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高三文科数学第一次周练试题


2014 届高三文科数学第一次周练试题 姓名
一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分。 1.设集合 A= ?? 1,0,1,2? , B ? x ? 2 ? x ? 2 ,则 A ? B = A. ?? 1,0,1? B. ?? 1,0?

?

?



) D. x ? 1 ? x ? 0

C. x ? 1 ? x ? 0

?

?


?

?


2.已知命题 P: ?x ? R, sin x ? 1 ;命题 A.p 是假命题 B.q 是真命题

q : ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 ,则下列判断正确的是( C. ? p 是假命题 D. ? q 是假命题
) D. ? (

3.已知向量 a ? ( x,1) , b ? (3,6) ,且 a ? b ,则实数 x 的值为 A.

4.已知两条不同直线 l1 和 l 2 及平面 ? ,则直线 l1 // l 2 的一个充分条件是 A. l1 // ? 且 l 2 // ? C. l1 // ? 且 l 2 ? ? B. l1 ? ? 且 l 2 ? ? D. l1 // ? 且 l2 ? ?

1 2

B. ? 2

C. 2

1 2
)

5.已知等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1, a ? 1, a ? 4 ,则数列的通项公式 an ? A. 4 ? ( )





3 2

n

B. 4 ? ( )

2 3

n

C. 4 ? ( )

3 2

n ?1

D. 4 ? ( ) ( )

2 3

n ?1

6.若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为

4

3 3
正视图 侧视图 俯视图

A. 12 3

B. 36 3

C. 27 3

D.6

1 1 7.在区间 [ ? , ] 上随机取一个数 x, sin x 的值介于 ? 到 之间的概率为 ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 A. B. C. D. 2 3 3 ? 1 2 8.已知抛物线 C 的方程为 x ? y ,过点 A ?0, ? 1? 和点 B?t , 3? 的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 2

? ?

t 的取值范围是(

) B. ? ? ? ?, ?

A. ?? ?,?1? ? ?1,???

? ?

C. ? ?,?2 2 ? 2 2 ,?? D. ? ?,? 2 ? 2 ,?? ? 9.如下图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n (n ? 1, n ? N ) 个点,相应 的图案中总的点数记为 an ,则

?

? ?

?

?

? 2? ? 2 ??? ,?? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?

? ?

?

9 9 9 ? ? ? a2 a3 a3a4 a4 a5

?

9 ?( a2012 a2013



A、

2010 2011
2

B、

2011 2012
0.3

C、

2012 2013

D、

2013 2012
. . .

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答卷中对应题号后的横线上。 10.三个数 a ? 0.3 , b ? log2 0.3, c ? 2 按从小到大的顺序排列是 12. 若 z ? sin ? ? 11. 若不等式 | x ? 4 | ? | x ? 2 |? a 对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围为

3 4 ? ? (cos ? ? )i 是纯虚数,则 tan(? ? ) 的值为 5 5 4

13.若实数 a , b 满足 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 0 ,则称 a 与 b 互补.记 ? ? a, b ? ?

a 2 ? b 2 ? a ? b ,那么

? ? a, b? ? 0 是 a 与 b 互补的

(填“必要而不充分的条件”或 “充分而不必

要的条件”、 “充要条件” 、 “ 既不充分也不必要的条件” ) .

?x ? y ? 2 ? 0 ?4 x ? y ? 4 ? 0 ? 14.设 x 、 y 满足约束条件 ? ,若目标函 数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值为 6 ,则 x ? 0 ? ? ?y ? 0 1 2 log 3 ( ? ) 的最小值为 . a b
15.设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D ,若对于任意 x1 , x2 ? D 且 x1 ? x2 ? 2a ,恒有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2b , 则称点 ? a, b ? 为函数 y ? f ? x ? 图象的对称中心.研究并利用函数 f ? x ? ? x ? 3x ? sin ?? x ? 的对称中心,
3 2

可得 f ?
[

? 1 ? ?? ? 2012 ?

? 2 ? f? ?? ? 2012 ?

? 4022 ? ?f? ?? ? 2012 ?

? 4023 ? f? ?? ? 2012 ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题满分 12 分)某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出 50 名学生,并统计了他们的数学成绩 (成绩均为整数且满分为 100 分),其样本频率分布表如图: (1)估计本次考试的平均分; (2)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩,学校决定成立“二帮一”小 组, 即从成绩在 ?90,100? 的学生中选两位同学, 共同帮助成绩在 ? 40,50? 中的某一位同学,已知甲同学的成绩为 42 分,乙同学成绩为 95 分,求 甲乙两同学恰被安排在同一小组的概率.

0.08

17.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的图象经过点 ? ,1 ? . (1)求 y ? f ( x) 的解析式,并求函数的最小正周期和最值. (2)若 f (

?π ?2

? ?

3 3 ) ? 2sin A ,其中 A 是面积为 的锐角 ?ABC 的内角,且 AB ? 2 ,求 AC 和 BC 的长. 12 2

?

18.(本小题满分 12 分)如图,棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=4, BD= 4 2
[来源:Zxxk.Com]

(1)求证:BD⊥平面 PAC;(2)求二面角 P—CD—B 的大小。 P

A

D

B

C

19. (本题满分 13 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某 幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗 费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系: C ( x) = (1)求 k 的值及 f ( x) 的表达式;

k (0 ? x ? 10), 若不建隔热 3x ? 5

层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ( x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x) 达到最小,并求最小值.

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e = 2 ,点 P 是椭圆上的一点,且 2 2 a b 点 P 到椭圆 E 两焦点的距离之和为 4 2 .
20.(本小题满分 13 分)设椭圆 E: (1)求椭圆 E 的方程; (2) 是否存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ?若存 在,求出该圆的方程;若不存在说明理由。

21.(本题满分 13 分)设平面上的动向量 a=(s,t),b=(-1,t2-k)其中 s,t 为不同时为 0 的两个实 数,实数 k ? 0 ,满足 a⊥b, (1)求函数关系式 s ? f (t ); 并求函数 s ? f (t )在(1,??) 上是单调增函数时,k 的取值范围; ( 2 ) 对 上 述 f (t ),当k ? 0 , 存 在 正 项 数 列 {an }满足f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (an ) ? S n , 其 中
2

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , 试求{an }通项公式; a } 的 前 n 项和 , 若 对 所 有 x ?[?1,1] 和n ? N ? 不 等 式 ( 3 ) 在 第 ( 2 ) 问 的 条 件 下 设 Tn 为 数 列 { n 2n x3 ? mx ? 6 ? T n 恒成立,求 m 的取值范围。

株洲市二中 2014 届高三文科数学第一次周练

参考答案
一、选择题 ACBB CBDDB 二、填空题 10. b ? a ? c 11. a ? 2 12.

-7

13.充要条件

14.1

15.-8046

三、解答题 16、解:(1)成绩在 [80,90) 的频数为 12,频率为 0.24,………… 2 分 所以本次考试的平均分为:

45 ? 0.04 ? 55 ? 0.06 ? 65 ? 0.28 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.24 ? 95 ? 0.08 ? 1.8 ? 3.3 ? 18.2 ? 22.5 ? 20.4 ? 7.6 ? 73.8 分;…………………… 6 分 1 (2)概率为 P ? …………………… 12 分 2 ?π ? 17.解:(Ⅰ) 函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的图象经过点 ? ,1 ? ?2 ?

? m sin

?

2

? cos

?

2

?1

?m ? 1

…………………….2 分

? f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) 4
当x?

?

….4 分 ? 函数的最小正周期 T ? 2? ….4 分

? 2k? (k ? Z ) 时, f ( x) 的最大值为 2 , 4 5? ? 2k? (k ? Z ) 时, f ( x) 最小值为 ? 2 当x? 4
(Ⅱ)因为 f (

?

…………………….6 分

?

12

) ? 2 sin A

即 f(

?

12

) ? 2 sin

?

3

? 2 sin A ∴ sin A ? sin

?
3

∵ A 是面积为

? 3 3 的锐角 ?ABC 的内角, ? A ? …………………….8 分 3 2 1 3 S?ABC ? AB AC sin A ? 3 ? AC ? 3 …………….10 分 2 2 2 2 2 由余弦定理得: BC ? AC ? AB ? 2 ? AB ? AC cos A ? 7 ? BC ? 7 …….12 分
源:Z。xx。k.Com]

18.解:

证:(1)在 Rt?BAD中, AD ? 4, BD ? 4 2 ,

? AB ? 4, ABCD为正方形,因此BD ? AC. ? PA ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD,? BD ? PA. 又 ? PA ? AC ? 4,? BD ? 平面PAC.????6分 (II)由 PA ? 面ABCD, 知AD为PD在平面ABCD的射影, 又CD ? AD. ? CD ? PD, 知?PDA为二面角P ? CD ? B的平面角 .
又 ? PA ? AD,? ?PDA ? 45? ????12分
19.解:(Ⅰ)设隔热层厚度为 xcm ,由题设,每年能源消耗费用为 C ( x) ? 再由 C (0) ? 8 ,得 k ? 40 , 因此 C ( x) ? 而建造费用为 C1 ( x) ? 6 x

k . 3x ? 5

40 . 3x ? 5

最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为

40 800 ? 6x ? ? 6 x(0 ? x ? 10) ……6 分 3x ? 5 3x ? 5 2400 2400 (Ⅱ) f '( x) ? 6 ? ,令 f '( x) ? 0 ,即 ?6. 2 (3x ? 5) (3x ? 5)2 25 解得 x ? 5 , x ? ? (舍去). 当 0 ? x ? 5 时,f '( x) ? 0 , 当 5 ? x ? 10 时, f '( x) ? 0 , 3 800 ? 70 . 故 x ? 5 是 f ( x ) 的最小值点,对应的最小值为 f (5) ? 6 ? 5 ? 15 ? 5 当隔热层修建 5cm 厚时, 总费用达到最小值为 70 万元. ………………13 分 f ( x) ? 20C ( x) ? C1 ( x) ? 20 ?
20.解:(I)依题意知, 2a ? 4 2,? a ? 2 2. ∵e ? ----------1 分

c 2 ---------------3 分 ,∴ c ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 2 . ? a 2 x2 y 2 ----------4 分 ∴所求椭圆 E 的方程为 ? ? 1. 8 4
(II) 假设存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ,设该 圆的切线方程为 y ? kx ? m ----------5 分

? y ? kx ? m ? 解方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,----------------6 分 则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ,-------------------7 分 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ? k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 要使 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 x x ? y y ? 0 ,即 ? ? 0 ,-------------------8 分 OA ? OB ,需使 1 2 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 3m2 ? 8 所以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,所以 k 2 ? ? 0 -------------------9 分 8 ? m2 ? 2 2 6 2 6 2 2 又 8k ? m ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 ,即存在 m ? 或m ? ? ,(不写此条件的扣 1 分) 3 3 ? 3m ? 8
因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 r ?

m 1? k 2

,

m2 8 ? 2 6 2 , 3m ? 8 3 ,? r ? 1? 3 8 8 ? 所求的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? , -----------------11 分 3 x2 y 2 2 6 2 6 2 6 而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ? 与椭圆 ? ? 1 的两个交点为 ( ,? )或 8 4 3 3 3
2

m2 r ? ? 即: 1? k 2

2 6 2 6 ,? ) 满足 OA ? OB .-----------------12 分 3 3 8 2 2 综上所述, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 3 OA ? OB .----------------13 分 (?
21、解:(1)解: a ? b ? ?s ? t (t 2 ? k ),得s ? f (t ) ? t 3 ? kt;

f ?(t ) ? 3t 2 ? k ? 0对t ?[1,??) 成立, 故 k ? 3t 2得k ? 3, 所以 0 ? k ? 3 ;??4 分
(2)由S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , 得S n ? S n?1 ? an ,即an ? (S n ? S n?1 ) ? an ,因为an ? 0,
2 3 3 3 2 2 3 3

故 S n ? S n?1 ? an , 于是S n?1 ? S n?2 ? an?1 , 两式相减得 an ? an?1 ? an ? an?1 ,
2 2 2 2

因为 an ? an?1 ? 0, 得an ? an?1 ? 1, 又S1 ? a1 , 得a1 ? 1, 所以an ? n,
2 3

??8 分

(3) Tn ?

1 2 3 ? ? ? 2 2 2 23

?

n 2n

2Tn ? 1 ?

相减得: Tn ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? 2 2 2 23

2 3 4 n ? 2 ? 3 ? ? n ?1 2 2 2 2 1 1? n 1 n 1 n n ? n ?1 ? n = 2 ? n = 2 ? n ?1 ? n 1 2 2 2 2 2 1? 2

x 3 ? mx ? 6 ? 2 ?

1 n ? n 恒成立, x3 ? mx ? ?4 在 x ?[?1,1] 上恒成立, n ?1 2 2 3 令 g ( x) ? x ? mx g '( x) ? 3x2 ? m ① m ? 0 时,总有 g '( x) ? 0 , g ( x) 在 [?1,1] 上是增函数, gmin ? g (?1) ? ?1 ? m ? ?4 m ? ?3 ,此时: ?3 ? m ? 0
② m ? 0 时,令 g '( x) ? 3x2 ? m ? 0 , x ? ?

m m ,x? 为 g ( x) 的极小值点, 3 3 ? g (?1) ? ?1 ? m ? ?4 m ? 若 解得: ?3 ? m ? 3 3 4 ? 1 ,即 0 ? m ? 3 ,则 ? m m 3 m 3 )?( ) ? m? ? ?4 ?g( 3 3 3 ? 此时: 0 ? m ? 3 ? g (?1) ? ?1 ? m ? ?4 m 若 解得: ?3 ? m ? 5 综上: ?3 ? m ? 5 ------13 分 ? 1 ,即 m ? 3 ,则 ? 3 ? g (1) ? 1 ? m ? ?4


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