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高二数学上学期期末复习训练(六)2007.1.25空间向量单元

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高二数学上学期期末复习训练(六)
出题人:广东省阳江市第一中学周如钢 (40

分钟完成)(空间向量单元)

一、选择题:(本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 请把答案填入后面指定的空格里. 1.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a, CB ? b, CC1 ? c, 则A B ? ( 1 (A) a ? b ? c

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? ??? ?

? ???? ? ?
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) (D) ?a ? b ? c )

? ? ?

(B) a ? b ? c

? ? ?

(C) ?a ? b ? c

? ? ?

2.已知 a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? ( b ? 0 ),则 a // b 的充要条件为( (A) x1 ? 2
x y1 y2

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z1 z2

(B) x1 y2 ? x2 y1 或 y1 z 2 ? y2 z1 (C)存在唯一实数 ? 使 a ? ? b (D) b ? ? a

?

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3.若向量 a 、 b 的坐标满足 a ? b ? (?2, ?1, 2) , a ? b ? (4, ?3, ?2) ,则 a · 等于( b (A) ? 5

?

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)

(B) 5 (C) 7 (D) ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? 4.若向量 m 垂直向量 a 和 b , 且 a 与 b 不共线, 向量 n ? ? a ? ?b(?, ? ? R且? 、 ? ? 0) ,则( ) (A) m // n

?? ?

(B) m ? n

??

?

(C) m不平行且不垂直于n

??

?

(D)以上三种情况都可能

5.下列命题是真命题的是 (A)分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量 (B)若 a ? b ,则 a , b 的长度相等而方向相同或相反 (C)若向量 AB , CD 满足 AB ? CD ,且 AB 与 CD 同向,则 AB ? CD (D)若两个非零向量 AB 与 CD 满足 AB ? CD ? 0 ,则 AB // CD 6.已知向量 a ? (0,1, ?1), b ? (1,0, 2) ,若向量 ka ? b 与向量 a ? b 互相垂直,则 k 的 值是( (A) ) (B)2 (C)

?

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3 2

5 4

(D)

7 4

7.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, 1 O 为底面的中心,E 是 CC1 的中点,那么异面直线

A1D 与 EO 所成角的余弦值为(
(A)

)

3 2

(B)

2 2

(C)

1 2

(D)0

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二、填空题: 本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分,把答案填在题中横线上. 8.已知 a ? (2,1, ?3) , b ? (4, ?5,1) ,则 a, b =______.

?

?

? ?

9.向量的命题:①若非零向量 a ? ( x , y) ,向量 b ? (? y , x) ,则 a ? b ;②四边形 ABCD

?

?

?

?

??? ???? ??? ???? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? 是菱形的充要条件是 AB ? DC 且 AB ? AD ; ③若点 G 是 ?ABC 的重心, GA ? GB ? CG ? 0 则
④ ?ABC 中, AB 和 CA 的夹角为 180? ? A ,其中正确的命题序号是__________.

??? ?

??? ?

10.已知 A(0, 2,3), B (? 2,1, 6),C (1,? 1,5),若 | a |? 3, 且a ? AB, a ? AC, 则向量 a 的坐标 为 .

?

?

??? ? ?

??? ?

?

班别___________、学号______、姓名___________
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7

8.____________; 9.__________; 10.____________; 三、解答题: 本大题共两小题,每小题 15 分,共 30 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 11.已知正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,E 恰为棱 CC1 的中点, 求证:平面 A1 BD ⊥平面 EBD ;

12.已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1中,E为AB中点,如图

⑴求证:AC ? BD 1 ⑵设P为正方体对角线AC上任意一点,问AC与平面PEB1所成 1 1 的角是否有最大值和最小值,若有,请求出;若没有,请说明理由.

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高二数学上学期期末复习训练(六)答案(空间向量单元)
DCABD DD 8.

? 2

9.①②④ 10.(1,1,1)或(-1,-1,-1)

11.以 DA, DC, DD1 所在直线为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标系, (Ⅰ) A? a,0,0? , B ? a, a,0? , C ?0, a,0? , A1 ? a,0, a ? , C1 ?0, a, a ? ,由题设, E ? 0, a, a ? ,设 BD 的中点为 ? ?
2? ? ??? ? a a a ? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?a a ? O, 则O ? , , 0 ? , OE ? ? ? , , ? , BD ? ? ?a, ?a, 0 ? , 则OE ? BD ? 0,? OE ? BD . ? 2 2 2? ?2 2 ? ???? ? a a ? ???? ??? ? ???? ??? ? OA1 ? ? , ? , a ? , 则OA1 ? BD ? 0,?OA1 ? BD ,? ?A1OE 为二面角 A1 ? BD ? E 的平面角. ?2 2 ?

???? ??? ? ∵ OA1 ? OE ? 0 ,则 ?A1OE ? 90?, ? 平面A1 BD ? 平面EBD.

12.解: 证明:以D为坐标原点,以DA、DC、DD1分别为x轴,y轴,z轴, (1) 1 建立空间直角坐标系,则:A1 (1,0,1), B(1,1,0), C (0,1,0), B1 (1,1,1) E (1, ,0) 2 ???? ??? ? ???? ??? ? AC ? (?1,1, ?1), BD ? (?1, ?1,0) ? AC ? BD ? (?1,1, ?1) ? (?1, ?1,0) ? 0 ? AC ? BD 1 1 1

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???? ???? ???? ???? ???? 1 1 (2)令 A1 P ? ? A1C , ? ? [0,1]? B1 E ? (0, ,1), EA1 ? (0, ? ,1), A1C ? (?1,1, ?1) 2 2 ??? ???? ???? ? ? 1 ? EP ? EA1 ? A1 P ? (?? , ? ? ,1 ? ? ), 平面PEB1的法向量n ? (2 ? 3? , ?2? , ? ) 2 ???? ? | A1C ? n | 2 3 设A1C与平面PEB1所成角为?,则 sin ? ? ???? ? ? | A1C | ? | n | 3 10 3 14(? ? ) 2 ? 7 7 3 210 210 当? ? 时, ? 最大值为 sin ,?的最大值为arc sin 7 15 15 2 2 当? ? 1时, ? 最小为 sin ,?的最小值为arc sin . 最大值与最小值均存在 ? 3 3


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