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高一数学必修一《恒成立与存在性问题》专题复习


第一部分《零点问题》专题复习
利用函数零点的存在定理确定出零点是否存在,或者通过解方程,数形结合解出其零点。 (1) 可以利用零点的存在性定理或直接解方程求出零点。 (2) 可以利用零点的存在性定理或利用两函数图象的交点来确定函数是否有零点。 对函数零点存在的判断中,必须强调: (1) f(x)在(a,b)上连续 (2) f(a)f(b) 《0 (3) 在(a,b)上存在零点 专题训练:

? 4x ? 4, x ? 1 1、函数 f ? x ? ? ? 2 的图象和函数 g ?x ? ? log2 x 的图象的交点个数是 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1
A.4 B.3 C.2 ) D.(1,2) ) D.1

2、函数 f ( x) ? log2 x ? 2 x ? 1 的零点必落在区间( A. ? 1 , 1 ? ? ?
?8 4?

B. ? 1 , 1 ? ? ?
? 4 2?

C. ? 1 ,1? ? ?
?2 ?

3、数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ? 可以是( A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? ex ?1
1 4.若 x0 是方程 ( ) x ? x 3 的解,则 x0 属于区间( 2 ?2 ? ?1 2? ?1 1? A. ? ,1? . B. ? , ? . C. ? , ? ?3 2? ?3 ? ?2 3? ? 1? D. ? 0, ? ? 3?
1

B. f ? x ? ? ( x ?1)2
1 D. f ( x ) ? ln (x ? ) 2



5.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间( A. (0,1). B. (1,1.25). C. (1.25,1.75)
1

) D. (1.75,2)

6.函数 f ?x? ? 2 x ? 3x 的零点所在的一个区间是( A. ?? 2,?1? B. ?? 1,0? C. ?0,1?



D. ?1,2? )

7.函数 f ?x? ? e x ? x ? 2 的零点所在的一个区间是( A. ?? 2,?1? B. ?? 1,0? C. ?0,1? D. ?1,2?

8.已知 x0 是函数 f ? x ? ? 2 x ?

1 的一个零点,若 x1 ? ?1, x0 ? , x2 ? ?x0 ,??? ,则 1? x

A. f ?x1 ? ? 0 , f ?x2 ? ? 0 C. f ?x1 ? ? 0 , f ?x2 ? ? 0

B. f ?x1 ? ? 0 , f ?x2 ? ? 0 D. f ?x1 ? ? 0 , f ?x2 ? ? 0 )

?4 x ? 4, x ≤1, 9.函数 f ( x) ? ? 2 的图象和函数 g ( x) ? log2 x 的图象的交点个数是( ? x ? 4 x ? 3,x ? 1
A.4 B.3 C.2 D.1 )

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 10.函数 f ?x ? ? ? 的零点个数为( ? 2 ? ln x, x ? 0 ?
A.0 B.1 C.2 D.3

11.设 m,k 为整数,方程 mx 2 ? kx ? 2 ? 0 在区间(0,1)内有两个不同的根,则 m+k 的最小值为 (A)-8 (B)8 (C)12 (D) 13

12、若函数 f ( x) ? a x ? x ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )有两个零点,则实数 a 的取值范围 是 13、方程 9 x ? 6 ? 3x ? 7 ? 0 的解是 ..

14、已知函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 在 [?2,2] 的图象如下所示:

2

给出下列四个命题: ①方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 ③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确的命题是 ②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 . (将所有正确的命题序号填在横线上).

15、已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程
f ( x ) ? m(m ? 0) 在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.

?2 x?2 ? , 16.已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则数 k 的取值范 3 ?( x ? 1) , x ? 2 ?
围是_______ 17.方程 2? x ? x 2 ? 3 的实数解的个数为 . 。

18.若函数 f ?x? ? a x ? x ? a ?a ? 0.a ? 1?有两个零点,则实数 a 的取值范围是 19.直线 y =1 与曲线 y ? x 2 ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是 。

第二部分《恒成立与存在性问题》专题复习
恒成立问题:思考方向是最值问题 存在性问题:思考方向是零点问题,也可转化为函数与 x 轴交点,或最值问题(反向考虑为恒 成立问题)

3

专题训练: 1 . 函 数 f ? x ? = a x2+2x+1 ,若对任意 x ? [1,??) , f (x) ? 0 恒成立 , 则实数 a 的取值范围 是 。
1 2

2.若函数 f ( x) ? loga (2x 2 ? x)(a ? 0, a ? 1) 在区间(0, )内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 的单调递增区间 为 ( )
1 4

(A) (?? , ? ) 3.

(B) (? , ?? )

1 4

(C)(0, ?? )

(D) (?? , ? )

1 2

已知函数 f ( x ) 对一切实数 x , y ? R 都有 f ( x ? y ) ? f ( y ) ? x( x ? 2 y ? 1) 成立,且 f (1) ? 0 . (2)求 f ( x ) 的解析式;

(1)求 f (0) 的值;

4.已知定义域为 R 的奇函数 f ( x) 满足 f (log 2 x) ?

?x ? a x ?1

.

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)判断并证明 f ( x) 在定义域 R 上的单调性; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围;

5.已知函数 f ? t ? ? log 2 t , t ? ? 2,8? . ? ?
4

(1)求 f ? t ? 的值域 G; (2)若对于 G 内的所有实数 x ,不等式 ? x2 ? 2mx ? m2 ? 2m ? 1 恒成立,求实数 m 的取值 范围.

6.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? a ? 3 , g ( x) ? m x ? 5 ? 2m (1)若 y ? f (x) 在[-1,1]上存在零点,求实数 a 的取值范围; (2)当 a=0 时,若对任意的 x1 ∈[1,4],总存在 x2 ∈[1,4],使 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立,求实 数 m 的取值范围;

5

7. 已知函数 f ( x) ? 3x2 ? 2(k 2 ? k ? 1) x ? 5 , g ( x) ? 2k 2 x ? k ,其中 k ? R .

? g ( x), x ? 0, (2) 设函数 q( x) ? ? 是否存在 k , 对任意给定的非零实数 x1 , 存在惟一的非零实数 x2 ? f ( x), x ? 0.
( x2 ? x1 ) ,使得 q( x2 ) ? q( x1 ) ?若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由.

6


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