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甘肃省兰州一中2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试卷Word版含答案

甘肃兰州一中 2013—2014 学年度下学期期末考试
高二数学理试题

说明:本套试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 100 分,考试

时间 100 分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,把答案填在答题卡的相应位置上.)

1. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(1,4),且 P(0≤X≤2)=0. 68,则 P(X>2)=( )

A. 0.34

B. 0.16

C. 0.84

D. 0.32

2.在平面直角坐标系中,曲线

C:x2

?

y2

?

36

经过伸缩变换

? ?? ?

x

/

?y/

? ?

1 2 1

x y

后,所得曲线的焦点

?? 3

坐标为( )

A. (0, ? 5) B. (? 5, 0) C. (0, ? 13)

D. (? 13, 0)

3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中纪录的产量 x(吨)与相应的生 产能耗 y (吨)的几组对应数据:

x

3

4

56

y

2.5 n

4 4.5

根据上表提供的数据,求得 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 0.7x ? 0.35 ,那么表中 n 的值

为( )

A. 3

B. 3.15

C. 3.5

D. 4.5

4.已知曲线的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

cos? ? sin 2?

sin ?

(?

为参数),则曲线的普通方程为(



A. x2 ? y ?1(? 2 ? x ? 2)

B. x2 ? y ?1(?1 ? x ? 1)

C. x2 ? 1? y(? 2 ? x ? 2)

D. x2 ? 1? y(?1 ? x ? 1)

5. 若存在实数 x 使| x ? a | ? | x ?1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是( )

A. ?1 ? a ? 3

B. ?1 ? a ? 3

C. ? 2 ? a ? 4

D. ? 2 ? a ? 4

6.在极坐标系中,圆 ? ? 4 cos? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ( )

A.? ? 0(? ? R) 和 ? cos? ? 4

B.? ? ? (? ? R) 和 ? cos? ? 4 2

C.? ? 0(? ? R) 和 ? cos? ? 2

D.? ? ? (? ? R) 和 ? cos? ? 2 2

7.随机变量 X 的概率分布列规律为 P( X ? n) ? a (n ? 1, 2,3, 4), 其中 a 为常数,则 n(n ?1)

P(1 ? X ? 5) 的值为 (



2

2

A. 2 3

B. 3 4

C. 4 5

D. 5 6

8.在直角坐标系

xOy

中,直线 l

的参数方程为???x=t, ??y=4+t

(t 为参数).以原点 O 为极点,以 x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4 2·sin??θ+π4??,则直线 l 和曲

线 C 的公共点有

(

)

A .0 个

B .1 个

C .2 个

D .无数个

9. 已知 x, y ? R? ,且 xy2 ? 8 ,则 4x ? y 的最小值为 (



A.4 2

B.6 2

C .6

D. 2

10.从混有 5 张假钞的 20 张百元钞票中任意抽出 2 张,将其中 1 张放到验钞机上检验发现是

假钞,则第 2 张也是假钞的概率为 ( )

A. 1 19

B . 17 38

C. 4 19

D. 2 17

第Ⅱ卷(非选择题,共 60 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上)

11.若随机变量 ?

B(5,

1) 3

,则

D(3?

?

2)

? ______________

.

12. 二项式 (

x

?

2 x2

)n

的展开式中只有第

6

项的二项式系数最大,则展开

式中常数项为

.

13.在区间[?2, 2] 上随机取一个数 x ,使 | x ?1| ? | x ?1|? 1 成立的概率





14.如图,以过原点的直线的倾斜角? 为参数,则圆 x2 ? y2 ? 2 y ? 0 的参数方程为

.

15. 用 1、2、3、4、5、6 六个数组成没有重复数字的六位数,其中 5、6 均排在 3 的同侧,

这样的六位数共有

个(用数字作答).

三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16. (本小题满分 6 分)在直角坐标系 xOy 中,已知点 P(0, 3) ,曲线 C 的参数方程为

??x ? ?

3 cos? (? 为参数).以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极

?? y ? 3sin?

坐标方程为

?

?

2

3 cos(? ?

?

)

.

6

(Ⅰ)判断点 P 与直线 l 的位置关系,说明理由; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A 、 B ,求| PA | ? | PB | 的值.

17. (本小题满分 8 分)设函数 f (x) ?| 3x ?1| ?ax ? 3. (Ⅰ)若 a ? 1,解不等式 f (x) ? 4 ; (Ⅱ)若函数 f (x) 有最小值,求 a 的取值范围.
18. (本小题满分 8 分)某校举行综合知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分,初赛采用选 手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有 6 次答题的机会,选手累计答对 4 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛,答对 4 题者直接进入决赛,答错 3 题者则被淘汰.已知选手甲答题
连续两次答错的概率为 1 (已知甲回答每道题的正确率相同,并且相互之间没有影响). 9
(Ⅰ)求选手甲回答一个问题的正确率; (Ⅱ)求选手甲可以进入决赛的概率.
19. (本大题满分 8 分) 巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行.某人为了了解我校学生“通过电

视收看世界杯”是否与性别有关,从全校学生中随机抽取 30 名学生进行了问卷调查,得到了如

下列联表:

男生 女生 合计

收看

10

不收看

8

合计

30

已知在这 30 名同学中随机抽取 1 人,抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是 8 . 15
(I)请将上面的列联表补充完整,并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关?

(II)若从这 30 名同学中的男同学中随机抽取 2 人参加一活动,记“通过电视收看世界杯”的

人数为 X,求 X 的分布列和均值.

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2

, n?a?b?c?d )

(a ? b)(a ? c)(c ? d )(b ? d )

P (K 2 ? k0 )

0.100

0.050

0.010

k0

2.706 3.841

6.635

20.(本小题满分 10 分)已知函数 f (x) ? ax2 ? (a ? 2)x ? ln x. (Ⅰ)当 a ? 1时,求曲线 y ? f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f (x) 在区间[1, e] 上的最小值为 ?2 ,其中 e 是自然对数的底数,
求实数 a 的取值范围;

参考答案

一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)



1

1

2

3

4

5

6

7

8

9



0



B

D

A

A

D

B

D

B

C

D



二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在相应横线上.)

11.10

12. 180

13. 5 8

?x ? sin 2?

14.

? ?

y

?

2

sin 2

?

(?

为参数)

15.

480

三、解答题(本大题共 5 小题,共 44 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 6 分)
解:(Ⅰ)直线 l 的方程可化为 2? cos(? ? ? ) ? 3 ,即 3? cos? ? ? sin? ? 3 6

化为直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ,将点 P(0, 3) 代人上式满足,

故点 P 在直线 l 上.

…………………2 分

(Ⅱ)直线

l

的参数方程为

? ?? ?

x

?

?

1 2

t

(t 为参数), …………………3 分

? ??

y

?

3? 3t 2

曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 1, 39

将直线 l 的参数方程代人曲线 C 的方程并整理得 t2 ? 2t ? 4 ? 0 ,

所以| PA | ? | PB |? 4.

…………………………6 分

17. (本小题满分 8 分)

解:(Ⅰ)当 a ? 1时, f (x) ?| 3x ?1| ?x ? 3.

当 x ? 1 时, f (x) ? 4 可化为 3x ?1? x ? 3 ? 4 ,解得 1 ? x ? 1 ;

3

3

2

当 x ? 1 时, f (x) ? 4 可化为 ?3x ?1? x ? 3 ? 4 ,解得 0 ? x ? 1 .

3

3

综上可得,原不等式的解集为{x | 0 ? x ? 1}. 2

…………………………4 分

(Ⅱ)

f

(x)

?|

3x

?1|

?ax

?

3

?

???(3 ? a)x ? ?(a ? 3)x ??

? ?

2, 4,

x x

? ?

1, 3 1. 3

………………6 分

函数

f

(x)

有最小值的充要条件为

?a ??a

? ?

3 3

? ?

0, 0,



?3

?

a

?

3.

………………8 分

18. (本大题满分 8 分)

解:(1)设选手甲答对一个问题的正确率为 P1 ,



(1 ?

p1 ) 2

?

1 9

,

故选手甲回答一个问题的正确率

P1

?

2 3

.

……………2 分

(2)选手甲答了 4 道题进入决赛的概率为 ( 2)4 ? 16 ; 3 81

………………3 分

选手甲答了

5

道题进入决赛的概率为

C43

(

2 3

)3

(

1 3

)(

2 3

)

?

64 243



……………5 分

选手甲答了

6

道题进入决赛的概率为

C53

(

2 3

)3

(1)2 3

(

2 3

)

?

160 729



…… …7 分

故选手甲可进入决赛的概率 p ? 16 ? 64 ? 160 ? 496 . 81 243 729 729

………… …8 分

19.(本小题满分 8 分)

解(Ⅰ)

男生

女生

合计

收看

10

6

16

不收看

6

8

14

合计

16

14

30

由已知数据得: K 2 ? 30(10?8 ? 6? 6)2 ? 1.158 ? 3.841 16 ?14 ?16 ?14
所以,没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关 .
(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2.

…………4 分

P( X ? 0) ? C62 ? 1 , P( X ? 1) ? C61C110 ? 1 , P( X ? 2) ? C120 ? 3 .

C126 8

C126

2

C126 8

所以 X 的分布列为:

X

0

1

2

……6 分

1

1

3

P

8

2

8

X 的均值为: EX ? 0? 1 ?1? 1 ? 2? 3 ? 5 . 8 2 84

…………………………8 分

20. 解:(1)当a ? 1时,f (x) ? x2 ? 3x ? ln x , f (x) ? 2x ? 3 ? 1 x

因为 f ?(1) ? 0, f (1) ? ?2 .所以切线方程是 y ? ?2

……………3 分

(Ⅱ)函数 f (x) ? 2ax ? (a ? 2)x ? ln x 的定义域是 (0,??)

当 a ? 0 时, f ?(x) ? 2ax ? (a ? 2) ? 1 ? 2ax2 ? (a ? 2)x ?1 ? (2x ?1)(ax ?1) (x ? 0)

x

x

x

令 f ?(x) ? 0 得 x ? 1 或x ? 1

2

a

…………………………5 分

① 当 0 ? 1 ? 1,即a ? 1时,f (x)在[1, e]上单调递增 ,所以 f (x) 在[1, e] 上的最小值是 a

f (1) ? ?2 ,满足条件,于是 a ? 1;

②当1 ? 1 ? e ,即 1 ? a ? 1 时, f (x) 在[1, e] 上的最小值是 f ( 1 ) ? f (1) ? ?2 ,不合题意;

a

e

a

③当 1 ? e ,即 0 ? a ? 1 时, f (x) 在[1, e] 上单调递减,所以 f (x) 在[1, e] 上的最小值是

a

e

f (e) ? f (1) ? ?2 ,不合题意.

综上所述有, a ? 1 .

…………………………………10 分


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