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滕州市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

滕州市实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知全集 U=R,集合 M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和 N={x|x=2k﹣1,k=1,2,…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示, 则阴影部分所示的集合的元素共有( )

姓名__________

分数__________

A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.无穷多个 2. 圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是(
2 2



A.

B. 2 ? 1

C.

3. 若复数满足 A.1

1? i 7 ? i (为虚数单位),则复数的虚部为( z B. ?1

2 ?1 2

D. 2 2 ? 1 ) C. D. ?i (a5+a7+a9)的值是( )

4. 已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*),且 a2+a4+a6=9,则 log A.﹣ B.﹣5 C.5 D.

5. 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径,则圆柱、圆锥、球的体积的比为( A.1:2:3 A. B. B.2:3:4 C.2 D.﹣2 C.3:2:4 D.3:1:2 ) 6. 已知向量 =(1,2), =(m,1),如果向量 与 平行,则 m 的值为(



7. 已知双曲线 C 的一个焦点与抛物线 y2=8 渐近线方程是( A.y=± x B.y=± ) C.xy=±2 x

x 的焦点相同,且双曲线 C 过点 P(﹣2,0),则双曲线 C 的

D.y=±

x )

  8. 设集合 S=|x|x<﹣1 或 x>5},T={x|a<x<a+8},且 S∪T=R,则实数 a 的取值范围是( A.﹣3<a<﹣1 B.﹣3≤a≤﹣1 9. 若函数 f ( x) ? ? A.1 C.a≤﹣3 或 a≥﹣1 D.a<﹣3 或 a>﹣1 )

?1 ? x 2 , x ? 1, 3 1 x ? 的零点个数为( 则函数 y ? f ( x) ? 3 2 ?ln x, x ? 1,
B.2 C.3

D.4

10.某工厂生产某种产品的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)有如表几组样本数据 : x 3 4 5 6

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y

2.5

3

4

4.5 ) =0.7x+1 C. =0.7x+2.05 D. =0.7x+0.45

据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得其回归直线的斜率为 0.7,则这组 样本数据的回归直线方程是( A.   =0.7x+0.35 B.

11.圆 ( x - 2) + y = r ( r > 0 )与双曲线 x 2 A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 2

2

2

2

y2 = 1 的渐近线相切,则 r 的值为( 3



【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识, 意在考查基本运算能力. 12.直线 2x+y+7=0 的倾斜角为(  ) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不存在

二、填空题
13.已知双曲线
2

的一条渐近线方程为 y=x,则实数 m 等于      .
2

14.已知圆 C 的方程为 x ? y ? 2 y ? 3 ? 0 ,过点 P ? ?1, 2 ? 的直线与圆 C 交于 A, B 两点,若使 AB 最小则直线的方程是 . 15.满足关系式{2,3}?A?{1,2,3,4}的集合 A 的个数是      . 16.已知两个单位向量 a, b 满足: a ? b ? ?

? ?

? ?

? ? 1 ,向量 2a ? b 与的夹角为,则 cos ? ? 2

.

17.球 O 的球面上有四点 S,A,B,C,其中 O,A,B,C 四点共面,△ABC 是边长为 2 的正三角形,平面 SAB⊥平面 ABC,则棱锥 S﹣ABC 的体积的最大值为      .     18.下列命题: ①函数 y=sinx 和 y=tanx 在第一象限都是增函数; ②若函数 f(x)在[a,b]上满足 f(a)f(b)<0,函数 f(x)在(a,b)上至少有一个零点; ③数列{an}为等差数列,设数列{an}的前 n 项和为 Sn,S10>0,S11<0,Sn 最大值为 S5; ④在△ABC 中,A>B 的充要条件是 cos2A<cos2B; ⑤在线性回归分析中,线性相关系数越大,说明两个量线性相关性就越强. 其中正确命题的序号是      (把所有正确命题的序号都写上).    

三、解答题

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19.如图,在 Rt△ABC 中,∠EBC=30°,∠BEC=90°,CE=1,现在分别以 BE,CE 为边向 Rt△BEC 外作正△EBA 和正△CED. (Ⅰ)求线段 AD 的长; (Ⅱ)比较∠ADC 和∠ABC 的大小.

20.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且 ?ABC ? 120? .点 E 是棱 PC 的中点,平面 ABE 与棱 PD 交于点 F . (1)求证: AB / / EF ; (2)若 PA ? PD ? AD ? 2 ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ,求平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余 弦值.

P F D A E C B

【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面,直线与直线垂直的判定,二面角等基础知识,考查空间想象能 力,推理论证能力,运算求解能力,以及数形结合思想、化归与转化思想.

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21.已知函数 f(x)=lnx 的反函数为 g(x). y=k1x 是函数 y=f(﹣x)的图象的切线,直线 m: y=k2x 是函数 y=g(x)图象的切线,求证 l⊥m (Ⅰ)若直线 l: : ; (Ⅱ)设 a,b∈R,且 a≠b,P=g( 大小,并说明理由.   ),Q= ,R= ,试比较 P,Q,R 的

22.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, E、P、Q 分别是棱 AD、SC、AB 的中点,且 SE ? 平面 ABCD .

(1)求证: PQ // 平面 SAD ; (2)求证:平面 SAC ? 平面 SEQ .

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∠DCB=120°, 23. AC=AB, CB=CD, 如图, 四面体 ABCD 中, 平面 ABC⊥平面 BCD, 点 E 在 BD 上, 且 CE=DE . (Ⅰ)求证:AB⊥CE; (Ⅱ)若 AC=CE,求二面角 A﹣CD﹣B 的余弦值.

 

24.(本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S9 ? 90 , S15 ? 240 . (1)求 {an } 的通项公式 an 和前 n 项和 S n ; (2)设 an bn ? 取值范围.

1 , S n 为数列 {bn } 的前 n 项和,若不等式 S n ? t 对于任意的 n ? N* 恒成立,求实数 t 的 (n ? 1)

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滕州市实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:根据题意,分析可得阴影部分所示的集合为 M∩N, 又由 M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3, 即 M={x|﹣1≤x≤3}, 在此范围内的奇数有 1 和 3. 所以集合 M∩N={1,3}共有 2 个元素, 故选 B.   2. 【答案】 B 【解析】 试题分析:化简为标准形式 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ,圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半
2 2

径, d ?

1?1? 2 2

? 2 ,半径为 1,所以距离的最大值是 2 ? 1 ,故选 B.

考点:直线与圆的位置关系 1 3. 【答案】A 【解析】 试题分析:? i ? 1, i ? ?1? i ? i ? ?i ,因为复数满足
4 2 7 3

i ?1 ? i ? 1? i 7 ? ?i A i,? z ? i ? 1 ,所以复数的 ? i ,所以 z z

虚部为,故选 A. 考点:1、复数的基本概念;2、复数代数形式的乘除运算. 4. 【答案】B 【解析】解:∵数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*), ∴an+1=3an>0, ∴数列{an}是等比数列,公比 q=3. 又 a2+a4+a6=9, ∴ 则 log =a5+a7+a9=33×9=35, (a5+a7+a9)= =﹣5.

故选;B.   5. 【答案】D

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【解析】解:设球的半径为 R,则圆柱、圆锥的底面半径也为 R,高为 2R, 则球的体积 V 球= 圆柱的体积 V 圆柱=2πR3 圆锥的体积 V 圆锥= 故圆柱、圆锥、球的体积的比为 2πR3: 故选 D 【点评】本题考查的知识点是旋转体,球的体积,圆柱的体积和圆锥的体积,其中设出球的半径,并根据圆柱 、圆锥的底面直径和高都等于球的直径,依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键.   6. 【答案】B 【解析】解:向量 可得 2m=﹣1. 解得 m=﹣ . 故选:B.   7. 【答案】A 【解析】解:抛物线 y2=8 x 的焦点(2 ,0), , . 双曲线 C 的一个焦点与抛物线 y2=8 双曲线 C 的渐近线方程是 y=± 故选:A. 【点评】本题考查双曲线方程的应用,抛物线的简单性质的应用,基本知识的考查.   8. 【答案】A 【解析】解:∵S=|x|x<﹣1 或 x>5},T={x|a<x<a+8},且 S∪T=R, ∴ ,解得:﹣3<a<﹣1. x. x 的焦点相同,c=2 ,向量 与 平行, : =3:1:2

双曲线 C 过点 P(﹣2,0),可得 a=2,所以 b=2

故选:A.   9. 【答案】D 【 解 析 】

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考点:函数的零点. 【易错点睛】函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点:令 f ( x) ? 0 ,如果能求出解,则有几个解就有几 个零点.(2)零点存在性定理法:要求函数在 [ a, b] 上是连续的曲线,且 f ( a ) f (b) ? 0 .还必须结合函数的图 象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)图象法:先把所求函数分解为两个简单函数,再画 两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 10.【答案】A 【解析】解:设回归直线方程 =0.7x+a,由样本数据可得, 故选 A. 【点评】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.   11.【答案】C =4.5, =3.5.

因为回归直线经过点( , ),所以 3.5=0.7×4.5+a,解得 a=0.35.

12.【答案】C 【解析】【分析】设直线 2x+y+7=0 的倾斜角为 θ,则 tanθ=﹣2,即可判断出结论. 【解答】解:设直线 2x+y+7=0 的倾斜角为 θ, 则 tanθ=﹣2, 则 θ 为钝角. 故选:C.

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二、填空题
13.【答案】 4 .

【解析】解:∵双曲线 又已知一条渐近线方程为 y=x,∴ 故答案为 4.

的渐近线方程为 y= =2,m=4,

x,

【点评】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求得渐近线方程为 y= 的关键.   14.【答案】 x ? y ? 3 ? 0 【解析】

x,是解题

试题分析:由圆 C 的方程为 x ? y ? 2 y ? 3 ? 0 ,表示圆心在 C (0,1) ,半径为的圆,点 P ? ?1, 2 ? 到圆心的距
2 2

离等于 2 ,小于圆的半径,所以点 P ? ?1, 2 ? 在圆内,所以当 AB ? CP 时, AB 最小,此时

kCP ? ?1, k1 ? 1 ,由点斜式方程可得,直线的方程为 y ? 2 ? x ? 1 ,即 x ? y ? 3 ? 0 .
考点:直线与圆的位置关系的应用. 15.【答案】 4 . 【解析】解:由题意知, 满足关系式{2,3}?A?{1,2,3,4}的集合 A 有: {2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,1,4}, 故共有 4 个, 故答案为:4.   16.【答案】 ? 【解析】

2 7 . 7

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考点:向量的夹角. 【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 (1) 求平面向量的数量积有三种方法:一是定义 a ? b ? a b cos ? ;二是坐标运算公式

? ?

? ?

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ;三是利用数量积的几何意义.
 .

(2)求较复杂的平面向量的数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 17.【答案】 

【解析】解:由题意画出几何体的图形如图 由于面 SAB⊥面 ABC,所以点 S 在平面 ABC 上的射影 H 落在 AB 上,根据球体的对称性可知,当 S 在“最 高点”,也就是说 H 为 AB 中点时,SH 最大,棱锥 S﹣ABC 的体积最大. ∵△ABC 是边长为 2 的正三角形,所以球的半径 r=OC= 在 RT△SHO 中,OH= OC= OS CH= .

∴∠HSO=30°,求得 SH=OScos30°=1, ∴体积 V= 故答案是 Sh= . × ×22×1= .

【点评】本题考查锥体体积计算,根据几何体的结构特征确定出 S 位置是关键.考查空间想象能力、计算能 力.   18.【答案】 ②③④⑤  【解析】解:①函数 y=sinx 和 y=tanx 在第一象限都是增函数,不正确,取 x= , , ,但是

,因此不是单调递增函数;

②若函数 f(x)在[a,b]上满足 f(a)f(b)<0,函数 f(x)在(a,b)上至少有一个零点,正确;

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③数列{an}为等差数列,设数列{an}的前 n 项和为 Sn,S10>0,S11<0,∴ =11a6<0, ∴a5+a6>0,a6<0,∴a5>0.因此 Sn 最大值为 S5,正确;

=5(a6+a5)>0,

④在△ABC 中,cos2A﹣cos2B=﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2sin(A+B)sin(B﹣A)<0?A>B,因此正确; ⑤在线性回归分析中,线性相关系数越大,说明两个量线性相关性就越强,正确. 其中正确命题的序号是 ②③④⑤. 【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、 线性回归分析,考查了推理能力与计算能力,属于难题.  

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)在 Rt△BEC 中,CE=1,∠EBC=30°,∴BE= 在△ADE 中,AE=BE= 由余弦定理可得 AD= (Ⅱ)∵∠ADC=∠ADE+60°,∠ABC=∠EBC+60°, ∴问题转化为比较∠ADE 与∠EBC 的大小. 在△ADE 中,由正弦定理可得 ∴sin∠ADE= ∴∠ADE<30° ∴∠ADC<∠ABC. 【点评】本题考查余弦定理的运用,考查正弦定理,考查学生分析解决问题的能力,正确运用正弦、余弦定理 是关键.   20.【答案】 【 解 析 】 < =sin30°, , ,DE=CE=1,∠AED=150°, = ; ,

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∵ BG ? 平面 PAD ,∴ GB ? (0, 3 ,0) 是平面 PAF 的一个法向量,

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21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵函数 f(x)=lnx 的反函数为 g(x). ∴g(x)=ex.,f(﹣x)=ln(﹣x), 则函数的导数 g′(x)=ex,f′(x)= ,(x<0), 设直线 m 与 g(x)相切与点(x1, 则切线斜率 k2= = ),

,则 x1=1,k2=e, = ,则 x2=﹣e,k1=﹣ ,

设直线 l 与 f(x)相切与点(x2,ln(﹣x2)),则切线斜率 k1= 故 k2k1=﹣ ×e=﹣1,则 l⊥m. (Ⅱ)不妨设 a>b, ∵P﹣R=g( )﹣ = ﹣ =﹣

<0,∴P<R,

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∵P﹣Q=g(

)﹣

=



=

=

, 令 φ(x)=2x﹣ex+e﹣x,则 φ′(x)=2﹣ex﹣e﹣x<0,则 φ(x)在(0,+∞)上为减函数, 故 φ(x)<φ(0)=0, 取 x= ,则 a﹣b﹣ ? 令 t(x)= ﹣1+ 则 t′(x)= ﹣ , = ≥0, + <0,∴P<Q, = =1﹣

则 t(x)在(0,+∞)上单调递增, 故 t(x)>t(0)=0, 取 x=a﹣b,则 ∴R>Q, 综上,P<Q<R, 【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小,考查学生的运算和推理能力,综合性 较强,难度较大.   22.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】 试题分析:(1)根据线面平行的判定定理,可先证明 PQ 与平面内的直线平行,则线面平行,所以取 SD 中 点 F ,连结 AF , PF ,可证明 PQ // AF ,那就满足了线面平行的判定定理了;(2)要证明面面垂直,可先 证明线面垂直,根据所给的条件证明 AC ? 平面 SEQ ,即平面 SAC ? 平面 SEQ . 试题解析:证明:(1)取 SD 中点 F ,连结 AF , PF . ∵ P、F 分别是棱 SC、SD 的中点,∴ FP // CD ,且 FP ? ∵在菱形 ABCD 中, Q 是 AB 的中点, ∴ AQ // CD ,且 AQ ? ﹣1+ >0,

1 CD . 2

1 CD ,即 FP // AQ 且 FP ? AQ . 2

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∴ AQPF 为平行四边形,则 PQ // AF . ∵ PQ ? 平面 SAD , AF ? 平面 SAD ,∴ PQ // 平面 SAD .

考点:1.线线,线面平行关系;2.线线,线面,面面垂直关系. 【易错点睛】 本题考查了立体几何中的线与面的关系, 属于基础题型, 重点说说垂直关系, 当证明线线垂直时, 一般要转化为线面垂直,证明线与面垂直时,即证明线与平面内的两条相交直线垂直,证明面面垂直时,转化 为证明线面垂直,所以线与线的证明是基础,这里经常会搞错两个问题,一是,线与平面内的两条相交直线垂 直,线与平面垂直,很多同学会记成一条,二是,面面垂直时,平面内的线与交线垂直,才与平面垂直,很多 同学会理解为两个平面垂直,平面内的线都与另一个平面垂直, 需熟练掌握判定定理以及性质定理. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)证明:△BCD 中,CB=CD,∠BCD=120°, ∴∠CDB=30°, ∵EC=DE,∴∠DCE=30°,∠BCE=90°, ∴EC⊥BC, 又∵平面 ABC⊥平面 BCD,平面 ABC 与平面 BCD 的交线为 BC, ∴EC⊥平面 ABC,∴EC⊥AB. (Ⅱ)解:取 BC 的中点 O,BE 中点 F,连结 OA,OF, ∵AC=AB,∴AO⊥BC,

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∵平面 ABC⊥平面 BCD,平面 ABC∩平面 BCD=BC, ∴AO⊥平面 BCD,∵O 是 BC 中点,F 是 BE 中点,∴OF⊥BC, 以 O 为原点,OB 为 y 轴,OA 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设 DE=2,则 A(0,0,1),B(0, C(0,﹣ ∴ ,0),D(3,﹣2 ,﹣1), ,0), ,0), =(0,﹣ =(3,﹣ ,0),

设平面 ACD 的法向量为 =(x,y,z), 则 ,取 x=1,得 =(1, ,﹣3),

又平面 BCD 的法向量 =(0,0,1), ∴cos< >= =﹣ , .

∴二面角 A﹣CD﹣B 的余弦值为

【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向 量在立体几何中的应用.本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.   24.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查等差数列通项与前 n 项和、数列求和、不等式性质等基础知识,意在考查逻辑 思维能力、运算求解能力、代数变形能力,以及方程思想与裂项法的应用.

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