程: (Ⅰ)经过原点; (Ⅱ)与直线 2x+y+5=0 平行; (Ⅲ)与直线 2x+y+5=0 垂直.



5. 不论 k 为何值,直线 (2k ? 1) x ? (k ? 2) y ? (k ? 4) ? 0 恒过的一个定点是( A.(0,0) B.(2,3) C.(3,2) D.(-2,3)



6. 圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 上与直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离等于 2 的点共有(



A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7. 在 Rt△ABC 中, ∠A=90°, ∠B=60°, AB=1, 若圆 O 的圆心在直角边 AC 上, 且与 AB 和 BC 所在的直线都 相切, 则圆 O 的半径是( ) A.

2 3
2 2

B.

1 2

C.

3 2

D.

3 3
) 17. 已知△ABC 的两个顶点 A(-10,2),B(6,4),垂心是 H(5,2),求顶点 C 的坐标.

8. 圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离的最大值是( B. 1 ? 2
2 2

A. 2

2 C. 2 ? 2

D. 1 ? 2 2

9. 过圆 x ? y ? 4x ? my ? 0 上一点 P(1,1) 的圆的切线方程为( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0



D. x ? 2 y ? 1 ? 0

2 2 2 10. 已知点 P (a, b) (ab ? 0) 是圆 O : x ? y ? r 内一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线,若直线 n 的

方程为 ax ? by ? r ,则(
2

) B. m ∥ n 且 n 与圆 O 相交 D. m ⊥ n 且 n 与圆 O 相离

A. m ∥ n 且 n 与圆 O 相离 C. m 与 n 重合且 n 与圆 O 相离

2 18. 已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. 2

(Ⅰ)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (Ⅲ)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求弦 AB 的长.

20. 已知方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 . (Ⅰ)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若(Ⅰ)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M,N 两点,且 OM ? ON(O 为坐标原点)求 m 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程.

19. 已知圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 (a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 . 当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 2 时 , 求 (Ⅰ) a 的值; (Ⅱ)求过点 (3,5) 并与圆 C 相切的切线方程.

21. 已知圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 。 (Ⅰ)求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (Ⅱ)设 l 与圆 C 交与不同两点 A、B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程; (Ⅲ)若定点 P(1,1)分弦 AB 为

AP 1 ? ,求此时直线 l 的方程。 PB 2

20、解: (Ⅰ) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 D=-2,E=-4,F= m

参 考 答 案
题 号 答 案 11、 k = 1 B 2 C 3 B 4 A 5 B 6 C 7 D 8 B 9 D 10 A

D 2 ? E 2 ? 4 F =20- 4 m ? 0 , m ? 5 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 (Ⅱ) ? 2 x ? 4 ? 2 y 代入得 2 x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 ? 5 y 2 ? 16y ? 8 ? m ? 0 8?m 16 y1 ? y 2 ? , y1 y 2 ? ∵OM ? ON 5 5
得出: x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 (Ⅲ)设圆心为 ( a, b) ∴ 5 y1 y2 ? 8( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0 ∴m ?

1 12、 y ? x ? 6 13、 x ? 5 或 3x ? 4 y ? 25 ? 0 2 14、 x 15、 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 18 ? 2 y ? 5 ? 0 16、解:(Ⅰ) 2 x ? y ? 0 (Ⅱ) 2 x ? y ? 0 (Ⅲ) x ? 2 y ? 5 ? 0 2?4 1 ? 2 ∴ k AC ? ? 17、解: k BH ? 5?6 2 1 ∴直线 AC 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 10 ) 即 x+2y+6=0 (1) 2 又∵ k AH ? 0 ∴BC 所直线与 x 轴垂直 故直线 BC 的方程为 x=6 (2)
解(1)(2)得点 C 的坐标为 C(6,-6)
2 18、解:(Ⅰ)已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 的圆心为 C(1,0) ,因直线过点 P、C, 2

8 5

所以直线 l 的斜率为 2,直线 l 的方程为 y ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)当弦 AB 被点 P 平分时,l⊥PC, 直线 l 的方程为 y ? 2 ? ? 即 x ? 2y ? 6 ? 0

1 ( x ? 2) , 2

x1 ? x2 4 y ? y1 8 4 5 ? ,b ? 1 ? 半径 r ? 2 5 2 5 5 4 2 8 2 16 圆的方程 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 5 5 5 2 21、解: (Ⅰ)解法一:圆 C : x ? ( y ?1)2 ? 5 的圆心为 C (0,1) ,半径为 5 。 ?m m 1 ∴圆心 C 到直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 的距离 d ? ? ? ? 5 2 m ? 1 2m 2 ∴直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; 方法二: ∵直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 过定点 P(1,1) , 而点 P(1,1) 在圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 内∴直线 l 与圆 C 相交, 即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; y (Ⅱ)当 M 与 P 不重合时,连结 CM、CP,则 CM ? MP , a?
∴ CM
2

(Ⅲ)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y ? 2 ? x ? 2 ,

? MP ? CP
2 2

2

2

1 即 x ? y ? 0 ,圆心 C 到直线 l 的距离为 ,圆的半径为 3,弦 AB 的长为 34 . 2 19、解: (Ⅰ)依题意可得圆心 C (a,2),半径r ? 2 , a?2?3 a ?1 ? 则圆心到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的距离 d ? 2 12 ? (?1) 2

设 M ( x, y)( x ? 1) ,则 x ? ( y ?1) ? ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 ,
2 2 2 2

B C M A O

l

化简得: x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0( x ? 1) 当 M 与 P 重合时, x ? 1, y ? 1 也满足上式。 故弦 AB 中点的轨迹方程是 x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0 。
2 2

P(1,1)

x

(Ⅲ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ∴ 1 ? x1 ?

2 2 2 ) ? r 2 ,代入化简得 a ? 1 ? 2 2 解得 a ? 1或a ? ?3 ,又 a ? 0 ,所以 a ? 1 2 2 (Ⅱ)由(1)知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 , 又 (3,5) 在圆外 ? ①当切线方程的斜率存在时,设方程为 y ? 5 ? k ( x ? 3) 5 由圆心到切线的距离 d ? r ? 2 可解得 k ? 12 ? 切线方程为 5x ? 12y ? 45 ? 0 ②当过 (3,5) 斜率不存在直线方程为 x ? 3 与圆相切 由①②可知切线方程为 5 x ? 12y ? 45 ? 0 或 x ? 3
由勾股定理可知 d ? (
2

AP 1 1 ? 得 AP ? PB , PB 2 2

1 ( x2 ? 1) ,化简的 x2 ? 3 ? 2x1 ………………① 2 ?mx ? y ? 1 ? m ? 0 2 2 2 2 又由 ? 2 消去 y 得 (1 ? m ) x ? 2m x ? m ? 5 ? 0 ……………(*) 2 x ? ( y ? 1) ? 5 ? 2m 2 ∴ x1 ? x2 ? ………………………………② 1 ? m2 3 ? m2 由①②解得 x1 ? ,带入(*)式解得 m ? ?1 , 1 ? m2 ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 。


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