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2014—2015学年度下学期期末考试高一年级数学科试卷


2014—2015 学年度下学期期末考试高一年级数学科试卷
命题学校:辽宁省实验中学 命题人:刘铭 王清礼
考试时间:120 分钟 满分:150 分

注意事项: 1. 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必 将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)sin 210° +cos 300° = (A)—1 (B)0 (C)1 (D) 3 ( (C)3 (D)4 ( ) ) ( )

1 (2)已知 tan α= ,则 tan(45° +α)= 2 (A)1 (B)2

(3)下列叙述中错误 的是: .. (A)如果事件 A 与事件 B 对立,则 P(A)+P(B)=1 (B)如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=1 (C)如果事件 A 包含于事件 B,则 P(A) ≤ P(B) (D)如果事件 A 与事件 B 相等,则 P(A)=P(B) (4)现有一组数据:

17.7,16.3,14.6,18.7,17.9,12.0,15.3,14.6,14.0,18.9,21.0,18.1 某同学借助计算机对这组数据进行统计学分析. 在数据录入的过程中该同学不慎将某 一数据的小数点遗漏(例如将数据 17.9 录入为 179). 则有误数据的计算结果,与正 确数据的计算结果可能相同的是 (A)平均数 (B)标准差 (C)极差 ( (D)中位数 ( (D)2 ) )

(5)已知 a=(1, 3),b=(x, 2),c=(1, 2),若(2a+b)∥c,则 x= (A)—1 (B)0 (C)1

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(6)已知平面向量| a |=1,| b |=2,且 a⊥(a-b),则| 2a+b |的值是 (A)—1 (B)0 (C)1 开始 n=1, S=1 否 S= 1 (D)2





(7)根据程序框图(左图)写出程序(右图) , 则程序中横线处所缺少的语句及运行的 结果是 ( )

n≤5? 是 (A)for n=1 : 1 : 5 和 120 (B)for n=1 : 1 : 5 和 720 (C)while n=1 : 1 : 5 和 120 (D)while n=1 : 1 : 5 和 720 n=n+1 S=S×n

S= S * n ; end S

输出 S 结束

(8)设曲线 y=sin x(0 ≤ x ≤ π)与线段 y=0(0 ≤ x ≤ π)所围成区域的面积 为 S(左图). 我们可以用随机模拟 的方法估计 S 的值,进行随机模拟 的程序框图如下. S 表示估计结果, 则图中空白框内应填入 ( )

开始 M=0, N=0, i=1 产生 0-1 之间的两个随机数分别赋值给 xi, yi 否 是 M=M+1 i=i+1 否 N=N+1

i>1000 是 M S= π 1000 输出 S 结束

(A)yi ≤ sin xi (B)yi ≥ sin xi (C)yi ≤ sin (πxi) (D)yi ≥ sin (πxi)

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π (9)将函数 y=sin (2x+ )的图像的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后再向右平 4 π 移 个单位长度,则所得图像的函数解析式是 6 π (A)y=sin (x+ ) 12 5π (C)y=sin (4x+ ) 12 7π (B)y=sin (x+ ) 12 π (D)y=sin (4x+ ) 12 ( )

2π (10)函数 f(x)=2sin (ωx+φ)(ω>0,0 ≤ φ<2π)的部分图像如图所示,点 P( , 0)是该图 9 像与 x 轴的一个交点,点 Q(0, π (A)f(x)=2sin (3x+ ) 3 2π (B)f(x)=2sin (3x+ ) 3 15 π (C)f(x)=2sin ( x+ ) 2 3 15 2π (D)f(x)=2sin ( x+ ) 2 3 (11)设函数 f(x)的定义域为 A. 若函数 f(x)满足: (i)A={x | x≠2k-1, k∈Z}; (ii)函数 f(x) 1 是奇函数; (iii)对任意 x∈A,有 f(x+1)=- . 则下面关于函数 f(x)的叙述中错误 .. f(x) 的是 (A)函数 f(x)是周期函数,且最小正周期是 2 (B)函数 f(x)的图像关于点(1, 0)中心对称 (C)函数 f(x)在区间(0, 1)上是增函数 (D)函数 f(x)的零点是 x=2k(其中 k∈Z) (12)已知点 O 是△ABC 所在平面内一点,且点 O 不在△ABC 三边所在直线上. 设点 P 满 → =λ OA → +λ OB → +λ OC → (其中 λ ∈R,i=1, 2, 3) 足OP ,则下列叙述中正确的个数是 1 2 3 i ①当 λ1=1 且 λ2=λ3=0 时,点 P 与点 A 重合; ②当 λ1+λ2=1 且 λ3=0 时,点 P 在直线 AB 上; ③当 λ1+λ2+λ3=1 且 λi>0(其中 i=1, 2, 3)时,点 P 在△ABC 内. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 ( ) ( ) 3)是该图像与 y 轴的交点,则 ( )

y Q x

O P

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第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)为了了解 2400 名学生的学习情况,计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量 为 50 的样本,则分段间隔为 .

(14)有一个容量为 200 的样本,样本数据分组为[50, 70),[70, 90),[90, 110),[110, 130), [130, 150],其频率分布直方图如图所示. 根据样本的频率分布直方图估计样本数据 落在区间[90, 110)内的频数为 .

a 0.0125 0.0100 0.0075 0.0050 0.0025 O

频率 组距

d

r

50 70 90 110 130 150 样本数据 第(14)题图 第(15)题图

(15)在一平面上画有一组间距为 d 的平行线. 现将一个质地均匀、半径为 r(2r<d)的圆 形硬币随机地投掷到这个平面上, 如图. 则此硬币与任何一条平行线都不相交 的概率 ... 是 .

(16)设△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,下列有关等边三角形的四 项叙述: a b c ①若 = = ,则△ABC 是等边三角形; sin A sin B sin C a b c ②若 = = ,则△ABC 是等边三角形; cos A cos B cos C a b c ③若 = = ,则△ABC 是等边三角形; tan A tan B tan C a b c ④若 = = ,则△ABC 是等边三角形. A B C 其中,正确叙述的序号是 .

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤. (17) (本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=(sin x-cos x)2-cos 2x(x∈R). (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; π (Ⅱ)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. 2 (18) (本小题满分 12 分) 设锐角△ABC 内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c. 已知 2a sin B= 3b. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a= 7,b=2,求 cos C. (19) (本小题满分 12 分) 某同学为研究 G 地区年降水量(单位:毫米)对粮食单产(单位:公斤/公顷)的影 响,对 2004 年至 2014 年的降水量 xi 和粮食单产 yi(i=1, 2, 3, …, 11)数据作了调 查,相应数据如下:
2004 年 份 降水量 1455 (毫米) 单 产 4118 (公斤/ 公顷) 2005 1616 4070 2006 1816 4132 2007 1627 4144 2008 1523 4228 2009 1280 4180 2010 1803 4150 2011 1822 4180 2012 1368 4222 2013 1323 3983 2014 1488 4391

(Ⅰ)画出散点图; y 4400 4300 4200 4100 4000 3900 O 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 x

(Ⅱ)该同学对以上数据作了初步处理,得到下面一些统计量的值: - - x =1556, y =4163,

?

11

(xi-- x )2≈3.90×105,

x )(y -- y )≈-6.28×10 , ?(x --
i i 2

11

i=1

i=1

^保留两位有效数字, 请根据这些数据, 建立 y 关于 x 的回归直线方程 (其中b ^保留四位有效数字) a ; (Ⅲ)气象局预计 2015 年 G 地区年降水量为 1700—1800 毫米,请由(Ⅱ)的结论 估计 2015 年 G 地区的粮食单产 y(单位:公斤/公顷) ,并给出 G 地区年降水 量 x(单位:毫米)对粮食单产 y(单位:公斤/公顷)影响的统计学结论.

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^ +a ^的斜率和截 附:对于一组数据(x1, y1),(x2, y2),……,(xn, yn),其回归直线^ y=bx 距的最小二乘估计分别为: x )(y -- y) ?(x --
i i

n

^=i=1 b

x) ?(x --
i

n

^ =- ^- ,a y -b x.

2

i=1

(20) (本小题满分 12 分) 某校为了解甲乙两班学生英语考试成绩,在甲乙两班分别随机抽取 10 名同学,记录 他们的英语考试成绩(单位:分) ,获得数据如下: 甲班:129,118,133,125,119,126,124,130,127,121 乙班:133,124,126,119,134,128,126,133,125,132 (Ⅰ)根据两组数据完成两班英语考试成绩的茎叶图,并根据茎叶图判断哪个班的 平均成绩较高(不要求计算出具体值,得出结论即可) ; (Ⅱ)由这 20 名同学中成绩高于 ..129 分的同学组成一个小组;从该小组中任取 2 名 同学,求他们的英语成绩之差大于 ..1 分的概率. 甲 乙 13 12 11 (21) (本小题满分 12 分) 如图,勘探队员朝一座山行进,在前后两处 A,B 观察塔尖 P 及山顶 Q. 已知 A,B, O 在同一水平面,P,Q,A,B,O 在同一平面且与水平面垂直. 设塔高 PQ=h,山高 QO=H,AB=m,BO=n,仰角∠PAO=α,仰角∠QAO=β, 仰角∠PBO=θ.

(Ⅰ)试用 m,α,β,θ 表示 h; (Ⅱ)设仰角∠QBO=ω. 写出(不必说明理由)用 m,α,θ,ω 表示 h 的代数式. (22) (本小题满分 12 分) 1+sin2 x+sin x-1 已知函数 f(x)= ,其中 x∈R. 1+sin2 x+sin x+1 (Ⅰ)证明:2π 是函数 f(x)的周期; (Ⅱ)①指出并证明函数 f(x)的奇偶性; ②写出(不必说明理由)函数 y=f(x)图像的一条对称轴; (Ⅲ)求函数 f(x)的值域.

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