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吉林省长春外国语学校2015届高三数学上学期第一次段考试卷 文(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

吉林省长春外国语学校 2015 届高三上学期第一次段考数学试卷(文 科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题四个选项中,只有一项正确. 1. (5 分)已知集合 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},若 A∩B={a,b},则 a+b=() A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣6x﹣7<0},B={x|x +2x﹣8≥0},则 A∪?RB=() A. {x|﹣1<x<7} B. {x|x>2 或 x<﹣4 C. {x|﹣1<x<2} D. {x|﹣4<x<7} 3. (5 分)若命题 p:x ﹣2x+1>0,命题 q:x ﹣4x+3≤0,则 p 是 q 的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. (5 分)命题“? x∈R,x ﹣2x+4>0”的否定为() 2 2 A. ? x∈R,x ﹣2x+4≥0 B. ? x∈R,x ﹣2x+4≤4 2 2 C. ? x∈R,x ﹣2x+4≤0 D. ? x∈R,x ﹣2x+4>0 5. (5 分)已知命题 p:x ﹣1=0,命题 q:|x|<a,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的 取值范围是() A. a≤1 B. a<1 C. a≥1 D. a>1
2 2 2 2 2 2

6. (5 分)已知函数 f(x)=

,则其定义域为() B. [﹣2,1)∪(1,2] D. (﹣2,﹣1)∪(﹣1,1)∪(1,2)

A. [﹣2,2] C. [﹣2,﹣1)∪(﹣1,1)∪(1,2]

7. (5 分)已知函数 f(x)= A. 1 B. 4 C. 16

,则 f(﹣7)=() D. 49
2

8. (5 分)若函数 f(x)对任意的 x∈R 满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,当 x≥0 时,f(x)=x ﹣2x 则不等式 xf(x)>0 的解集是() A. (2,+∞) B. (﹣2,0)∪(2,+∞) C. (﹣∞,﹣2)∪(2, +∞) D. (﹣2,0)∪(0,2) 9. (5 分)在复平面内,复数 z=1﹣i 对应于点 P,则该点在以原点为极点,实轴的正半轴为 极轴的极坐标系中所对应的极坐标是() A. B. C. D.

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10. (5 分)已知圆的极坐标方程为 ρ =2cosθ ,则它所对应的参数方程为() A. B.

C.

D.

11. (5 分)已知圆 C:ρ =4sinθ 与直线 A. 2 B. 4 C. 6

(t 为参数)交于 A,B 两点,则|AB|=() D. 8

12. (5 分)已知函数 f(x) ,对任意的 x∈R,满足 f(﹣x)+f(x)=0,f(2﹣x)=f(x) , 且当 x∈[0,1]时,f(x)=ax,若方程 f(x)﹣lgx=0 恰有五个实根,则实数 a 的取值范围 是() A. (﹣lg11,﹣lg7)∪(2lg3,lg13) B. (﹣2lg3,﹣lg7)∪(lg11,lg13) C. (﹣lg13,﹣lg11)∪(lg7,2lg3) D. (﹣lg13,﹣2lg3)∪(lg7,lg11)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的指定位置. 13. (5 分)曲线 x +y =1 经过 φ :
2 2

变换后,得到的新曲线的方程为.

14. (5 分)定义 A*B={x|x∈A 且 x?B},若 M={x|1<x<5},N={x|x ﹣6x+8≥0},则 M*N=. 15. (5 分)设函数 f(x)对任意 x,y 满足 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且 f(2)=4,则 f(﹣ 1)的值为. 16. (5 分)对于函数 f(x)=e ﹣e 的叙述正确的是. (填正确序号) (1)f(x)为奇函数 (2)f(x)为增函数 (3)f(x)在 x=0 处取极值 (4)f(x)的图象关于点(0,1)对称.
x ﹣x

2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤. * 17. (12 分)已知数列{an}满足 an+1=3an+2,n∈N ,a1=1,bn=an+1 (1)证明数列{bn}为等比数列. (2)求数列{an}的通项公式 an 与前 n 项和 Sn.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 18. (12 分)最近我校对 2014-2015 学年高一学生进行了体检,为了了解甲乙两班男生的身高 状况,随机从甲乙两班中各抽取 10 名男生的身高(单位 cm) ,绘制身高的茎叶图如图: (1)通过茎叶图判断哪个班男生的平均身高较高? (2)计算甲班的样本方差. (3)现从乙班样本身高不低于 172cm 的同学中随机抽取两名同学,求身高为 176cm 的同学被 抽中的概率.

19. (12 分)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=1,∠BAC=120°,异面直 线 B1C 与 AA1 成 60°角,D,E 分别是 BC,AB1 的中点. (1)求证:DE∥平面 AA1C1C. (2)求三棱锥 B1﹣ABC 的体积.

20. (12 分)已知椭圆 C: 距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的标准方程.

=1(a>b>0) ,椭圆上一点

到其两焦点的

(2)如果斜率为 的直线与椭圆交于 E,F 两点,试判断直线 AE,AF 的斜率之和是否为定值? 若是,求出其定值.若不是,请说明理由. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x +alnx+2. (1)若 f(x)在 x=1 处的切线与直线 y=3x﹣1 平行,求实数 a 的值. (2)若 f(x)在(2,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围.
2

22. (10 分)已知曲线 C1:

(θ 为参数) ,直线 C2

(t 为参数)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (1)将曲线 C1 与 C2 的参数方程化为普通方程. (2)若曲线 C1 与 C2 交于 A,B 两点,求 AB 的长.

吉林省长春外国语学校 2015 届高三上学期第一次段考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题四个选项中,只有一项正确. 1. (5 分)已知集合 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},若 A∩B={a,b},则 a+b=() A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用交集的性质求解. 解答: 解:∵集合 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}, ∴A∩B={a,b}={3,4}, ∴a+b=3+4=7. 故选:B. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集的性质的合理运 用. 2. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣6x﹣7<0},B={x|x +2x﹣8≥0},则 A∪?RB=() A. {x|﹣1<x<7} B. {x|x>2 或 x<﹣4 C. {x|﹣1<x<2} D. {x|﹣4<x<7} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 解不等式求出集合 A 与集合 B,进而结合集合交集,并集,补集的定义,可得答案. 2 解答: 解:∵集合 A={x|x ﹣6x﹣7<0}={x|﹣1<x<7}, 2 集合 B={x|x +2x﹣8≥0}={x|x≥2 或 x≤﹣4}, ∴?RB={x|﹣4<x<2}, ∴A∪?RB={x|﹣4<x<7}, 故选:D 点评: 本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题. 3. (5 分)若命题 p:x ﹣2x+1>0,命题 q:x ﹣4x+3≤0,则 p 是 q 的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 2 2 分析: 命题 p:x ﹣2x+1>0,命题 q:x ﹣4x+3≤0,解出两个不等式的解集,再根据充分 必要条件的定义可判断出答案. 2 2 解答: 解:∵命题 p:x ﹣2x+1>0,命题 q:x ﹣4x+3≤0,
2 2 2 2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴命题 p:x>1 或 x<1,命题 q:1≤x≤3, 根据充分必要条件的定义可判断: p 是 q 的既不充分也不必要条件, 故选:D 点评: 本题考察了不等式的解法,充分必要条件的定义,属于容易题. 4. (5 分)命题“? x∈R,x ﹣2x+4>0”的否定为() 2 2 A. ? x∈R,x ﹣2x+4≥0 B. ? x∈R,x ﹣2x+4≤4 2 2 C. ? x∈R,x ﹣2x+4≤0 D. ? x∈R,x ﹣2x+4>0 考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 计算题. 2 分析: 特称命题“? x∈R,x ﹣2x+4>0”的否定是:把? 改为? ,其它条件不变,然后否 定结论,变为一个全称命题. 2 解答: 解:特称命题“? x∈R,x ﹣2x+4>0”的否定是全称命题: 2 ? x∈R,x ﹣2x+4≤0. 故选 C. 点评: 写含量词的命题的否定时,只要将“任意”与“存在”互换,同时将结论否定即可. 5. (5 分)已知命题 p:x ﹣1=0,命题 q:|x|<a,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的 取值范围是() A. a≤1 B. a<1 C. a≥1 D. a>1 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件的定义, 得出若 p 是 q 的充分不必要条件, 则 p?q, 从而得出答案. 2 解答: 解:∵p:x ﹣1=0,∴p={﹣1,1}, 若 p 是 q 的充分不必要条件,则 p?q, ∴a>1, 故选:D. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了不等式问题,是一道基础题.
2 2

6. (5 分)已知函数 f(x)=

,则其定义域为() B. [﹣2,1)∪(1,2] D. (﹣2,﹣1)∪(﹣1,1)∪(1,2)

A. [﹣2,2] C. [﹣2,﹣1)∪(﹣1,1)∪(1,2] 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据函数 f(x)的解析式,列出不等式组

,求出解集即可.

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解答: 解:∵函数 f(x)=







解得﹣2≤x≤2,且 x≠±1; ∴f(x)定义域为[﹣2,﹣1)∪(﹣1,1)∪(1,2]. 故选:C. 点评: 本题考查了利用函数的解析式,求函数定义域的问题,解题的关键是列出使函数解 析式有意义的不等式组,是基础题.

7. (5 分)已知函数 f(x)= A. 1 B. 4 C. 16

,则 f(﹣7)=() D. 49

考点: 抽象函数及其应用;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的周期性将﹣7 变到大于等于 0 的范围里, 利用大于等于 0 时已知的解析式 求解. 解答: 解:∵f(x)= ∴f(﹣7)=f(﹣7+2)=f(﹣5)=f(﹣5+2)=f(﹣3)=f(﹣3+2)=f(﹣1)=f(﹣1+2) =f(1)=1. 故选:A. 点评: 本题是分段函数求值问题,一定要注意自变量的值所在的范围,然后代入相应的解 析式求解,属于基础题. 8. (5 分)若函数 f(x)对任意的 x∈R 满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,当 x≥0 时,f(x)=x ﹣2x 则不等式 xf(x)>0 的解集是() A. (2,+∞) B. (﹣2,0)∪(2,+∞) C. (﹣∞,﹣2)∪(2, +∞) D. (﹣2,0)∪(0, 2) 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分情况讨论:x≥0,xf(x)>0 的解先解出来,再根据奇函数的性质求 x<0 时的解. 2 解答: 解:当 x≥0 时,xf(x)>0 可化为:f(x)>0,即 x ﹣2x>0,解得:x>2 由函数 f(x)对任意的 x∈R 满足 f(﹣x)=﹣f(x)知, f(x)是奇函数, ∴xf(x)也是奇函数, 又 x≥0,xf(x)>0 的解:x>2, ∴x<0,xf(x)>0 的解是:x<﹣2,
2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性和不等式的解法. 9. (5 分)在复平面内,复数 z=1﹣i 对应于点 P,则该点在以原点为极点,实轴的正半轴为 极轴的极坐标系中所对应的极坐标是() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

复数的代数表示法及其几何意义. 数系的扩充和复数. 求出复数 z=1﹣i 对应于点 P 的直角坐标,然后求出极径和极角得答案. 解:∵复数 z=1﹣i 对应于点 P 的坐标为(1,﹣1) , .

则改点在以原点为极点,实轴的正半轴为极轴的极坐标系中的极径为 且极角为 . .

∴改点的极坐标为

故选:A. 点评: 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义,考查了直角坐标与极坐标的互化,是 基础题. 10. (5 分)已知圆的极坐标方程为 ρ =2cosθ ,则它所对应的参数方程为() A. B.

C.

D.

考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 计算题;坐标系和参数方程. 分析: 将极坐标方程为 ρ =2cosθ ,化为直角坐标方程,再求出对应的参数方程. 解答: 解:∵圆的极坐标方程为 ρ =2cosθ , 2 ∴ρ =2ρ cosθ 2 2 2 ∵x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ ,ρ =x +y , 2 2 ∴消去 ρ 和 θ 得, (x﹣1) +y =1, ∴对应的参数方程为 ,

故选:C. 点评: 此题考查参数方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选 择不同的方程进行求解,这也是每年 2015 届高考必考的热点问题.

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11. (5 分)已知圆 C:ρ =4sinθ 与直线 A. 2 B. 4 C. 6

(t 为参数)交于 A,B 两点,则|AB|=() D. 8

考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题;直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: 圆 C:ρ =4sinθ 化为直角坐标方程为 x +y =4y,直线
2 2

(t 为参数)化为普

通方程为 4x+3y﹣6=0,圆心(0,2)适合直线 4x+3y﹣6=0 的方程,则此直线经过圆心.即可 得到 AB 的长. 2 2 解答: 解:圆 C:ρ =4sinθ 化为直角坐标方程为 x +y =4y, 2 2 即有 x +(y﹣2) =4,圆心为(0,2) ,半径为 2, 直线 (t 为参数)化为普通方程为 4x+3y﹣6=0,

∵圆心(0,2)适合直线 4x+3y﹣6=0 的方程, ∴此直线经过圆心. 故弦长|AB|=2r=4. 故选 B. 点评: 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,以及参数方程与普通方程的互化,考 查直线和圆的位置关系,考查运算能力,属于中档题. 12. (5 分)已知函数 f(x) ,对任意的 x∈R,满足 f(﹣x)+f(x)=0,f(2﹣x)=f(x) , 且当 x∈[0,1]时,f(x)=ax,若方程 f(x)﹣lgx=0 恰有五个实根,则实数 a 的取值范围 是() A. (﹣lg11,﹣lg7)∪(2lg3,lg13) B. (﹣2lg3,﹣lg7)∪(lg11,lg13) C. (﹣lg13,﹣lg11)∪(lg7,2lg3) D. (﹣lg13,﹣2lg3)∪(lg7,lg11) 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据条件得到函数 f(x)的奇偶数,对称性和周期性,作出函数 f(x)和 y=lgx 的 图象,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:由 f(﹣x)+f(x)=0 得 f(﹣x)=﹣f(x)则函数 f(x)是奇函数, 由 f(2﹣x)=f(x) ,则函数关于 x=1 对称,且 f(2﹣x)=f(x)=﹣f(x﹣2) , 则 f(x+2)=﹣f(x) ,f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) , 则函数 f(x)的周期是 4. 若方程 f(x)﹣lgx=0 恰有五个实根, 则等价为若方程 f(x)=lgx 恰有五个实根,即函数 f(x)和 y=lgx 有 5 个交点, ∵当 x∈[0,1]时,f(x)=ax ∴当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=﹣f(﹣x)=ax,即当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=ax, 作出函数 f(x)和 y=g(x)=lgx 的图象如图: 若函数 f(x)和 y=lgx 有 5 个交点,

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则当 a>0 时,则满足 解得 lg9<a<lg13,即 2lg3<a<lg13, 若 a<0,则满足 ,即

,即



,解得

,即﹣lg11<a<﹣lg7, 综上实数 a 的取值范围是(﹣lg11,﹣lg7)∪(2lg3,lg13) , 故选:A

点评: 本题主要考查方程根的个数的应用,利用函数奇偶性和对称性以及周期性的性质, 利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强,难度较大. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的指定位置. 13. (5 分)曲线 x +y =1 经过 φ :
2 2

变换后,得到的新曲线的方程为



考点: 平面直角坐标轴中的伸缩变换. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 直接利用变换的法则,求出新曲线的方程即可.

解答: 解:曲线 x +y =1 经过 φ :

2

2

变换后,即

,代入圆的方程.

可得

,即所求新曲线方程为:



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故答案为: 点评: 本题考查曲线分的求法,变换的应用,考查计算能力. 14. (5 分)定义 A*B={x|x∈A 且 x?B},若 M={x|1<x<5},N={x|x ﹣6x+8≥0},则 M*N={x|2 <x<4}. 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 计算题;集合. 2 分析: 先化简 N={x|x ﹣6x+8≥0}={x|x≥4 或 x≤2},由题意求知 M*N={x|2<x<4}. 2 解答: 解:N={x|x ﹣6x+8≥0}={x|x≥4 或 x≤2}, 又∵A*B={x|x∈A 且 x?B},若 M={x|1<x<5}, ∴M*N={x|2<x<4}. 故答案为:{x|2<x<4}. 点评: 本题考查了集合的化简与集合的运算的变形应用,属于基础题. 15. (5 分)设函数 f(x)对任意 x,y 满足 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且 f(2)=4,则 f(﹣ 1)的值为﹣2. 考点: 抽象函数及其应用;函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 通过赋值法求得 f(0)=0,f(﹣x)=﹣f(x) ,说明 f(x)为奇函数,通过 f(1+1) =f(1)+f(1)=4,即可求得 f(1) ,从而可求得 f(﹣1) . 解答: 解:∵f(x)对任意 x、y 满足 f(x+y)=f(x)+f(y) , ∴令 x=y=0 得:f(0)=f(0)+f(0) , ∴f(0)=0; 再令 y=﹣x 代入得:f(0)=f(x)+f(﹣x)=0, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , ∴f(x)为奇函数. ∵f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=4, ∴f(1)=2,又 f(x)为奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查抽象函数及其应用,奇函数的性质,赋值法的应用,属于中档题. 16. (5 分)对于函数 f(x)=e ﹣e 的叙述正确的是(1) (2) . (填正确序号) (1)f(x)为奇函数 (2)f(x)为增函数 (3)f(x)在 x=0 处取极值 (4)f(x)的图象关于点(0,1)对称. 考点: 利用导数研究函数的极值;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用.
x ﹣x 2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 由题意,f(x)的定义域为 R,可求得 f(﹣x)=﹣f(x) ,则 f(x)为奇函数,故 (1)正确, (4)不正确; x ﹣x x ﹣x 由 e 是增函数,e 是减函数,借助函数的四则运算知函数 f(x)=e ﹣e 是增函数,故(2) 正确, (3)不正确. 解答: 解:f(x)的定义域为 R, ﹣x x x ﹣x f(﹣x)=e ﹣e =﹣(e ﹣e )=﹣f(x) , 则 f(x)为奇函数,从而(1)正确; x ﹣x ∵e 是增函数,e 是减函数, x ﹣x ∴函数 f(x)=e ﹣e 是增函数, 故(2)正确; x ﹣x ∵函数 f(x)=e ﹣e 是增函数,故 f(x)在 x=0 处无极值;故(3)不正确; 由(1)知,f(x)的图象不可能关于点(0,1)对称,故(4)不正确; 故答案为: (1) (2) . 点评: 本题考查了函数的奇偶性的判断,及通过函数的导数求函数的单调性及极值的步骤, 属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤. * 17. (12 分)已知数列{an}满足 an+1=3an+2,n∈N ,a1=1,bn=an+1 (1)证明数列{bn}为等比数列. (2)求数列{an}的通项公式 an 与前 n 项和 Sn. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知得 an+1+1=3(an+1) ,又 a1=1,bn=an+1,由此能证明数列{bn}为首项为 2, 公比为 3 的等比数列. n﹣1 (2)由(1)知 an+1=2×3 ,由此能求出数列{an}的通项公式 an 与前 n 项和 Sn. * 解答: (1)证明:∵an+1=3an+2,n∈N ,a1=1, ∴an+1+1=3(an+1) ,又 a1=1,bn=an+1 ∴ ,

∴数列{bn}为首项为 2,公比为 3 的等比数列. n﹣1 n﹣1 (2)解:由(1)知 an+1=2×3 ,∴an=2×3 ﹣1. 2 n﹣1 ∴Sn=2×(1+3+3 +?+3 )﹣n =
n

﹣n

=3 ﹣n﹣1. 点评: 本题考查等比数列的证明,考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,是中档题,解 题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用. 18. (12 分)最近我校对 2014-2015 学年高一学生进行了体检,为了了解甲乙两班男生的身高 状况,随机从甲乙两班中各抽取 10 名男生的身高(单位 cm) ,绘制身高的茎叶图如图:

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (1)通过茎叶图判断哪个班男生的平均身高较高? (2)计算甲班的样本方差. (3)现从乙班样本身高不低于 172cm 的同学中随机抽取两名同学,求身高为 176cm 的同学被 抽中的概率.

考点: 极差、方差与标准差;茎叶图;古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)根据茎叶图将甲、乙两组同学的身高的数据还原,求出平均数即得甲班男生的 平均身高较高; (2)根据甲班 10 位同学身高的数据,结合方差计算公式算出 10 位同学身高的方差,即得甲 班的样本方差; (3) 根据乙班样本身高不低于 172cm 的同学共有 5 人, 可求随机抽取两名同学, 身高为 176cm 的同学被抽中的概率. 解答: 解: (1)由茎叶图,得甲班的 10 名同学的身高分别为 182 179 179 171 170 168 168 163 162 158, 乙班的 10 名同学的身高分别为 181 170 173 176 178 178 162 165 168 159, ∴ , =171,

∴乙班男生的平均身高较高; (2)样本方差为 [(182﹣170) +(179﹣170) +?+(158﹣170) ]=57.2
2 2 2

(3)乙班样本身高不低于 172cm 的同学共有 5 人,随机抽取两名同学,身高为 176cm 的同学 被抽中的概率为 = .

点评: 本题给出茎叶图,要我们求出数据的平均数和方差,着重考查了茎叶图的认识、样 本特征数的计算和随机事件的概率公式等知识,属于基础题. 19. (12 分)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=1,∠BAC=120°,异面直 线 B1C 与 AA1 成 60°角,D,E 分别是 BC, AB1 的中点. (1)求证:DE∥平面 AA1C1C. (2)求三棱锥 B1﹣ABC 的体积.

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考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)首先连结 A1B,A1C 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面是平行四边形,D,E 分别是 BC,AB1 的中点,所以 DE∥A1C,DE?平面 AA1C1C,A1C? 平面 AA1C1C,DE∥平面 AA1C1C (2)异面直线 B1C 与 AA1 成 60°角,所以∠CB1B=60°,侧棱 AA1⊥底面 ABC,侧棱 BB1⊥底面 ABC 利用三角函数求得:BB1=1,AB=AC=1,∠BAC=120°,进一步求出底面的面积,和锥体的 体积. 解答: (1)证明:连结 A1B,A1C 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面是平行四边形 D,E 分别是 BC,AB1 的中点 所以 DE∥A1C DE?平面 AA1C1C,A1C? 平面 AA1C1C DE∥平面 AA1C1C (2)异面直线 B1C 与 AA1 成 60°角 所以∠CB1B=60° 侧棱 AA1⊥底面 ABC 侧棱 BB1⊥底面 ABC 利用三角函数求得:BB1=1 AB=AC=1,∠BAC=120°

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查的知识要点:三角形中位线定理,线面平行的判定定理,三角形的面积公 式,锥体的体积公式,异面直线的夹角.

20. (12 分)已知椭圆 C: 距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的标准方程.

=1(a>b>0) ,椭圆上一点

到其两焦点的

(2)如果斜率为 的直线与椭圆交于 E,F 两点,试判断直线 AE,AF 的斜率之和是否为定值? 若是,求出其定值.若不是,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆上一点 出 a,b,即可椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 EF 的方程为:y= x+m,代入 出结论. 解答: 解: (1)∵椭圆上一点 到其两焦点的距离之和为 4, ,求出直线 AE、AF 的斜率之和,即可得 到其两焦点的距离之和为 4,建立方程,求

∴2a=4, ∴a=2,b= ,



∴椭圆 C 的标准方程为



(2)设直线 EF 的方程为:y= x+m,

代入

得:x +mx+m ﹣3=0.△=m ﹣4(m ﹣3)>0 且 x1+x2=﹣m,x1x2=m ﹣3

2

2

2

2

2

设 A(x0,y0) ,由题意,kAE=

,kAF=

∴kAE+kAF=

+



化简得分子为:t=y1x2+y2x1﹣x0(y1+y2)﹣y0(x1+x2)+2x0y0, 又 y1= x1+m,y2= x2+m,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴t=(x1+x2) (y1+y2)﹣x1y1﹣x2y2﹣x0(y1+y2)﹣y0(x1+x2)+2x0y0 2 =(m+2) (x1+x2)+x1x2+2m+3=(m+2) (﹣m)+m ﹣3+2m+3=0, ∴kAE+kAF=0. 即直线 AE、AF 的斜率之和是为定值 0. 点评: 本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x +alnx+2. (1)若 f(x)在 x=1 处的切线与直线 y=3x﹣1 平行,求实数 a 的值. (2)若 f(x)在(2,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求出函数的导数,求出切线的斜率,由直线平行的条件,得到 a 的方程,解出 即可; (2)求出导数,f(x)在(2,+∞)上单调递增,即为 f′(x)≥0 在(2,+∞)上恒成立, 2 2 即有﹣a≤2x 在(2,+∞)上恒成立.求出 2x 在(2,+∞)上值域即可得到. 解答: 解: (1)函数 f(x)=x +alnx+2 的导数为 f′(x)=2x+ , 则 f(x)在 x=1 处的切线斜率为 2+a, 由于在 x=1 处的切线与直线 y=3x﹣1 平行,则 2+a=3, 则 a=1; (2)由于 f′(x)=2x+ , f(x)在(2,+∞)上单调递增, 即为 f′(x)≥0 在(2,+∞)上恒成立, 2 即有﹣a≤2x 在(2,+∞)上恒成立. 2 由于 2x 在(2,+∞)上值域为(8,+∞) , 则有﹣a≤8,即 a≥﹣8. 故实数 a 的取值范围是[﹣8,+∞) . 点评: 本题考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率,考 查导数的运用:判断单调性,属于中档题.
2 2

22. (10 分)已知曲线 C1:

(θ 为参数) ,直线 C2

(t 为参数)

(1)将曲线 C1 与 C2 的参数方程化为普通方程. (2)若曲线 C1 与 C2 交于 A,B 两点,求 AB 的长. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程;坐标系和参数方程. 2 2 分析: (1)可由 sin θ +cos θ =1,消去 θ ,得到 C1 的方程;通过代入法,可得 C2 的方程; (2)联立椭圆方程和直线方程,消去 y,得到二次方程,运用韦达定理和弦长公式,即可得 到.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: (1)曲线 C1: 可由 sin θ +cos θ =1,消去 θ , 得到普通方程为: ,
2 2

(θ 为参数) ,

直线 C2

(t 为参数) ,

化为普通方程得,C2:x+y﹣1=0;

(2)由

消去 y,得 7x ﹣8x﹣8=0,

2

设 A,B 两点(x1,y1) , (x2,y2) ,则有 x1+x2= ,x1x2=﹣ , 则|AB|= = = .

点评: 本题考查参数方程和普通方程的互化,考查直线和椭圆的位置关系,考查弦长公式 的运用,属于中档题.

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