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2009年广州高三数学一模文科数学试题与答案

2009 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数 学(文 科)
2009.3

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。 考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或签字笔将自 己的市、县/区、学校,以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡。用 2B 铅笔将 试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以 上要求作答的答案无效。2013 年 1 月 1 日星期二 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、 多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh , 其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? . 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.函数 f ?x ? ? sin x cos x 的最小正周期为 A.

? 2

B. ?

C. 2?

D. 4?

2 2.已知全集 U ? R,集合 A ? x x ? x ? 0 , B ? x ? 1 ? x ? 1 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A. ?0?

B. ? ? 1

C. ?0, 1?

D. ?

3.已知 z ? i(1 ? i)(i为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 日 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图 1 所示. 已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元,则 11 时至 12 时 的销售额为 A. 6 万元 C. 10 万元 B. 8 万元 D. 12 万元
1

5.已知过 A?? 1, a ? 、 B?a, 8? 两点的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行, 则 a 的值为 A. ? 10 C. 5

B. 2 D. 17

6.已知 a, b ?R且 a ? b ,则下列不等式中成立的是 A.

a ?1 b

B. a ? b
2

2

C. lg?a ? b ? ? 0

D. ? ? ? ? ?

?1? ? 2?

a

?1? ? 2?

b

7.阅读图2的程序框图( 框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ?”或“:=”), 若输出 S 的值等于 16 ,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 A. i ? 5 ? B. i ? 6 ? C. i ? 7 ? D. i ? 8 ? 8.如果命题“ p 且 q ”是假命题, “非 p ”是真命题,那么 A.命题 p 一定是真命题 C.命题 q 一定是假命题 B.命题 q 一定是真命题 D.命题 q 可以是真命题也可以是假命题

9.已知平面内不共线的四点 O, A, B, C 满足 OB ? 则 AB : BC ? A. 1 : 3 B. 3 : 1

1 2 OA ? OC , 3 3

C. 1 : 2

D. 2 : 1

10.在区间 ?0, 1? 上任意取两个实数 a, b ,则函数 f ? x ? ? 有一个零点的概率为 A.

1 3 x ? ax ? b 在区间 ?? 1, 1?上有且仅 2
D.

1 8

B.

1 4

C.

7 8

3 4

2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13题) 11. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 16 4

.
*

12.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意 n ?N 都有 S n ? 2an ? 1 , 则 a1 的值为 ,数列 ?an ? 的通项公式 an ? .

13. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图 3 所示, 则该几何体的侧面积为 cm .
2

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 ? sin ?? ? 为__ .

? ?

??

? ? 2 被圆 ? ? 4 截得的弦长 4?

15.(几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O ( O 为圆心)的切线,切点为 A ,PO 交圆 O 于 B, C 两点, AC ? 3, ?PAB ? 30? ,则线段 PB 的长为 .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 某校高三级要从3名男生 a、b、c 和2名女生 d、 e 中任选3名代表参加学校的演讲比赛. (1)求男生 a 被选中的概率; (2)求男生 a 和女生 d 至少有一人被选中的概率. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查古典概率等基础知识,考查运算求解能力)

a a a 解: 从3名男生 a、b、c 和2名女生 d、 e 中任选3名代表的可能选法是: , b, c ; , b, d ; , b, e ; a, c, d ; a , c , e ; a, d , e ; b, c, e ; b, c, d ; b, d , e ; c, d , e 共10种.
6 3 ? . 10 5 (2)男生 a 和女生 d 至少有一人被选中的情况共有9种,故男生 a 和女生 d 至少有一人被选 9 中的概率为 . 10
(1)男生 a 被选中的的情况共有6种,于是男生 a 被选中的概率为
3

17. (本小题满分14分) 已知△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a ? 2, cos B ? (1) 若 b ? 4 , 求 sin A 的值; (2) 若△ ABC 的面积 S ?ABC ? 4, 求 b, c 的值.

3 . 5

18. (本小题满分14分) 如图 4, A1 A 是圆柱的母线, AB 是圆柱底面圆的直径,

C 是底面圆周上异于 A, B 的任意一点, AA1 ? AB ? 2 .
(1)求证: BC ⊥平面 A1 AC ; (2)求三棱锥 A ? ABC 的体积的最大值. 1

19. (本小题满分 14 分) 设点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是抛物线 x ? 4 y 上不同的两点,且该抛物线在点 A 、 B 处的两条
2

切线相交于点 C ,并且满足 AC ? BC ? 0 . (1) 求证: x1 x2 ? ?4 ; (2) 判断抛物线 x ? 4 y 的准线与经过 A 、 B 、 C 三点的圆的位置关系,并说明理由.
2

??? ??? ? ?

20.(本小题满分12分) 某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务,每件产品由3个 A 型零件和1个 B 型零件 配套组成.每个工人每小时能加工5个 A 型零件或者3个 B 型零件,现在把这些工人分成两组 同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一种型号的零件.设加工 A 型零件的工人 人数为 x 名( x ?N ).
*

(1)设完成 A 型零件加工所需时间为 f ?x ? 小时,写出 f ?x ? 的解析式; (2)为了在最短时间内完成全部生产任务, x 应取何值? 21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的相邻两项 a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x ? 2 x ? bn ? 0 (n ? N ) 的两根,且
2 n
*

4

a1 ? 1 .
(1) 求证: 数列 ?a n ?

? ?

1 n? ? 2 ? 是等比数列; 3 ?
*

(2) 设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 问是否存在常数 ? ,使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N 都成立, 若存在, 求出 ? 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.

2009 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解 法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照 评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部 分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 B A B C B D A D D C

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分, 其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.第 12 题第一个空 2 分,第二个空 3 分. 11.

3 2

12. 1 ; 2

n ?1

13. 80

14. 4 3

15.1

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查古典概率等基础知识,考查运算求解能力)

a a a 解: 从3名男生 a、b、c 和2名女生 d、 e 中任选3名代表的可能选法是: , b, c ; , b, d ; , b, e ; a, c, d ; a , c , e ; a, d , e ; b, c, e ; b, c, d ; b, d , e ; c, d , e 共10种.
6 3 ? . 10 5 (2)男生 a 和女生 d 至少有一人被选中的情况共有9种,故男生 a 和女生 d 至少有一人被选
(1)男生 a 被选中的的情况共有6种,于是男生 a 被选中的概率为
5

中的概率为

9 . 10

16. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识,考查运算求解能 力) 解: (1)∵ cos B ?

3 ? 0, 且0 ? B ? ? , 5 4 2 ∴ sin B ? 1 ? cos B ? . 5 a b ? 由正弦定理得 , sin A sin B 4 2? a sin B 5 ?2. ∴ sin A ? ? b 4 5 1 (2)∵ S ?ABC ? ac sin B ? 4, 2 1 4 ∴ ? 2? c ? ? 4. 2 5 ∴ c ? 5.
由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 2 2

∴ b?

a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 2 2 ? 5 2 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 . 5

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间中线面的位置关系、几何体体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论 证能力和运算求解能力) (1)证明:∵ C 是底面圆周上异于 A 、 B 的一点,且 AB 为底面圆的直径, ∴ BC ? AC . ?? 2 分 ∵ AA1 ⊥平面 ABC , BC ? 平面 ABC , ∴ BC ? AA1 . ?? 4 分

∵ AA ? AC ? A, AA ? 平面 A1 AC , AC ? 平面 A1 AC , 1 1 ∴ BC ? 平面 A AC . 1 ?? 6 分

(2)解法 1:设 AC ? x ,在 Rt△ ABC 中, BC ? AB 2 ? AC 2 ? 4 ? x 2 (0<x<2 ) , 故 VA ? ABC ? 1 即 VA1 ? ABC

1 1 1 1 2 S?ABC ? AA1 ? ? AC ? BC ? AA1 ? x 4 ? x (0<x<2 ) , 3 3 3 2 1 1 2 1 ? x 4 ? x2 ? x (4 ? x 2 ) ? ?( x 2 ? 2) 2 ? 4 . 3 3 3
6

∵ 0 ? x ? 2,0 ? x2 ? 4 , ∴当 x ? 2 ,即 x ? 2 时,三棱锥 A ? ABC 的体积的最大值为 1
2

2 . 3

解法 2: 在 Rt△ ABC 中, AC ? BC ? AB ? 4 ,
2 2 2

V A1 ? ABC ?

1 1 1 S ?ABC ? A1 A ? ? A1 A ? ? AC ? BC 3 3 2 1 ? ? AC ? BC 3

1 AC 2 ? BC 2 ? ? 3 2 ?
?

1 AB 2 ? 3 2
2 . 3

当且仅当 AC ? BC 时等号成立,此时 AC ? BC ? ∴三棱锥 A1 ? ABC 的体积的最大值为

2.

2 . 3

19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查圆、抛物线、直线、导数等基础知识和数学探究,考查数形结合的数学思想方 法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
2 (1)解:由 x ? 4 y ,得 y ?

1 2 1 x ,则 y? ? x , 4 2 1 1 x1 , x2 . 2 2

∴抛物线 x ? 4 y 在点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 处的切线的斜率分别为
2

∵ AC ? BC ? 0 , ∴ AC ? BC . ∴抛物线 x ? 4 y 在点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 处两切线相互垂直.
2

??? ??? ? ? ??? ?

??? ?



1 1 x1 ? x2 ? ?1. 2 2

∴ x1 x2 ? ?4 . (2)解法 1:∵ AC ? BC ? 0 , ∴ AC ? BC .
7

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

∴经过 A, B, C 三点的圆的圆心为线段 AB 的中点 D ,圆心 D ( ∵抛物线 x2 ? 4 y 的准线方程为 y ? ?1 , ∴点 D (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2

x1 ? x2 y1 ? y2 y ? y2 , ) 到直线 y ? ?1 的距离为 d ? 1 ?1, 2 2 2
( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 , 2

∵经过 A, B, C 三点的圆的半径 r ?

2 2 由于 x1 ? 4 y1 , x2 ? 4 y2 ,且 x1 x2 ? ?4 ,则 y1 y2 ?

1 ( x1 x2 ) 2 ? 1 , 16

∴r ?

2 x12 ? x2 ? 2 x2 x2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 4 y1 ? 4 y2 ? 8 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 . ? 2 2

即r ?

( y1 ? y2 )2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 4 ( y1 ? y2 ? 2)2 y1 ? y2 ? 2 y1 ? y2 ? ? ? ?1, 2 2 2 2

∴ d ? r. ∴抛物线 x2 ? 4 y 的准线与经过 A, B, C 三点的圆相切. 解法 2:由(1)知抛物线 x ? 4 y 在点 A( x1 , y1 ) 处的切线斜率为
2

1 x1 , 2

2 又 x1 ? 4 y1 ,

∴ 切线 AC 所在的直线方程为: y ? 即y?

1 2 1 x1 ? x1 ? x ? x1 ? 4 2


1 1 x1 x ? x12 . 2 4 1 1 2 x2 x ? x2 . 2 4

同理可得, 切线 BC 所在的直线方程为: y ? 由①,②得点 C 的横坐标 xC ? ∵ AC ? BC ? 0 , ∴ AC ? BC .



x1 ? x 2 ? x ? x2 ? ,纵坐标 yC ? ?1 ,即 C ? 1 ,?1? . 2 ? 2 ?

??? ??? ? ? ??? ?

??? ?

∴经过 A, B, C 三点的圆的圆心为线段 AB 的中点 D ,圆心 D ( ∵抛物线 x ? 4 y 的准线方程为 y ? ?1 ,
2

x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2

∴点 D 到直线 y ? ?1 的距离为 d ?

y1 ? y2 ? 1, 2

8

∵经过 A, B, C 三点的圆的半径 r ? CD ? ∴ d ? r.

y1 ? y 2 ?1 , 2

∴抛物线 x2 ? 4 y 的准线与经过 A, B, C 三点的圆相切.

20. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识,考查分类与整合的数学思想方 法,以及运算求解能力和应用意识) 解: (1)生产150件产品,需加工 A 型零件450个, 则完成 A 型零件加工所需时间 f ?x ? ?

450 90 ? ( x ? N * ,且1 ? x ? 49) . 5x x

(2)生产150件产品,需加工 B 型零件150个, 则完成 B 型零件加工所需时间 g ?x ? ?

150 50 ? ( x ? N * ,且1 ? x ? 49) . 3?50 ? x ? 50 ? x

设完成全部生产任务所需时间为 h?x ? 小时,则 h?x ? 为 f ?x ? 与 g ?x ? 的较大者. 令 f ?x ? ? g ?x ? ,即 解得 1 ? x ? 32

90 50 ? , x 50 ? x

1 . 7

所以,当 1 ? x ? 32 时, f ?x ? ? g ?x ? ;当 33 ? x ? 49 时, f ?x ? ? g ?x ? .

? 90 ? x , 故 h?x ? ? ? 50 ? , ? 50 ? x

?x ? N ,1 ? x ? 32? . ?x ? N ,33 ? x ? 49?
* *

90 ? 0 ,故 h?x ? 在 ?1, 32? 上单调递减, x2 90 45 ? 则 h?x ? 在 ?1,32? 上的最小值为 h?32 ? ? (小时) ; 32 16
' 当 1 ? x ? 32 时, h ? x ? ? ?

' 当 33 ? x ? 49 时, h ?x ? ?

?50 ? x ?2

50

? 0 ,故 h?x ? 在 ?33, 49? 上单调递增,
50 50 ? (小时) ; 50 ? 33 17

则 h?x ? 在 ?33, 49? 上的最小值为 h?33 ? ?

? h?33? ? h?32? ,

? h?x ? 在 ?1, 49?上的最小值为 h?32? .
? x ? 32 .
答:为了在最短时间内完成生产任务, x 应取 32 .
9

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查数列的通项公式、数列前 n 项和、不等式等基础知识,考查化归与转化、分类 与整合、特殊与一般的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力) (1)证法 1: ∵ a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0 (n ? N * ) 的两根,

?a n ? a n ?1 ? 2 n , ∴? ? bn ? a n a n ?1 .
由 an ? an?1 ? 2 n ,得 a n ?1 ?

1 n ?1 1 ? ? ? 2 ? ?? a n ? ? 2 n ? , 3 3 ? ?

故数列 ?a n ?

? ?

2 1 1 n? ? 2 ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ? 1 的等比数列. 3 3 3 ?
*

证法 2: ∵ a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0 (n ? N ) 的两根,

?a n ? a n ?1 ? 2 n , ∴? ? bn ? a n a n ?1 .

1 ? n ? 1 1 a n?1 ? ? 2 n?1 2 n ? a n ? ? 2 n?1 ? ? a n ? ? 2 ? 3 ? ? ?1 3 3 ? ? ∵ , ? 1 1 1 an ? ? 2 n an ? ? 2 n an ? ? 2 n 3 3 3
故数列 ?a n ?

? ?

2 1 1 n? ? 2 ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ? 1 的等比数列. 3 3 3 ?

(2)解: 由(1)得 a n ? ∴ bn ? a n a n ?1

?

1 2 n ?1 n 2 ? ?? 2 ? ? 1 . 9

?

1 n 1 1 n ?1 n ? 2 ? ? ?? 1? , 即 a n ? 2 n ? ?? 1? . 3 3 3 1 n n n ?1 ? 2 ? ?? 1? ? 2 n ?1 ? ?? 1? 9

?

?

?

??

?

?

∴ S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

?

1 2 n 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? ?? 1? ? ?? 1? ? ? ? ?? 1? 3

??

? ?

??

?

?? 1?n ? 1? . 1 ? n ?1 2 ?2? ? ? 3? 2 ?
*

要使 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N 都成立,

10



?? 1?n ? 1? ? 0 (*)对任意 N * 都成立. 1 2 n ?1 ?? n 2 ? ?? 2 ? ? 1 ? ?2 n ?1 ? 2 ? n? ? 9 3? 2 ?

?

?

① 当 n 为正奇数时, 由(*)式得 即

1 n ?1 ? 2 ? 1 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 1 ? 0 , 9 3

? 1 2 n ?1 2 ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 1 ? 0 , 3 9

?

?

?

?

?

??

?

?

?

∵2 ∴? ?

n ?1

?1 ? 0 ,

1 n 2 ? 1 对任意正奇数 n 都成立. 3 1 n 2 ? 1 有最小值 1 . 当且仅当 n ? 1 时, 3 ∴ ? ? 1.

?

?

?

?

② 当 n 为正偶数时, 由(*)式得 即

1 n ?1 2? n 2 ? 1 2n ?1 ? 2 ?1 ? 0 , 9 3

1 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 ? 0 , 9 3

?

?

?

?

?

?? ?

?

?

?

∵ 2 ?1 ? 0 ,
n

1 n ?1 2 ? 1 对任意正偶数 n 都成立. 6 1 n ?1 3 2 ? 1 有最小值 . 当且仅当 n ? 2 时, 6 2 3 ∴? ? . 2
∴? ?

?

?

?

* 综上所述, 存在常数 ? ,使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N 都成立, ? 的取值范围是 ?? ?, 1? .

11


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