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走向高考·二轮数学专题限时检测2


专题限时检测二
时间:60 分钟 满分:100 分

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分;在每小题给出四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (文)已知角 θ 的顶点为坐标原点, 始边为 x 轴的正半轴, 若 P(x,2)是角 θ 终边上一点, 3 13 且 cosθ= ,则 x 的值为( 13 A.± 3 C.3 [答案] C [解析] P 到 原 点 的 距 离 |PO| = x2+4 , 由 三 角 函 数 的 定 义 及 题 设 条 件 得 , ) B.-3 D.± 13

x 3 13 ? ? 2 = 13 , ? x +4 解之得 x=3. ? ?x>0, (理)(2013· 重庆一中月考)已知倾斜角为 α 的直线 l 与直线 x-2y+2=0 平行,则 tan2α 的值为( 4 A. 5 4 C. 3 [答案] C 1 2tanα 4 [解析] ∵tanα= ,∴tan2α= = . 2 1-tan2α 3 π 3π 2.(文)(2013· 榆林一中模拟)下列函数中,周期为 π,且在区间[ , ]上单调递增的函数 4 4 是( ) A.y=sin2x C.y=-sin2x [答案] C π (理)已知 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a、b∈R,ab≠0,若 f(x)≤|f( )|对一切 x∈R 恒成 6 π 立,且 f( )>0,则 f(x)的单调递增区间是( 2 π π A.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 ) B.y=cos2x D.y=-cos2x ) 3 B. 4 2 D. 3

π 2π B.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 π C.[kπ,kπ+ ](k∈Z) 2 π D.[kπ- ,kπ](k∈Z) 2 [答案] B π π π [解析] 用淘汰法求解.由条件 f(x)≤|f( )|知 x= 时 f(x)取得最大值或最小值,故 kπ+ 6 6 6 π 为单调区间的一个端点,排除 C、D,又当单调区间为 A 时,应有 f( )<0,排除 A,∴选 B. 2 3.(文)(2013· 海淀区期中)若向量 a、b 满足|a|=|b|=|a+b|=1,则 a· b 的值为( 1 A.- 2 C.-1 [答案] A [解析] ∵|a|=|b|=|a+b|,∴〈a,b〉=120° , 1 ∴a· b=1×1×cos120° =- . 2 π π (理)函数 y=tan( x- )(0<x<4)的图象如图所示,A 为图象与 x 轴的交点,过点 A 的直线 4 2 → → → l 与函数的图象交于 B、C 两点,则(OB+OC)· OA等于( ) 1 B. 2 D.1 )

A.-8 B.-4 C.4 D.8 [答案] D → [解析] A 点坐标为(2,0),即OA=(2,0), π π 由 y=tan( x- )的图象的对称性知 A 是 BC 的中点. 4 2 → → → ∴OB+OC=2OA, → → → → → ∴(OB+OC)· OA=2OA· OA

→ =2×|OA|2=8.故选 D. π 4.(文)(2013· 天津六校联考)若把函数 y=sinωx 的图象向左平移 个单位,则与函数 y= 3 cosωx 的图象重合,则 ω 的值可能是( 1 A. 3 2 C. 3 [答案] B T π 4π [答案] 由条件知, = ,∴T= , 4 3 3 2π 3 又 T= ,∴ω= . ω 2 π π (理)(2013· 苍南求知中学月考)函数 y=cos2(2x- )的图象向左平移 个单位,所得的图象 3 6 对应的函数是( ) ) 3 B. 2 1 D. 2

A.值域为[0,2]的奇函数 B.值域为[0,1]的奇函数 C.值域为[0,2]的偶函数 D.值域为[0,1]的偶函数 [答案] D 2π 1+cos?4x- ? 3 π π 1 1 [解析] y=cos2(2x- )= , 左移 个单位后为 y= + cos4x 为偶函数, 值 3 2 6 2 2 域为[0,1],故选 D. 5.(文)(2014· 衡水中学 5 月模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π)图象的一部 分(如图所示),则 ω 与 φ 的值分别为( )

11 5π A. ,- 10 6 7 π C. ,- 10 6 [答案] B

2π B.1,- 3 4 π D. ,- 5 3

[解析]

由图象知,T>

5π 3T 5π 5π 20π 2π 9 6 , < ,∴ <T< ,∵T= ,∴ <ω< ,排除 C、D; 3 4 3 3 9 ω 10 5

1 5π 1 5π 又 f(0)=2sinφ<-1,∴sinφ<- ,但 sin(- )=- ,∴φ≠- ,排除 A,故选 B. 2 6 2 6 π (理)已知 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ )在区间[0,1]上是单调函数,其图象过点 P1(-1,0), 2 P2(0,1),则此函数的最小正周期 T 及 φ 的值分别是( π A.T=4,φ= 2 π C.T=4π,φ= 2 [答案] A [解析] ∵f(x)的图象过 P1(-1,0)和 P2(0,1),若 f(x)在[0,1]上单调递增,则周期 T≥4[1 π π -(-1)]=8,与选项不符,∴f(x)在[0,1]上单调递减,∴T=4,ω= ,∴f(x)=sin( x+φ), 2 2 π π π π π 又 f(-1)=0,f(0)=1,|φ|≤ ,∴φ= ,∴f(x)=sin( x+ )=cos x,符合题意,故选 A. 2 2 2 2 2 → → → 6.(文)已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边 BC 上的动点,则AP· (AB+AC)( A.最大值为 8 C.最小值为 2 [答案] B → → → → [解析] 如图,∵AB+AC=AD=2AO,△ABC 为正三角形, → → ∴四边形 ABDC 为菱形,BC⊥AO,∴AP在向量AD上的投影为 → → → → → → → AO,又|AO|= 3,∴AP· (AB+AC)=|AO|· |AD|=6,故选 B. (理)(2013· 榆林一中模拟)如图,已知△ABC 中,点 M 在线段 AC 上,点 P 在线段 BM 上 AM MP → → → → 且满足 = =2,若|AB|=2,|AC|=3,∠BAC=120° ,则AP· BC的值为( MC PB ) B.是定值 6 D.与 P 的位置有关 ) )

B.T=4,φ=1 D.T=4π,φ=-1

A.-2 2 C. 3 [答案] A

B.2 11 D.- 3

→ 2→ → 1 → → → [解析] 由条件知AM= AC,BP= BM,AB· AC=2×3cos120° =-3, 3 3

→ → → → → → 1→ → ∴AP· BC=(AB+BP)· BC=(AB+ BM)· BC 3 → 1 → 1→ → =(AB+ AM- AB)· BC 3 3 2→ 1 2 → → =( AB+ ·AC)· BC 3 33 2→ 2 → → → =( AB+ AC)· (AC-AB) 3 9 4→ → 2 → 2 2 → 2 = AB· AC- |AB| + |AC| =-2. 9 3 9 7. (2013· 新课标Ⅰ文, 10)已知锐角△ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a, b, c,23cos2A +cos2A=0,a=7,c=6,则 b=( A.10 C.8 [答案] D [解析] 本题考查了倍角公式、余弦定理.由倍角公式得 23cos2A+cos2A=25 cos2A-1 1 1 =0,cos2A= ,△ABC 为锐角三角形 cosA= ,由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2 25 5 12 - b-13=0,即 5b2-12b-65=0,解方程得 b=5. 5 x2 8.(文)设 F1、F2 是椭圆 +y2=1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,当△F1PF2 的面积为 1 4 → → 时,PF1· PF2的值为( A.0 1 C. 2 [答案] A [解析] 设 P(x,y),F1(- 3,0),F2( 3,0), → → 则PF1· PF2=(- 3-x,-y)· ( 3-x,-y)=x2+y2-3. 1 → 1 ∵△F1PF2 的面积 S= |F1F2||y|= · 2 3· |y|= 3|y|=1, 2 2 1 ∴y2= .由于点 P 在椭圆上, 3 x2 8 ∴ +y2=1.∴x2= . 4 3 8 1 → → ∴PF1· PF2=x2+y2-3= + -3=0.故选 A. 3 3 x2 y2 (理)(2013· 内江市模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F(c,0)是右焦点,经过坐标原点 O 的 a b ) B.1 D.2 ) B.9 D.5

→ → → → → → 直线 l 与椭圆交于点 A、 B, 且FA· FB=0, |OA-OB|=2|OA-OF|, 则该椭圆的离心率为( A. 2 2 B. 3 2

)

C. 2-1 [答案] D

D. 3-1

→ → → → → → → → → → [解析] ∵|OA-OB|=|AB|,|OA-OF|=|AF|,且|OA-OB|=2|OA-OF|, →→ ∴AB=2AF,∵FA· FB=0,∴FA⊥FB,

c 3 ∴OF=OA=AF,∴A( ,- c)在椭圆上, 2 2 ∴ ∴ c2 3c2 + =1, 4a2 4b2 c2 3c2 1 3 =1,∴ e2+ =1, 2+ 2 4a 4a -4c2 4 4 2-4 e

∵0<e<1,∴e= 3-1. 二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分,将答案填写在题中横线上.) cosA 9. (文)(2013· 北京西城一模)在△ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c, 且 cosB b 3 = = .若 c=10,则△ABC 的面积是________. a 4 [答案] 24 cosA b [解析] 由 = 得 acosA=bcosB, cosB a 由正弦定理得 sin2A=sin2B, 由 cosA 3 = 知 A≠B,∴2A=π-2B, cosB 4

π π ∴A+B= ,∴C= , 2 2 b 3 1 又 = ,c=10,∴b=6,a=8,S= ab=24. a 4 2 (理)(2013· 江西八校联考)已知函数 f(x)=cosxsinx,给出下列四个结论: ①若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2;

②f(x)的最小正周期是 2π; π π ③f(x)在区间[- , ]上是增函数; 4 4 3π ④f(x)的图象关于直线 x= 对称. 4 其中正确的结论是________. [答案] ③④ 1 kπ π 3π [解析] f(x)= sin2x 最小正周期 T=π,对称轴 x= + ,k∈Z,令 k=1 得 x= ;由 2 2 4 4 π π π π π π 2kπ- ≤2x≤2kπ+ 得,kπ- ≤x≤kπ+ ,取 k=0 知,f(x)在区间[- , ]上为增函数,f(x) 2 2 4 4 4 4 为奇函数,当 x1=-x2 时,有 f(x1)=f(-x2)=-f(x2),但 f(x1)=-f(x2)时,由周期性知不一 定有 x1=-x2,故正确选项为③④. 10.(文)关于平面向量 a、b、c,有下列四个命题: ①若 a∥b,a≠0,则?λ∈R,使 b=λa; ②若 a· b=0,则 a=0 或 b=0; ③存在不全为零的实数 λ,μ,使得 c=λa+μb; ④若 a· b=a· c,则 a⊥(b-c). 其中正确的命题序号是________. [答案] ①④ [解析] 逐个判断.由向量共线定理知①正确;若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 或 a⊥b,所 以②错误;在 a,b 能够作为基底时,对平面上任意向量,存在实数 λ,μ 使得 c=λa+μb, 所以③错误;若 a· b=a· c,则 a· (b-c)=0,所以 a⊥(b-c),所以④正确.故正确命题序号 是①④. (理)(2013· 重庆一中月考)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 → → → → → AP=2PM,则PA· (PB+PC)等于________. 4 [答案] - 9 → → → 2 → 1 [解析] AM=1,AP=2PM,∴|PA|= ,|PM|= , 3 3 2 1 4 → → → → → ∴PA· (PB+PC)=PA· (2PM)=-2× × =- . 3 3 9 三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 4 11.(本小题满分 13 分)(文)(2013· 天津六校联考)△ABC 中,已知 A=45° ,cosB= . 5 (1)求 sinC 的值; (2)若 BC=10,D 为 AB 的中点,求 AB、CD 的长.

4 [解析] (1)∵三角形中,cosB= ,所以 B 为锐角, 5 3 ∴sinB= 5 所以 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB = 7 2 . 10

AB BC (2)三角形 ABC 中,由正弦定理得 = , sinC sinA ∴AB=14, 又 D 为 AB 中点,所以 BD=7, 在三角形 BCD 中,由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC· BD· cosB=37,∴CD= 37. (理)(2014· 海南六校联盟二模)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.已知 b(cosA-2cosC)=(2c-a)cosB. c (1)求 的值; a 1 (2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b. 4 [解析] (1)在△ABC 中,有 a b c = = =2R, sinA sinB sinC

又 b(cosA-2cosC)=(2c-a)cosB,则 sinB(cosA-2cosC)=2(sinC-sinA)cosB, 即 sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB, c ∴sin(A+B)=2sin(B+C)?sinC=2sinA? =2.(也可用余弦定理求解) a c (2)由(1) =2?c=2a,又 a+b+c=5,∴b=5-3a. a 由余弦定理得:b2=c2+a2-2accosB, 1 ∴(5-3a)2=(2a)2+a2-4a2× ?a=1,或 a=5, 4 当 a=1?b=2,当 a=5 与 a+b+c=5 矛盾.故 b=2. 12 . ( 本 小 题 满 分 13 分 )( 文 )(2013· 德 阳 市 二 诊 ) 函 数 f(x) = sinωxcosφ - π π cosωxsinφ(ω>0,0<φ<π)的图象过点( ,0),且相邻两条对称轴间的距离为 . 6 2 (1)求 f(x)的表达式; 1 1 (2)试求函数 y=f 2( x)+ 的单调增区间. 2 2 [解析] (1)由题意 y=sin(ωx-φ),

π ∵相邻两条对称轴间的距离为 , 2 2π ∴T=π= ,∴ω=2, ω 故 f(x)=sin(2x-φ), π 又 y=f(x)的图象过点( ,0), 6 π ∴2× -φ=kπ,k∈Z, 6 π ∴φ= -kπ,k∈Z, 3 π 又 0<φ<π,∴φ= , 3 π f(x)=sin(2x- ). 3 1 1 π 1 (2)y=f 2( x)+ =sin2(x- )+ 2 2 3 2 2π 1-cos?2x- ? 3 1 1 2π = + =1- cos(2x- ), 2 2 2 3 2π 由 2kπ≤2x- ≤2kπ+π, 3 π 5π 解之得 kπ+ ≤x≤kπ+ , 3 6 1 1 π 5π ∴y=f 2( x)+ 的增区间为[kπ+ ,kπ+ ],(k∈Z). 2 2 3 6 3π (理)(2013· 西城二模)已知函数 f(x)=sinx+acosx 的一个零点是 . 4 (1)求实数 a 的值; (2)设 g(x)=[f(x)]2-2sin2x,求 g(x)的单调递增区间. 3π [解析] (1)依题意,得 f( )=0, 4 ∴sin 3π 3π 2 2a +acos = - =0, 4 4 2 2

∴a=1. (2)由(1)得 f(x)=sinx+cosx, ∴g(x)=[f(x)]2-2sin2x =(sinx+cosx)2-2sin2x π =sin2x+cos2x= 2sin(2x+ ). 4 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ 得, 2 4 2

kπ-

3π π ≤x≤kπ+ ,k∈Z 8 8

3π π ∴g(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 8 8 13. (本小题满分 14 分)(文)(2013· 江西八校联考)如图, D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点, AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.

(1)证明:sinα+cos2β=0; (2)若 AC= 3DC,求 β. [解析] (1)证明:∵AB=AD,∠ABC=β,∠CAD=α, π ∴2β= +α, 2 π ∴sinα+cos2β=sinα+cos( +α)=sinα-sinα=0. 2 (2)在△ABC 中, ∵AC= 3DC,∴sinβ= 3sinα, ∴sinβ= 3sinα=- 3cos2β=2 3sin2β- 3. π 3 ∵β∈(0, ),∴sinβ= , 2 2 π ∴β= . 3 2 3 (理)(2013· 江西八校联考)已知向量 a=(sinωx,2cosωx),b=(cosωx,- cosωx)(ω>0), 3 π 函数 f(x)=a· ( 3b+a)-1,且函数 f(x)的最小正周期为 . 2 (1)求 ω 的值; (2)设△ABC 的三边 a、b、c 满足:b2=ac,且边 b 所对的角为 x,若方程 f(x)=k 有两个 不同的实数解,求实数 k 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)=a· ( 3b+a)-1 =(sinωx,2cosωx)· (sinωx+ 3cosωx,0)-1 = 3 1 1 sin2ωx- cos2ωx- 2 2 2

π 1 =sin(2ωx- )- . 6 2 2π π ∵T= = ,∴ω=2. 2ω 2 π 1 (2)由(1)知,f(x)=sin(4x- )- , 6 2 a2+c2-b2 2ac-ac 1 ∵在△ABC 中,cosx= ≥ = , 2ac 2ac 2 π π π 7π ∴0<x≤ ,∴- <4x- ≤ . 3 6 6 6 π 1 1 ∴f(x)=sin(4x- )- =k 有两个不同的实数解时,k 的取值范围是(-1, ). 6 2 2

一、选择题 5π 1.(文)(2013· 天津十二区县联考)将函数 y=cos(x- )的图象上所有点的横坐标伸长到 6 π 原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移 个单位,则所得函数图象对应的解析式 3 是( ) x π A.y=cos( - ) 2 4 C.y=sin2x [答案] D 5π 各点横坐标 1 5π 向左平移 x 2π [解析] y=cos(x- )伸长到原来的 ― ― → 2倍y=cos( x- ) π ― ― → y=cos( - ). 6 2 6 3个单位 2 3 π (理)(2013· 眉山市二诊)将函数 y=cos(x+ )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 3 π 坐标不变),再向左平移 个单位,所得函数的最小正周期为( 6 A.π C.4π [答案] C π 各点的横坐标 x π 向左平移 x 5π [解析] y=cos(x+ )伸长到原来的 ― ― → 2倍y=cos( + ) π ― ― → y=cos( + ). 3 2 3 6个单位 2 12 2π ∴最小正周期为 T= =4π. 1 2 2.已知向量|a|=2,|b|=3,a、b 的夹角为 120° ,那么|a-b|等于( A.19 B. 19 ) B.2π D.8π ) π B.y=cos(2x- ) 6 x 2π D.y=cos( - ) 2 3

C.7 [答案] B [解析]

D. 7

∵|a|=2,|b|=3, 〈a,b〉=120° ,∴a· b=|a|· |b|· cos120° =-3,∴|a-b|2=|a|2

+|b|2-2· a· b=4+9-2×(-3)=19,∴|a-b|= 19. 5 3 3.(文)在△ABC 中,已知 cosA= ,sinB= ,则 cosC 的值为( 13 5 16 A. 65 16 56 C. 或 65 65 [答案] A 5 12 3 [解析] 由 cosA= >0 得 A 为锐角,且 sinA= ,sinB= ,sinA>sinB,因此 B 为锐角, 13 13 5 4 16 于是 cosB= ,cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB= ,选 A. 5 65 (理)在△ABC 中,若 2cosB· sinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 [答案] C [解析] 解法 1:∵C=π-(A+B), ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2cosBsinA. ∴sinAcosB-cosAsinB=0,即 sin(A-B)=0. ∵-π<A-B<π,∴A-B=0,即 A=B. 解法 2:由正弦定理 sinA= a2+c2-b2 a c ,sinC= ,cosB= , 2R 2R 2ac B.直角三角形 D.等边三角形 ) 56 B. 65 16 56 D.- 或 65 65 )

a2+c2-b2 a c 代入条件式得 2· · = , 2ac 2R 2R ∴a2=b2.故 a=b. π 4.(2013· 保定市一模)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|< )的部分图象如右图所 2 示,则函数 f(x)的表达式为( )

π A.f(x)=sin(2x+ ) 4

π B.f(x)=sin(2x- ) 4 3π C.f(x)=sin(4x+ ) 4 π D.f(x)=sin(4x- ) 4 [答案] A 3π π π π [解析] 周期 T=4( - )=π,故 ω=2,又点( ,1)在图象上,代入可得 φ= ,故选 8 8 8 4 A. 5. (2013· 苍南求知中学月考)已知定义在 R 上的函数 f(x)是周期为 3 的奇函数, 当 x∈(0, 3 )时,f(x)=sinπx,则函数 f(x)在区间[0,5]上的零点个数为( 2 A.9 C.7 [答案] D 3 3 [解析] 由条件知,当 x∈(- , )时,f(x)=sinπx. 2 2 ∴f(-1)=f(0)=f(1)=0. 又 f(x)的周期为 3, ∴f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0. ∴f(x)在区间[0,5]上有 6 个零点. 6.(文)在△ABC 中,∠A=60° ,最大边和最小边恰为方程 x2-7x+11=0 的两根,则第 三边的长是( A.3 C.5 [答案] B [解析] 设最大边为 x1,最小边为 x2,且 x1+x2=7,x1x2=11.而 a 边不是最大边和最小
2 边,故 a2=x2 cosA=(x1+x2)2-2x1x2-2x1x2cosA=(x1+x2)2-3x1x2=72-3×11= 1+x2-2x1x2·

)

B.8 D.6

) B.4 D.6

16,∴a=4. (理)(2013· 江西八校联考)设 f1(x)=cosx,定义 fn+1(x)为 fn(x)的导数,即 fn+1(x)=fn′(x), n∈N+,若△ABC 的内角 A 满足 f1(A)+f2(A)+…+f2013(A)=0,则 sinA 的值是( A.1 C. 2 2 B. 3 2 )

1 D. 2

[答案] A

[解析] f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)=-sinx,f3(x)=f2′(x)=-cosx,f4(x)=f3′(x)=sinx, f5(x)=f4′(x)=cosx, …可见 fn(x)关于 n 呈周期出现, 周期为 4.且 f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, ∴f1(A)+f2(A)+…+f2013(A)=503×0+f2013(A)=f1(A)=cosA=0, ∴sinA=1.故选 A. 7.(文)函数 y=sinx(3sinx+4cosx)(x∈R)的最大值为 M,最小正周期为 T,则有序数对 (M,T)为( ) B.(4,π) D.(4,2π)

A.(5,π) C.(-1,2π) [答案] B

3?1-cos2x? 5 3 [解析] 依题意得 y=3sin2x+2sin2x= +2sin2x= sin(2x-θ)+ (其中 tanθ= 2 2 2 3 2π ),所以 M=4,T= =π,结合各选项知,选 B. 4 2 (理)(2014· 山西大学附中第二次月考)△ABC 的三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a,b, c,设向量 p=(sinB,a+c),q=(sinC-sinA,b-a).若?λ∈R,使 p=λq,则角 C 的大小 为( ) π A. 6 π C. 3 [答案] C [解析] 由题意知,sinB=λ(sinC-sinA),a+c=λ(b-a),∴b=λ(c-a),∴λ= b , c-a 2π B. 3 π D. 2

a2+b2-c2 1 b 2 2 2 2 2 2 ∴a+c= (b-a),∴ c -a =b -ab,即 a +b -c =ab,∴cosC= = ,∴C 2ab 2 c-a π = . 3 → → → → → → → 8.(2014· 百校联考)在△ABC 中,若 AB 2 =AB· AC+BA· BC+CA· CB,则△ABC 是( A.等边三角形 C.钝角三角形 [答案] D [解析] → → → → → → → → → → → → → → → → ∵AB2=AB· AC+BA· BC+CA· CB=AB· AC-AB· (AC-AB)-AC· (AB-AC)=AB2 B.锐角三角形 D.直角三角形 )

→ → →2 →2 → → → → → → → → → → -AC· AB+AC =AB +AC· (AC-AB)=AB2+AC· BC,∴AC· BC=0,∴AC⊥BC. 二、填空题 → → 9. (文)在正三角形 ABC 中, D 是边 BC 上的点, 若 AB=3, BD=1, 则AB· AD=________.

[答案]

15 2

→ → → → → → → → [解析] AB· AD=AB(AB+BD)=AB2+AB· BD 3 15 =32+3×1×cos120° =9- = . 2 2 (理)已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,若 c=2,b= 3,A+C =3B,则 sinC=________. [答案] 6 3

π [解析] 本题主要考查正弦定理及应用.由 A+C=3B 得 B= ,由正弦定理知,sinC= 4 c 6 sinB= . b 3 2π 10.(2014· 河北衡水中学二调)在△ABC 中,边 AC=1,AB=2,角 A= ,过 A 作 AP 3 → → → ⊥BC 于 P,且AP=λAB+μAC,则 λμ=________. [答案] 10 49

2π [解析] 如图,BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos 3 1 =4+1-2×2×1×(- )=7,∴BC= 7, 2 设 BP=x,则 CP= 7-x, ∵AB2-BP2=AP2=AC2-PC2, ∴4-x2=1-( 7-x)2,∴x= ∴PC= 7-x= 2 . 7 5 , 7

→ 5→ → → → → 5→ ∴BP= BC,∴AP=AB+BP=AB+ BC 7 7 → 5 → → 2→ 5 → =AB+ (AC-AB)= AB+ AC, 7 7 7 2 5 10 ∴λ= ,u= ,∴λu= . 7 7 49 三、解答题 11.(文)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 bcosC=(3a-c)cosB. (1)求 cosB 的值; → → (2)若BA· BC=2,且 b=2 2,求 a 和 c 的值. [解析] (1)由正弦定理得,sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,

∴sin(B+C)=3sinAcosB, 可得 sinA=3sinAcosB. 1 又 sinA≠0,∴cosB= . 3 → → (2)由BA· BC=2,可得 accosB=2. 1 又 cosB= ,∴ac=6. 3 由 b2=a2+c2-2accosB,及 b=2 2, 可得 a2+c2=12, ∴(a-c)2=0,即 a=c. ∴a=c= 6. (理)已知在△ABC 中,cosA= (1)求 tan2A 的值; π 2 2 (2)若 sin( +B)= ,c=2 2,求△ABC 的面积. 2 3 [解析] (1)因为 cosA= 所以 sinA= 6 ,A∈(0,π), 3 6 ,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边. 3

3 2 ,则 tanA= . 3 2

2tanA 所以 tan2A= =2 2. 1-tan2A π 2 2 2 2 (2)由 sin( +B)= ,得 cosB= , 2 3 3 1 又 B∈(0,π),所以 sinB= . 3 则 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 6 . 3

csinA 由正弦定理知 a= =2,所以△ABC 的面积为 sinC 1 2 2 S= acsinB= . 2 3 12.(文)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 m=(2b-c,cosC),n= (a,cosA),且 m∥n. (1)求角 A 的大小; π ? (2)记 B=x,作出函数 y=2sin2x+cos? ?3-2x?的图象. [解析] (1)由 m∥n 得,(2b-c)· cosA-acosC=0,

由正弦定理得:2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0, ∴2sinBcosA-sin(A+C)=0,∴2sinBcosA-sinB=0, 1 π ∵A、B∈(0,π),∴sinB≠0,cosA= ,∴A= . 2 3 π 1 3 1 3 π (2)y=2sin2x+cos( -2x)=2sin2x+ cos2x+ sin2x=1- cos2x+ sin2x=sin(2x- ) 3 2 2 2 2 6 +1, 2π ∵B=x,∴由(1)知 x∈(0, ). 3

列表: x y 0 1 2 π 12 1 π 3 2 7π 12 1 2π 3 1 2

π 函数 y=2sin2x+cos( -2x)的图象如图所示. 3 π?? π ? (理)已知向量 m=1,sinωx+ ,n=? ?2,2sin?ωx-6??(其中 ω 为正常数). 3 π 2π? (1)若 ω=1,x∈? ?6, 3 ?,求 m∥n 时 tanx 的值; π (2)设 f(x)=m· n-2,若函数 f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为 ,求 f(x)在区间 2

?0,π?上的最小值. ? 2?
π? ? π? [解析] (1)m∥n 时,sin? ?x-6?=sin?x+3?, π π π π sinxcos -cosxsin =sinxcos +cosxsin , 6 6 3 3 则 ∴ 3 1 1 3 sinx- cosx= sinx+ cosx. 2 2 2 2 3-1 3+1 3+1 sinx= cosx,所以 tanx= =2+ 3. 2 2 3-1

π? ? π? (2)f(x)=2sin? ?ωx-6?sin?ωx+3? π? π? π? ?? =2sin? ?ωx-6?cos ?ωx+3?-2

?

?

π? ? π? π? ? =2sin? ?ωx-6?cos?ωx-6?=sin?2ωx-3?. π? ? π? (或 f(x)=2sin? ?ωx-6?sin?ωx+3? =2? =2? 3 1 3 ??1 ? ? 2 sinωx-2cosωx??2sinωx+ 2 cosωx? 3 2 3 2 1 ? ? 4 sin ωx- 4 cos ωx+2sinωxcosωx? π? 3 1 sin2ωx+ sin2ωx=sin? ?2ωx-3?.) 2 2

=-

π ∵函数 f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为 , 2 ∴f(x)的最小正周期为 π,又 ω 为正常数, ∴ π 2π 2x- ?. =π,解得 ω=1.故 f(x)=sin? 3 ? ? 2ω

π π π 2π 0, ?,所以- ≤2x- ≤ . 因为 x∈? ? 2? 3 3 3 π 3 故当 x=- 时,f(x)取最小值- . 3 2 13.(文)(2013· 湖北理,17)在△ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c.已知 cos2A -3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sinBsinC 的值. [解析] (1)由 cos2A-3cos(B+C)=1,得 2cos2A+3cosA-2=0. 1 即(2cosA-1)(cosA+2)=0,解得 cosA= 或 cosA=-2(舍去) 2 π 因为 0<A<π,所以 A= 3 1 1 3 3 (2)由 S= bcsinA= bc· = bc=5 3,得 bc=20,又 b=5,所以 c=4, 2 2 2 4 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21,故 a= 21, b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sinBsinC= sinA·sinA= 2 sin2A= × = . a a a 21 4 7 (理)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,且(2b- 3c)cosA= 3acosC. (1)求角 A 的大小; π (2)若角 B= ,BC 边上的中线 AM 的长为 7,求△ABC 的面积. 6 [解析] (1)∵(2b- 3c)cosA= 3acosC, ∴(2sinB- 3sinC)cosA= 3sinAcosC,

即 2sinBcosA= 3sinAcosC+ 3sinCcosA. ∴2sinBcosA= 3sinB, ∵sinB≠0,∴cosA= 3 π ,∵0<A<π,∴A= . 2 6

π 2π (2)由(1)知 A=B= ,所以 AC=BC,C= , 6 3 1 设 AC=x,则 MC= x.又 AM= 7, 2 在△AMC 中,由余弦定理得, x x 2π x2+( )2-2x·· cos =( 7)2, 2 2 3 解得 x=2, 1 2π 故 S△ABC= x2sin = 3. 2 3


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