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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第12讲 函数与方程 Word版含解析


第12讲 函数与方程

1.如图所示,函数图象与 x 轴均有公共点,但不能用二分法求公共点横坐标的是( B )

解析:由二分法定义可知选 B. 2.(2012· 三明市高三上学期联考)函数 f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是( B ) 5 A.(- ,-2) B.(-2,-1) 2 C.(1,2) D.(2,5) 8 1 - - 解析:因为 f(-2)=3 2-log22=- <0,f(-1)=3 1-log21= >0,即 f(-2)f(-1)<0, 9 3 故选 B. 3.(改编)函数 f(x)=(x2-1)cos 2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( B ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:由 f(x)=(x2-1)cos 2x=0,得 x2-1=0 或 cos 2x=0. 由 x2-1=0,得 x=1 或 x=-1(舍去). π kπ π 由 cos 2x=0,得 2x=kπ+ (k∈Z),故 x= + (k∈Z). 2 2 4 π 3π 5π 7π 又因为 x∈[0,2π],所以 x= , , , . 4 4 4 4 所以零点的个数为 1+4=5 个,故选 B. 1 4.(2012· 山东省 5 月冲刺)a 是 f(x)=2x-log x 的零点, 0<x0<a, f(x0)的值满足( B ) 若 则 2 A.f(x0)=0 B.f(x0)<0 C.f(x0)>0 D.f(x0)的符号不确定 解析:函数 f(x)=2x+log2x 在(0,+∞)上是单调递增的,这个函数有零点,则这个零点 是唯一的, 根据函数 f(x)是单调递增的, 所以在(0, a)上, 函数 f(x)的函数值小于零, f(x0)<0. 即 5.某同学在求方程 lgx=2-x 的近似解(精确到 0.1)时, f(x)=lgx+x-2, 设 发现 f(1)<0, f(2)>0,他用“二分法”又取了 4 个值,通过计算得到方程的近似解为 x≈1.8,那么他所取 的 4 个值中的第二个值为 1.75 . 解析:按照“二分法”又取的第一个值是 1.5,第二值是 1.5 与 2 的中间值 1.75. ??1?x-2 ?x<0? ? 6.(2012· 福建莆田市 3 月质量检查)函数 f(x)=? 2 所有零点的和等于

?x-1 ?x≥0? ?

0 . 1 解析:当 x<0 时,( )x-2=0,解得 x=-1; 2 当 x≥0 时,x-1=0,得 x=1,所以所有零点之和为 0.

?x+1 ?x≤0? ? 7.(2012· 浙江省重点中学协作体高三第二学期 4 月联考)函数 f(x)=? , 则 ? ?log2x ?x>0? 1 1 函数 y=f[f(x)]+1 的所有零点所构成的集合为 {-3, , 2,- } . 4 2 1 1 1 解析:由 y=f[f(x)]+1=0,得 f(x)=-2 或 f(x)= ,于是 x=-3 或 或 2或- ,经验 2 4 2 1 1 证它们都是函数 f(x)的零点,所以所有零点所构成的集合为{-3, , 2,- }. 4 2 8.已知函数 f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1. (1)m 为何值时,函数图象与 x 轴只有一个公共点. (2)如果函数的一个零点在原点,求 m 的值. 解析:(1)由条件知当 m=1 时,函数 f(x)=-4x+1 与 x 轴只有一个交点,满足条件; 1 当 m≠1 时,Δ=(-4m)2-8(m-1)(2m-1)=0,解得 m= . 3 1 综上知,当 m=1 或 时,函数 f(x)的图象与 x 轴只有一个公共点. 3 (2)函数的一个零点在原点,即 x=0 为 f(x)=0 的一个根, 1 所以有 2(m-1)×02-4m· 0+2m-1=0,解得 m= . 2 9.证明:方程 x2-x-3=0 在[-2,3]上恰有两个实数解. 1 13 证明:设 f(x)=x2-x-3=(x- )2- , 2 4 1 13 由于 f(-2)=f(3)=3>0,f( )=- <0, 2 4 1 1 因此函数 f(x)在[-2, ],[ ,3]内至少有一个零点. 2 2 1 1 又因为函数 f(x)在区间[-2, ]上单调递减,在区间[ ,3]上单调递增, 2 2 1 1 故函数 f(x)在[-2, ],[ ,3]上都只有一个零点, 2 2 从而函数 f(x)在[-2,3]上恰有两个零点, 即方程 x2-x-3=0 在[-2,3]上恰有两个实数解.


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