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2.2.2平面与平面平行的判定_图文

2.2.2平面与平面平行的判 定

课堂练习

1.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和矩形 ABEF不在同一个平面内,P,Q分别是对角线AE, BD的中点. D C 求证:PQ∥平面BCE. Q A B P

F
思路:在平面BCE内找PQ平行线。

E

2. 已知E、F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1棱 BC、C1D1的中点,求证:EF ∥平面BB1DD1
证明:取BD中点O,则OE
为△ BDC 的中位线
A1 D1

F
B1

C1

∥1 DC,D F ∥1C D ∴OE = 2 1 =2 1 1 A ∴D1F ∥OE = ∴D1OEF为平行四边形
又∵ EF

D
O

C E
B

∴EF ∥D1O
?

∴ EF ∥平面BB1DD1

?

平面BB1DD1,D1O 平面BB1DD1

一、两个平面的位置关系
位置关系
公共点 符号表示 图形表示 两平面平行 没有公共点 α∥β 两平面相交

有一条公共直线
α∩β=a

两个平面平行的画法
画两个互相平行的平面时,要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行,如图1, 而不应画成图2那样.

图1

图2

1. 两个平面满足什么条件才能够平行呢? 2. 有没有学过两平面平行的判定?学过什么 平行?平面内有没有直线? 3. 如果平面α 内有一条直线a平行于平面β 那么α 与β 平行吗? 模型 4. 如果平面α 内有两条直线a,b平行于平面 β 那么α 与β 平行吗?
模型

1. 如果平面α 内有一条直线a平行于平面β 那么α 与β 平行吗?
α α α α a

a// β

β

模型1

模型2
? 如果一个平面内有两条相交直线分别平行 于另一个平面,那么这两个平面平行。 有两条怎么样的直线呢?

a// β b// β a// b
β

α
a b

a// β b// β
P

α

b a

β

c

二、两个平面平行的判定
判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面,那么这两个平面平行.
A

a

?
图形语言:

b

?
a, b ? ? ,

符号语言:

? ? a ? b ? A ? ? ? / /? a / /? ,b / /? ? ?

判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若平面 ? 内的两条直线分别与平面 ? 平行,则? 与 ? 平行; × (2)若平面 ? 内有无数条直线分别与平面? 平行,则 ? 与 ? 平行;× (3)平行于同一直线的两个平面平行; × (4)两个平面分别经过两条平行直线,这两个平面平 行; × (5)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平 行的平面.×

两个平面平行的判定
判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面,那么这两个平面平行.
A

a

?
图形语言:

b

?
a, b ? ? ,

符号语言:

? ? a ? b ? A ? ? ? / /? a / /? ,b / /? ? ?

正方体 ABCD ? A1 B1C 1 D1中, 证明平面 C 1 BD // 平面 AB 1 D1 .
D1

C1

证明:
AB CD

A1

B1

C 1D 1
D
C

ABC 1 D1是平行四边形
BC 1 // A D1

A

B

BC 1 ? 平 面 AB1 D1
AD1 ? 平 面 AB1 D1

BC 1 //平 面 AB1 D1
同 理 C 1 D//平 面 AB1 D1

BC 1 ? C 1 D=C 1
平 面 C 1 DB//平 面 AB1 D1

如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1 的中点,求证:平面AMN∥平面EFDB;
N
D1

F

C1
E

A1

M

B1

D

C

A

B

练习:在正方体AC?中,E、F、G、P、 Q、R分别是所在棱AB、BC、BB? A?D?、D?C?、DD?的中点, 求证:平面PQR∥平面EFG。
D? P A? B? Q

C?

R
G
D C F

A

E

B

推论:
如果一个平面内的两条相交直线分别平 行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平 面平行. a ,b ? ? ? a P ?

?

b

?

a? b?

? ? a ?, b ? ? ? ? ? ? // ? ? a // a ? ? b // b ? ? ?

a ? b =A

【例2】 空间四边形ABCD中,M、E、F 分别为 ?BAC、 ?ACD、 ?ABD 的重心. (1) 求证: 面MEF // 平面BCD; (2) 求 S ?MEF 与 S ?BCD 面积的比 值. A
F
M B P H E D

G
C

三、两个平面平行的性质
性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平 面相交,那么它们的交线平行.
?
a

图形语言:

?

?

b

? // ?

符号语言:

? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平 面相交,那么它们的交线平行.
已知: ? // ? , ? ? ? ? a , ? ? ? ? b 求证: a // b 证明:???? // ?
???? 与 ?
?
?

a

没有公共点

?

b

???a

与 b 也没有公共点

???a ? ? , b ? ?

???a // b

【例2】如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的相对侧面分别平行,过它的一个顶点 A的一个平面截它的四个侧面得四边形 AMFN. 证明:四边形AMFN是平行四边形.
D1 A1 N D B1 F
M

C1

C B

A

今天学习的内容有: 1. 空间两平面的位置关系有几种? 2. 面面平行的判定定理需要什么条件? 3. 面面平行的判定定理的变式是什么?

练习.已知a∥β AB和DC为夹在a、β间
的平行线段。 求证: AB=DC
A

D

?

? B

C

证明: 连接AD、BC
A

D

∵AB//DC
∴ AB和DC确定平面AC 又因直线AD、BC分别是平面 AC与平面a、β的交线,

?

? B

C

∴AD//BC,四边形ABCD是平行 四边形 ∴AB=DC


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