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2017-2018学年高中数学人教A版必修四教学案:1.3 三角函数的诱导公式 Word版含答案

第 1 课时 诱导公式二、三、四 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P23~P26 的内容,回答下列问题. (1)给定一个角 α,则角π +α 的终边与角 α 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系? 提示:π+α 的终边与 α 的终边关于原点对称,sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=- cos_α,tan(π+α)=tan_α. (2)给定一个角 α,则角π -α 的终边与角 α 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系? 提示:π-α 的终边与角 α 的终边关于 y 轴对称,sin(π-α)=sin_α,cos(π-α)=- cos_α,tan(π-α)=-tan_α. (3)给定一个角 α,则角-α 的终边与角 α 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什 么关系? 提示:-α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴对称,sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α, tan(-α)=-tan_α. 2.归纳总结,核心必记 (1)特殊角的终边对称性 ①π +α 的终边与角 α 的终边关于原点对称,如图①; ②-α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴对称,如图②; ③π -α 的终边与角α 的终边关于 y 轴对称,如图③. (2)诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 sin(α+2kπ )=sin α sin(π +α)=-sin__α sin(-α)=-sin_α sin(π -α)=sin_α cos(α+2kπ )=cos α cos(π +α)=-cos_α cos(-α)=cos_α cos(π -α)=-cos_α tan(α+2kπ )=tan_α tan(π +α)=tan_α tan(-α)=-tan_α tan(π -α)=-tan_α (3)公式一~四的应用 记忆口诀:负化正,大化小,化到锐角再求值. [问题思考] (1)诱导公式一、二、三、四中的角 α 有什么限制条件? 提示:sin(α+2kπ),sin(π±α),sin(-α),cos(α+2kπ),cos(π±α),cos(-α)公式 π 中的 α∈R;而 tan(α+2kπ),tan(π±α),tan(-α)中的 α≠ +kπ,k∈Z. 2 (2)在△ABC 中,你认为 sin A 与 sin(B+C) ,cos A 与 cos(B+C)之间有什么关系? 提示:∵A+B+C=π,即 B+C=π-A, 故 sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C), cos A=cos[π-(B+C)]=-cos(B+C). [课前反思] (1)π +α,-α,π -α 的终边与 α 终边的关系: ; (2)诱导公式一、二、三、四的内容: ; (3)公式一~四的应用: . ?讲一讲 1.求下列三角函数值: 119π (1)sin(-1 200°);(2)tan 945°; (3)cos . 6 [尝试解答] (1)sin(-1 200°)=-sin 1 200°=-sin(3?360°+120°)=-sin 120° =-sin(180°-60°)=-sin 60°=- 3 . 2 (2)tan 945°=tan(2?360°+225°)=tan 225°=tan(180°+45°)=tan 45°=1. 119π π π π 3 (3)cos =cos?20π- ?=cos?- ?=cos = . 6 6 2 6? ? ? 6? 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 ?练一练 1.求 sin 585°cos 1 290°+cos(-30°)sin 210°+tan 135°的值. 解:sin 585°cos 1 290°+cos(-30°)sin 210°+tan 135° =sin(360°+225°)cos(3?360°+210°)+cos 30°sin 210°+tan(180°-45°) =sin 225°cos 210°+cos 30°sin 210°-tan 45° =sin(180°+45° )cos(180°+30°)+cos 30°·sin(180°+30°)-tan 45° =sin 45°cos 30°-cos 30°sin 30°-tan 45° = 6- 3-4 2 3 3 1 ? - ? -1= . 2 2 2 2 4 ?讲一讲 cos(-α)tan(7π +α) 2.(1)化简: =________; sin(π -α) sin(1 440°+α)· cos(α-1 080°) (2)化简 =________. cos(-180°-α)· sin(-α-180°) [尝试解答] sin α =1. sin α (1) cos(-α)tan(7π+α) cos αtan(π+α) cos α·tan α = = = sin(π-α) sin α sin α sin(4?360°+α)· cos(3?360°-α) (2)原式= cos(180°+α)· [-sin(180°+α)] = sin α·cos(-α) cos α = =-1. (-cos α)· sin α -cos α 答案:(1)1 (2)-1 利用诱导公式一~四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的; (2)化简时函数名没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变; (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切. ?练一练 sin[(k+1)π +θ]· cos[(k+1)π -θ] 2.化简: (k∈Z). sin(kπ -θ)· cos(kπ +θ) 解:当 k 为奇数时,不妨设 k=2n+1,n∈Z, sin[(2n+2)π+θ]· cos[(2n+2)π-θ] 则原式= sin(2nπ+π-θ)· cos(2nπ+π+θ) = = sin

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