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2013年高校自主招生文科数学指导与限时训练6

2013 年高校自主招生数学指导与限时训练 6(90 分钟)
一、选择: 1、在区间[0,?]中,三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是( (A)6 (B)7 (C)8 (D)5

) .

2.已知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, 记 Sn=x1+x2+?+xn,则下列结论正确的是 ( ) (A)x100??a,S100=2b?a (B)x100??b,S100?2b?a (C)x100??b,S100=b?a (D)x100??a,S100?b?a AE CF 3. 如图, 正四面体 ABCD 中, E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得 = =λ EB FD (0<λ<+∞),记 f(λ)=αλ+βλ 其中 αλ 表示 EF 与 AC 所成的角,βλ 表示 EF 与 BD 所 成的角,则( ) (A) f(λ)在(0,+∞)单调增加 (B) f(λ)在(0,+∞)单调减少 (C) f(λ) 在(0,1)单调增加,而在(1,+∞单调减少 (D) f(λ)在(0,+∞)为常数 二、填空: 4.设 x,y 为实数,且满足 ?
3 ? ?( x ? 1) ? 2013( x ? 1) ? ?1 ,则 x+y ? 3 ( y ? 1) ? 2013( y ? 1) ? 1 ? ?

A

E B F C D

.

5. 定义: 等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad). 如 图①在△ ABC 中,AB=AC,顶角 A 的正对记作 sadA,这时 sadA ?

A

B

底边 BC 3 ? . 如图②,已知 sinA ? ,其中∠A 为 5 腰 AB
. B C C 图② A

锐角,则 sadA 的值为

图① 三、解答: 6.求使不等式 sin2x+acosx+a2≥1+cosx 对一切 x∈R 恒成立的负数 a 的取值范围。

高校自主招生训练六

1

?y≤3xx, 7.直角坐标平面上,求满足不等式组? y≥3, 的整点个数. ? x+y≤100

8.在三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心,D 为 AB 的中点, 作与 SC 平行的直线 DP.
S Q A D D‘ M B P C

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2

9、设正数列 a0、a1、a2、…、an、…满足
求{an}的通项公式.

anan-2 - an-1an-2 =2an-1,(n≥2),且 a0=a1=1,

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3

10、设双曲线 xy?1 的两支为 C1,C2(如图),正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上. (Ⅰ)求证:P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上; (Ⅱ)设 P(?1,?1)在 C2 上, Q、R 在 C1 上,求顶点 Q、R 的坐标.

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4

2013 年高校自主招生数学指导与限时训练 6(90 分钟)
一、选择: 1、在区间[0,?]中,三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是( (A)6 (B)7 (C)8 (D)5

) .

1 解:7x=5x+2kπ,或 7x=-5x+2kπ,(k∈Z)?x=kπ,x= kπ (k∈Z),共有 7 解. 6 2.已知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, 记 Sn=x1+x2+?+xn,则下列结论正确的是 ( ) (A)x100??a,S100=2b?a (B)x100??b,S100?2b?a (C)x100??b,S100=b?a (D)x100??a,S100?b?a 解:x1=a,x2=b,x3=b-a,x4=-a,x5=-b,x6=a-b,x7=a,x8=b,….易知此数列循环,xn+6=xn, 于是 x100=x4=-a, 又 x1+x2+x3+x4+x5+x6=0,故 S100=2b-a.选 A. AE CF 3.如图,正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得 = =λ EB FD (0<λ<+∞),记 f(λ)=αλ+βλ 其中 αλ 表示 EF 与 AC 所成的角,βλ 表示 EF 与 BD 所 成的角,则( ) (A) f(λ)在(0,+∞)单调增加 (B) f(λ)在(0,+∞)单调减少 (C) f(λ) 在(0,1)单调增加,而在(1,+∞单调减少 (D) f(λ)在(0,+∞)为常数 AE CG CF 解: 作 EG∥AC 交 BC 于 G, 连 GF, 则 = = , 故 GF∥BD. 故∠GEF=αλ, EB GB FD ∠GFE=βλ,但 AC⊥BD,故∠EGF=90° .故 f(λ)为常数.选 D. 二、填空:
3 ? ?( x ? 1) ? 2013( x ? 1) ? ?1 4.设 x,y 为实数,且满足 ? ,则 x+y ? 3 ? ?( y ? 1) ? 2013( y ? 1) ? 1

A

E B F C D

.

解:原方程组即 ?

?( x ? 1)3 ? 2013( x ? 1) ? 1 ? 0 ? 3 ? ?(1 ? y ) ? 2013(1 ? y ) ? 1 ? 0
A B

取 f(t)=t3+2013t+1,f ?(t)=3t2+2013>0.f(t)单调增, 故 x-1=1-y,x+y=2. 5.定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图 ①在△ ABC 中,AB=AC,顶角 A 的正对记作 sadA,这时

底边 BC 3 ? sadA ? . 如图②,已知 sinA ? ,其中∠A 为 5 腰 AB
锐角,则 sadA 的值为 .

B

图①

C B

C

图②

A

法一:设 AB=5a,BC=3a,则 AC=4a 如图,在 AC 延长线上取点 D 使 AD=AB=5a,连接 BD.则 CD=a BD ?

CD 2 ? BC 2 ? a 2 ? (3a) 2 ? 10a
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D

C

A

∴sadA ?

BD 10 ? AD 5

4 10 4 10 CE 5 10 法二:在 AB 上取点 E,使 AE=AC=4,由余弦定理,得 CE= ,sadA ? ? ? 5 AC 4 5
三、解答: 6.求使不等式 sin2x+acosx+a2≥1+cosx 对一切 x∈R 恒成立的负数 a 的取值范围。 解:∵sin2x+acosx+a2≥1+cosx

a ?1 2 (a ? 1) 2 2 ) ?a ? ∴ (cos x ? 2 4
∵a<0, ∴当 cosx=1 时,函数 y ? (cos x ? ∴ (1 ?

a ?1 2 a ?1 2 ) 有最大值 (1 ? ) 2 2

a ?1 2 (a ? 1) 2 ) ? a2 ? ? a2+a-2≥0 ? a≤-2 或 a≥1 2 4

∵a<0 ∴负数 a 的取值范围是(-∞,2]

?y≤3xx, 7.直角坐标平面上,求满足不等式组? y≥3, 的整点个数. ? x+y≤100
解:如图,即△OAB 内部及边界上的整点.由两轴及 x+y=100 围成 区域(包括边界)内的整点数=1+2+3+…+101=5151 个. 1 1 由 x 轴、y= x,x+y=100 围成区域(不包括 y= x 上)内的整点数(x=1, 3 3 2,3 时各有 1 个整点,x=4,5,6 时各有 2 个整点,…,x=73,74,75 时有 25 个整点,x=76,77,…,100 时依次有 25,24,…,1 个整点.共 有 3×1+3×2+…+3×25+25+24+…+1=4(1+2+…+25)=1300.由对称性, 由 y 轴、y=3x、x+y=100 围成的区域内也有 1300 个整点. ∴所求区域内共有 5151-2600=2551 个整点.
100

y y=3x
B(25,75)

20

A(75,25)
20 100

1 y= x 3 x

O

8.在三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心,D 为 AB 的中点, 作与 SC 平行的直线 DP. 证明:(1)DP 与 SM 相交;(2)设 DP 与 SM 的交点为 D? ,则 D? 为三棱锥 S—ABC 的外接球球心. ⑴ 证明:∵ DP∥SC,故 DP、CS 共面. S ∴ DC?面 DPC, Q ∵ M∈DC,?M∈面 DPC,SM?面 DPC. ∵ 在面 DPC 内 SM 与 SC 相交,故直线 SM 与 DP 相交. A M C ⑵ ∵ SA、SB、SC 两两互相垂直,∴ SC⊥面 SAB,SC⊥SD. D B ∵ DP∥SC,∴ DP⊥SD.△DD?M∽△CSM, D‘ P ∵ M 为△ABC 的重心,∴ DM∶MC=1∶2.∴ DD?∶SC=1∶2. 取 SC 中点 Q,连 D?Q.则 SQ=DD?,?平面四边形 DD?QS 是矩形. ∴ D?Q⊥SC,由三线合一定理,知 D?C=PS. 同理,D?A= D?B= D?B= D?S.即以 D?为球心 D?S 为半径作球 D?.则 A、B、C 均在此球上.即 D?为三
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棱锥 S—ABC 的外接球球心.

9、设正数列 a0、a1、a2、…、an、…满足
且 a0=a1=1,求{an}的通项公式. 解:变形,同除以 an-1an-2 得: 令 an +1=bn,则得 bn=2bn-1. an-1

anan-2 - an-1an-2 =2an-1,(n≥2)

an =2 an-1

an-1 +1, an-2

即{bn}是以 b1= ∴ bn=2n. ∴

1 +1=2 为首项,2 为公比的等比数列. 1

an =(2n-1)2.故 an-1
?

∴ ?

a0=1, n 2 n-1 2 1 2 ? an=(2 -1) (2 -1) …(2 -1) .(n≥1)

10、设双曲线 xy?1 的两支为 C1,C2(如图),正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上. (1)求证:P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上; (2)设 P(?1,?1)在 C2 上, Q、R 在 C1 上,求顶点 Q、R 的坐标. 1 1 1 解:设某个正三角形的三个顶点都在同一支上.此三点的坐标为 P(x1, ),Q(x2, ),R(x3, ).不 x1 x2 x3
1 1 1 妨设 0<x1<x2<x3,则 > > >0. x1 x2 x3 kPQ= y2-y1 1 1 =- ;kQR=- ; x x x x2-x1 1 2 2x3
O y
Q R

1 1 - + x1x2 x2x3 tan∠PQR= <0,从而∠PQR 为钝角.即△PQR 不可能是正 1 1+ 2 x1x3x2 三角形.

x

P

1 ⑵ P(-1,-1),设 Q(x2, ),点 P 在直线 y=x 上.以 P 为圆心,|PQ|为半径作圆,此圆与双曲线第 x2 一象限内的另一交点 R 满足|PQ|=|PR|,由圆与双曲线都是 y=x 对称,知 Q 与 R 关于 y=x 对称.且在第一 1 象限内此二曲线没有其他交点(二次曲线的交点个数).于是 R( ,x2). x2 3 3 ∴ PQ 与 y=x 的夹角=30° ,PQ 所在直线的倾斜角=75° .tan75° = =2+ 3. 3 1- 3 1+ PQ 所在直线方程为 y+1=(2+ 3)(x+1),代入 xy=1,解得 Q(2- 3,2+ 3),于是 R(2+ 3,2- 3).

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