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2012年全国高考理科数学试题及答案(新课标版)_图文

绝密*启用前

2012 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑。如 需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第一卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 (1)已知集合 A ? {1, 2, 3, 4, 5} , B ? { ( x , y ) x ? A , y ? A , x ? y ? A} ;,则 B 中所含元素 的个数为(
( A) 3


(B) 6 (C ) ? ( D ) ??

【解析】选 D
x ? 5, y ? 1, 2, 3, 4 , x ? 4, y ? 1, 2, 3 , x ? 3, y ? 1, 2 , x ? 2, y ? 1 共 10 个

(2)将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( )
( A ) 12 种 ( B ) 10 种 (C ) ? 种 (D ) ? 种

【解析】选 A 甲地由 1 名教师和 2 名学生: C 2 C 4 ? 1 2 种
1 2

(3)下面是关于复数 z ?
p1 : z ? 2
( A ) p2 , p3
2

2 ?1 ? i

的四个命题:其中的真命题为(
p 3 : z 的共轭复数为 1 ? i
(C ) p ? , p ?



p2 : z ? 2i
(B)

p 4 : z 的虚部为 ? 1
(D ) p? , p?

p1 , p 2

【解析】选 C
z ? 2 ?1 ? i ? 2(?1 ? i) ( ? 1 ? i )( ? 1 ? i )
2

? ?1 ? i

p1 : z ?

2 , p 2 : z ? 2 i , p 3 : z 的共轭复数为 ? 1 ? i , p 4 : z 的虚部为 ? 1

(4)设 F1 F 2 是椭圆 E :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点, P 为直线 x ?

3a 2

上一点,

? F 2 P F1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
?


(D )

( A)

1 2

(B)

2 3

(C )

? ? 3 2

? ? c a 3 4

【解析】选 C
? F 2 P F1 是底角为 30 的等腰三角形 ? P F 2 ? F 2 F1 ? 2 (
?

a ? c) ? 2c ? e ?

?

(5)已知 ? a n ? 为等比 数列, a 4 ? a 7 ? 2 , a 5 a 6 ? ? 8 ,则 a1 ? a10 ? (
( A) 7 (B) 5 (C ) ? ? (D ) ??



【解析】选 D
a4 ? a7 ? 2



a 5 a 6 ? a 4 a 7 ? ? 8 ? a 4 ? 4, a 7 ? ? 2



a 4 ? ? 2, a 7 ? 4 a 4 ? 4, a 7 ? ? 2 ? a1 ? ? 8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ? 7 a 4 ? ? 2, a 7 ? 4 ? a10 ? ? 8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ? 7

[来源:Zxxk.Com]

(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N ( N ? 2 ) 和 实数 a1 , a 2 , ..., a n ,输出 A , B ,则(
( A ) A ? B 为 a1 , a 2 , ..., a n 的和 (B)
A? B 2



为 a1 , a 2 , ..., a n 的算术平均数

( C ) A 和 B 分别是 a1 , a 2 , ..., a n 中最大的数和最小的数 ( D ) A 和 B 分别是 a1 , a 2 , ..., a n 中最小的数和最大的数

【解析】选 C (7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的 是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
( A) 6 (B) 9 ( C ) ?? ( D ) ??

[来源:Z§xx§k.Com]

【解析】选 B 该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3

此几何体的体积为 V ?

1 3

?

1 2

? 6? 3? 3 ? 9

(8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于 A , B
2

两点, A B ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A)


(C ) ? (D ) ?

2

(B)

2 2

【解析】选 C 设 C : x ? y ? a ( a ? 0 ) 交 y ? 16 x 的准线 l : x ? ? 4 于 A ( ? 4, 2 3 ) B ( ? 4, ? 2 3 )
2 2 2

2

得: a ? ( ? 4) ? (2 3 ) ? 4 ? a ? 2 ? 2 a ? 4
2 2 2

(9) 已知 ? ? 0 , 函数 f ( x ) ? sin (? x ?
( A) [

?
4

) 在(

?
2

, ? ) 上单调递减。 ? 的取值范围是 则 (
( C ) (0 ,



1 5 , ] 2 4

(B) [

1 3 , ] 2 4

1 2

]

( D ) (0, 2 ]

【解析】选 A
? ? 2 ? (? x ?
? ? 1 ? (? x ?

?
4

)?[ )?[

5? 4

, ,

9? 4 5? 4

] 不合题意 排除 ( D ) ] 合题意 排除 ( B )( C )

?
4

3? 4

[来源:Zxxk.Com]

另: ? (? ? 得:

?
2

) ? ? ? ? ? 2 , (? x ?

?
4

)?[
1 2

?
2

? ?

?
4 5
4

, ?? ?

?
4

]?[

? 3?
, 2 2

]

?
2

? ?

?
4

?

?
2

, ?? ?

?
4
1

?

3? 2

?

?? ?

(10) 已知函数 f ( x ) ?

ln ( x ? 1) ? x

;则 y ? f ( x ) 的图像大致为(



【解析】选 B
g ( x ) ? l n ( 1 x ?) x ? ? g ? ? g ?( x ) ? 0 ? ? ? 1 x ? x x ?) ? ( 1? x 0 ?g , x )? 0 ?x ? 0 ? ( g ? x( ) g ? (0 ) 0

得: x ? 0 或 ? 1 ? x ? 0 均有 f ( x ) ? 0

排除 A , C , D

(11) 已知三棱锥 S ? A B C 的所有顶点都在球 O 的求面上,? A B C 是边长为 1 的正三角形, S C 为球 O 的直径,且 S C ? 2 ;则此棱锥的体积为( )
( A)

2 6

(B)

3 6

(C )

2 3

(D )

2 2

【解析】选 A
? A B C 的外接圆的半径 r ?

3 3

,点 O 到面 A B C 的距离 d ?

R ?r
2

2

?

6 3

S C 为球 O 的直径 ? 点 S 到面 A B C 的距离为 2 d ?

2 6 3

此棱锥的体积为 V ?

1 3

S ?ABC ? 2 d ?

1 3

?

3 4

?

2 6 3

?

2 6

另: V ?

1 3

S ?ABC ? 2 R ?

3 6
x

排除 B , C , D

(12)设点 P 在曲线 y ?
( A ) 1 ? ln 2

1 2

e 上,点 Q 在曲线 y ? ln ( 2 x ) 上,则 P Q 最小值为(
2 (1 ? ln 2)



(B)

( C ) 1 ? ln 2

(D )

2 (1 ? ln 2)

【解析】选 A 函数 y ?
1 2
1 e ? x
x

e 与函数 y ? ln ( 2 x ) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称
x

函数 y ?

1 2

e 上的点 P ( x ,

x

1 2

e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ?
x

2 2

设函数 g ( x ) ?

1 2

e ? x ? g ?( x ) ?
x

1 2

e ? 1 ? g ( x ) m in ? 1 ? ln 2 ? d m in ?
x

1 ? ln 2 2

由图象关 于 y ? x 对称得: P Q 最小值为 2 d m in ?

2 (1 ? ln 2 )

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答, 第 22-第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)已知向量 a , b 夹角为 4 5 ,且 a ? 1, 2 a ? b ? 【解析】 b ? _ _ _ _ _ 3 2
? ? 2a ? b ? ? ? ? 2 10 ? (2a ? b) ? 10 ? 4 ? b
2

? ?

?

?

?

?

? 1 0 ;则 b ? _ _ _ _ _

?

? ? ? ? 4 b co s 4 5 ? 1 0 ? b ? 3 2

? x, y ? 0 ? (14) 设 x , y 满足约束条件: ? x ? y ? ? 1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? x? y ?3 ?

【解析】 z ? x ? 2 y 的取值范围为

[ ? 3, 3]

约束条件对应四边形 O A B C 边际及内的区域: O (0, 0), A (0,1), B (1, 2), C (3, 0) 则 z ? x ? 2 y ? [ ? 3, 3]

(15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从 正态分布 N (1 0 0 0, 5 0 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命 超过 1000 小时的概率为
2

【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为

3 8
2

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1 0 0 0, 5 0 ) 得:三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p ?
1 2
2

超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P1 ? 1 ? (1 ? p ) ? 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p 2 ? p1 ? p ? (16)数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? ( ? 1) a n ? 2 n ? 1 ,则 { a n } 的前 6 0 项和为
n

3 4

3 8

【解析】 { a n } 的前 6 0 项和为

1830

可证明: b n ? 1 ? a 4 n ? 1 ? a 4 n ? 2 ? a 4 n ? 3 ? a 4 n ? 4 ? a 4 n ? 3 ? a 4 n ? 2 ? a 4 n ? 2 ? a 4 n ? 16 ? b n ? 16
b1 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 1?0 ? S 1 5 1?0 1 5? 1 4 1 5 ? ? 2 1 6 ? ? 8 3 0 1

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知 a , b , c 分别为 ? A B C 三个内角 A , B , C 的对边, a cos C ? (1)求 A (2)若 a ? 2 , ? A B C 的面积为 3 ;求 b , c 。
3 a sin C ? b ? c ? 0

【解析】 (1)由正弦定理得:
a cos C ? 3 a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C

? sin A co s C ? ?

3 sin A sin C ? sin ( a ? C ) ? sin C
?

3 sin A ? co s A ? 1 ? sin ( A ? 3 0 ) ?
? ? ?

1 2

? A ? 30 ? 30 ? A ? 60

(2) S ?
2

1 2

b c sin A ?
2 2

3 ? bc ? 4

a ? b ? c ? 2 bc cos A ? b ? c ? 4

解得: b ? c ? 2 (l fx lby) 18.(本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后以每枝 10 元的 价格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式。 (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列, 数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由。 【解析】 (1)当 n ? 1 6 时, y ? 1 6 ? (1 0 ? 5) ? 8 0

当 n ? 1 5 时, y ? 5 n ? 5(16 ? n ) ? 10 n ? 80
?1 0 n ? 8 0 ( n ? 1 5) ? 80 (n ? 16)

得: y ? ?

(n ? N )

(2) (i) X 可取 6 0 , 7 0 , 8 0
P ( X ? 60) ? 0.1, P ( X ? 70) ? 0.2, P ( X ? 80) ? 0.7
X 的分布列为

X
P

60

70

80

0.1

0 .2

0 .7

E X ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76
D X ? 16 ? 0.1 ? 6 ? 0.2 ? 4 ? 0.7 ? 44
2 2 2

(ii)购进 17 枝时,当天的利润为
y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1 ? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76 .4

7 6 .4 ? 7 6 得:应购进 17 枝

(19) (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A C ? B C ?
D 是棱 AA 1 的中点, DC 1 ? BD

1 2

A A1 ,

(1)证明: DC 1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C 1 的大小。
[来源:Z*xx*k.Com]

【解析】 (1)在 Rt ? D AC 中, A D ? A C 得: ? A D C ? 4 5
?

同理: ? A1 D C 1 ? 4 5 ? ? C D C 1 ? 9 0

?

?
[来源:学科网]

得: D C 1 ? D C , D C 1 ? B D ? D C 1 ? 面 B C D ? D C 1 ? B C (2) D C 1 ? B C , C C 1 ? B C ? B C ? 面 A C C 1 A1 ? B C ? A C 取 A1 B1 的中点 O ,过点 O 作 O H ? B D 于点 H ,连接 C 1O , C 1 H
A1 C 1 ? O H? B1 C 1 ? B D? C1 O ? C H ? A B A1 B1C 1 ? 面 A1 B D ? C 1O ? 面 A1 B D ,面 1 1 B得:点 H 与点 D 重合 D

1

且 ? C 1 D O 是二面角 A1 ? BD ? C 1 的平面角
2a 2
?

设 A C ? a ,则 C 1 O ?

, C1 D ?
?

2 a ? 2 C 1O ? ? C 1 D O ? 3 0

既二面角 A1 ? BD ? C 1 的大小为 30 (20) (本小题满分 12 分)

设抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准 线为 l , A ? C , 已知以 F 为圆心,
2

F A 为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两点;

(1)若 ? BFD ? 90 , ? ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;
0

(2)若 A , B , F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m , n 距离的比值。

【解析】 (1)由对称性知: ? B F D 是等腰直角 ? ,斜边 B D ? 2 p

点 A 到准线 l 的距离 d ? F A ? F B ?
S ?ABD ? 4 2 ?
2

2p

1 2

? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2
2

圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8
x0
2

(2)由对称性设 A ( x 0 ,

2p

)( x 0 ? 0 ) ,则 F (0 ,

p 2

)

点 A , B 关于点 F 对称得: B ( ? x 0 , p ?

x0

2

)? p?

x0

2

? ?

p 2

2p

2p

? x0 ? 3 p
2

2

3p

得: A ( 3 p ,

3p 2

) ,直线 m : y ? 2

2 x? p ? x? 2 3p

?

p 3y ? 3p 2 ? 0

x ? 2 py ? y ?
2

x

2

? y? ?

x p

?

3 3

? x?

3 3
3 6

p ? 切点 P (

3p 3

,

p 6

)

2p
p 6 3 3 3p 3

直线 n : y ?

?

(x ?

)? x?

3y ?

p ? 0

坐标原点到 m , n 距离的比值为

3p 2

:

3p 6

? 3 。(lfx lby)

(21)(本小题满分 12 分)
x ?1 已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x ) ? f ? (1) e ? f (0 ) x ?

1 2

x ;

2

(1)求 f ( x ) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x ) ?
1 2
x ?1 【解析】 (1) f ( x ) ? f ? (1) e ? f (0 ) x ?

x ? a x ? b ,求 ( a ? 1) b 的最大值。
2

1 2

2 x ?1 x ? f ? ( x ) ? f ? (1) e ? f (0 ) ? x

令 x ? 1 得: f (0) ? 1
x ?1 f ( x ) ? f ? (1) e ?x?

1 2

2 ?1 x ? f (0 ) ? f ? (1) e ? 1 ? f ? (1) ? e

得: f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2

2 x x ? g ( x ) ? f ?( x ) ? e ? 1 ? x

g ? ( x ) ? e ? 1 ? 0 ? y ? g ( x ) 在 x ? R 上单调递增
x

f ? ( x ) ? 0 ? f ? (0) ? x ? 0, f ?( x ) ? 0 ? f ? (0) ? x ? 0

得: f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2

x

2

且单调递增区间为 (0, ? ? ) ,单调递减区间为 ( ? ? , 0 ) (2) f ( x ) ?
1 2 x ? a x ? b ? h ( x ) ? e ? ( a ? 1) x ? b ? 0 得 h ? ( x ) ? e ? ( a ? 1)
2 x

x

①当 a ? 1 ? 0 时, h ? ( x ) ? 0 ? y ? h ( x ) 在 x ? R 上单调递增
x ? ?? 时, h ( x ) ? ? ? 与 h ( x ) ? 0 矛盾

②当 a ? 1 ? 0 时, h ?( x ) ? 0 ? x ? ln( a ? 1), h ?( x ) ? 0 ? x ? ln( a ? 1) 得:当 x ? ln ( a ? 1) 时, h ( x ) m in ? ( a ? 1) ? ( a ? 1) ln ( a ? 1) ? b ? 0
( a ? 1) b ? ( a ? 1) ? ( a ? 1) ln ( a ? 1)( a ? 1 ? 0 )
2 2

令 F ( x ) ? x ? x ln x ( x ? 0) ;则 F ?( x ) ? x (1 ? 2 ln x )
2 2

F ?( x ) ? 0 ? 0 ? x ?

e , F ?( x ) ? 0 ? x ?

e

当x ?

e 时, F ( x ) m ax ?

e 2

当a ?

e ? 1, b ?

e 时, ( a ? 1) b 的最大值为

e 2

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如 图, D , E 分别为 ? A B C 边 A B , A C 的中点,直线 D E 交
? A B C 的外接圆于 F , G 两点,若 C F / / A B ,证明:

(1) C D ? B C ; (2) ? B C D ? ? G B D 【解析】 (1) C F / / A B , D F / / B C ? C F / / B D / / A D ? C D ? B F
CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD

(2) B C / / G F ? B G ? F C ? B D
BC / /G F ? ? G D E ? ? BG D ? ? D BC ? ? BD C ? ?BC D ? ?G BD

(23)本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C 1 的参数方程是 ?
? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ? (? 为参数 ) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 A B C D 的顶点都在 C 2 上, 且 A , B , C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ( 2 , (1)求点 A , B , C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C 1 上任意一点,求 P A ? P B 【解析】 (1)点 A , B , C , D 的极坐标为 ( 2,
?
3
2 2

?
3

)

? PC

2

? PD

2

的取值范围。
), ( 2, 1 1? 6 )

), ( 2,

5? 6

), ( 2,

4? 3

点 A , B , C , D 的直角坐标为 (1, 3 ), ( ? 3 ,1), ( ? 1, ? 3 ), ( 3 , ? 1)
? x 0 ? 2 co s ? ? y 0 ? 3 sin ?
2

(2)设 P ( x 0 , y 0 ) ;则 ?
t ? PA
2

(? 为 参 数 )

? PB
2

2

? PC

? PD

2

? 4 x ? 4 y ? 40
2 2

? 5 6 ? 2 0 sin ? ? [5 6, 7 6 ] (l fxlby)

(24) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? x ? a ? x ? 2

(1)当 a ? ? 3 时,求不等式 f ( x ) ? 3 的解集; (2)若 f ( x ) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2 ] ,求 a 的取值范围。 【解析】 (1)当 a ? ? 3 时, f ( x ) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3
x? 2 2? x?3 x?3 ? ? ? ? ? 或? ? 或? ? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1或x ? 4

(2)原命题 ? f ( x ) ? x ? 4 在 [1, 2 ] 上恒成立
? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2 ] 上恒成立
? ? 2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2 ] 上恒成立
? ?3 ? a ? 0


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