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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:8.1 直线的倾斜角与斜率、直线方程

第八章

第1讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 保定模拟]已知直线 l1:y=x,若直线 l2⊥l1,则直线 l2 的倾斜角为( A. C. π 4 3π 4 π B. kπ+ (k∈Z) 4 3π D. kπ+ (k∈Z) 4 )

答案:C 解析:∵l1⊥l2,∴k2=-1. 3 故倾斜角为 π. 4 3π 2. [2013· 东北三校联考]经过两点 A(4,2y+1), -3)的直线的倾斜角为 , y=( B(2, 则 4 A. -1 C. 0 答案:B 2y+1-?-3? 2y+4 解析:由 = =y+2, 2 4-2 3π 得 y+2=tan =-1.∴y=-3. 4 3. [2013· 孝感统考]直线 x+a2y-a=0(a>0,a 是常数),当此直线在 x,y 轴上的截距之 和最小时,a 的值是( A. 1 C. 2 ) B. 2 D. 0 B. -3 D. 2 )

答案:A x y 1 1 解析:方程可化为 + =1,因为 a>0,所以截距之和 t=a+ ≥2,当且仅当 a= ,即 a 1 a a a a=1 时取等号. 4. 不论 m 为何实数,直线 3(m-1)x+2(m+1)y-12=0 恒过定点( 1 A. (1,- ) 2 C. (-2,3) 答案:C B. (2,3) D. (2,0) )

解析:解法一:原方程化为(3x+2y)m+(-3x+2y-12)=0,
?3x+2y=0 ? ∵恒成立,∴? ,解得 x=-2,y=3. ? ?-3x+2y-12=0

∴直线恒过定点(-2,3). 解法二:令 m=1,得 4y-12=0,令 m=-1,得-6x-12=0, ∴x=-2,y=3,代入方程成立. ∴直线恒过(-2,3)点. 故应选 C. 5. [2013· 合肥质检]直线 x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( π A. [0, ] 4 π π C. [0, ]∪( ,π) 4 2 答案:B 1 3π 解析:斜率 k=- 2 ,故 k∈[-1,0),由正切函数图象知倾斜角 α∈[ ,π). 4 a +1 6. [2013· 太原模考]设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 3,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程是( A. x+y-5=0 C. x-2y+4=0 答案:D 解析:由|PA|=|PB|知点 P 在 AB 的垂直平分线上.由点 P 的横坐标为 3,且 PA 的方程 为 x-y+1=0,得 P(3,4).直线 PA、PB 关于直线 x=3 对称,直线 PA 上的点(0,1)关于直线 x=3 的对称点(6,1)在直线 PB 上,∴直线 PB 的方程为 x+y-7=0. 二、填空题 7. [2013· 常州模 拟]过 点 P(-2,3)且在两 坐标轴上的截 距相等的直 线 l 的方程 为 ________. 答案:x+y-1=0 或 3x+2y=0 3 解析:分两种情况:(1)直线 l 过原点时,l 的斜率为- , 2 3 x y ∴直线方程为 y=- x;(2)l 不过原点时,设方程为 + =1,将 x=-2,y=3 代入得 a 2 a a =1,∴直线方程为 x+y=1. 综上:l 的方程为 x+y-1=0 或 2y+3x=0. 8. 经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为 1 的直线 l 的方程为________. 答案:2x+y+2=0 或 x+2y-2=0 ) B. 2x-y-1=0 D. x+y-7=0 3π B. [ ,π) 4 π π 3π D. [ , )∪[ ,π) 4 2 4 )

x y 解析:设所求直线方程为 + =1, a b

?-a+b=1, 由已知可得? 1 ?2|a||b|=1,
2 2
?a=-1 ?a=2, ? ? 解得? 或? , ? ? ?b=-2 ?b=1.

∴2x+y+2=0 或 x+2y-2=0 为所求. 9. [2013· 苏州模拟]直线 xcosθ+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是________. π 5 答案:[0, ]∪[ π,π) 6 6 解析:由题知 k=- 3 3 3 3 cosθ,故 k∈[- , ],结合正切函数的图象,当 k∈[0, ] 3 3 3 3

π 3 5 时,直线倾斜角 α∈[0, ],当 k∈[- ,0)时,直线倾斜角 α∈[ π,π),故直线的倾斜角 6 3 6 π 5 的范围是[0, ]∪[ π,π). 6 6 三、解答题 10. [2013· 宁夏银川]设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零,∴a=2,方程即为 3x+y =0. 当直线不经过原点时,截距存在且均不为 0, ∴ a-2 =a-2,即 a+1=1. a+1

∴a=0,方程即为 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2,
? ? ?-?a+1?>0, ?-?a+1?=0, ∴? 或? ∴a≤-1. ? ? ?a-2≤0 ?a-2≤0,

综上可知 a 的取值范围是 a≤-1. 11. △ABC 的三个顶点为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC 所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 边上的垂直平分线 DE 的方程. 解析:结合所给条件,选择恰当的直线方程并求解.

y-1 x-2 解: (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点, 由两点式得 BC 的方程为 = , 3-1 -2-2 即 x+2y-4=0. (2)设 BC 中点 D 的坐标(x,y),则 2-2 1+3 x= =0,y= =2. 2 2 x y BC 边的中线 AD 过 A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得 AD 所在直线方程为 + =1, 2 -3 即 2x-3y+6=0. 1 (3)BC 的斜率 k1=- ,则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2,由斜截式得直线 DE 的 2 方程为 y=2x+2. 12.[2013· 湖南四市联考]过点 A(3,-1)作直线 l 交 x 轴于点 B,交直线 l1:y=2x 于点 C,若|BC|=2|AB|,求直线 l 的方程. 解:当 k 不存在时 B(3,0),C(3,6). 此时|BC|=6,|AB|=1,|BC|≠2|AB|.

∴直线 l 的斜率存在. ∴设直线 l 的方程为 y+1=k(x-3). 1 令 y=0,得 B(3+ ,0). k
?y=2x, ? 1+3k 由? 得 C 点横坐标 xC= . k-2 ? ?y+1=k?x-3?,

若|BC|=2|AB|,则|xB-xC|=2|xA-xB|. 1+3k 1 1 ∴| - -3|=2| |. k k-2 k ∴ 1+3k 1 2 1+3k 1 2 - -3= 或 - -3=- , k k-2 k k k-2 k

3 1 解得 k=- 或 k= . 2 4 ∴所求直线 l 的方程为:3x+2y-7=0 或 x-4y-7=0.


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