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高中数学3-3-1《导数在研究函数中的应用-单调性》课件新人教A版选修


3.3.1《导数在研究 函数中的应用-单调性》

教学目标
? 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的 原理; ? 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 ? 教学重点: ? 利用导数判断函数单调性.

函数的单调性与导数
情境设置 探索研究 演练反馈 创新升级 总结提炼 作业布置

画出下列函数的图像,并根据图像指出每个函数的单调区间

1 y? x
y

y ? x ? 2x ? 1
2

y ?3
y

x

y

o

x

o

1

x

1 o

x

在(- ∞ ,0)和(0, + ∞)上分别是减函数。 但在定义域上不是减函数。

在(- ∞ ,1)上是减 函数,在(1, +∞)上 是增函数。

在(- ∞,+∞) 上是增函数

概念回顾

单调性的概念
对于给定区间上的函数f(x):
1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时, 都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 对于函数y=f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性 质,叫做f(x)在这个区间上的单调性,这个区间叫做f(x) 的单调区间。 首页

新课引入
y

1.在x=1的左边函数图像的单 调性如何? 2.在x=1的左边函数图像上的各 点切线的倾斜角为 (锐角/ 钝角)?他的斜率有什么特征?
x 3.由导数的几何意义,你可以得

o

1

到什么结论?
4.在x=1的右边时,同时回答 上述问题。 首页

? ? ? ? ?

定理: 一般地,函数y=f(x)在某个区间内可导: 如果恒有 f′(x)>0,则 f(x) 是增函数。 如果恒有 f′(x)<0,则f(x) 是减函数。 如果恒有 f′(x)=0,则f(x) 是常数。

例1.确定函数 f ( x) ? x ? 4x ? 5 在哪个区 间是减函数?在哪个区间上是增函数?
2

解: (1)求函数的定义域 函数f (x)的定义域是(- ∞,+∞) (2)求函数的导数

y

f ' ( x) ? 2 x ? 4 f ( x) ? 0以及
'

(3)令

f ' ( x) ? 0

o

2 x

求自变量x的取值范围,也即函数的单调区间。 令2x-4>0,解得x>2 ∴x∈(2,+∞)时, f ( x ) 是增函数 令2x-4<0,解得x<2 ∴x∈(-∞,2)时,

f ( x)

是减函数

确定函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 7 ,在哪个区 间是增函数,那个区间是减函数。
3 2

y 解:函数f(x)的定义域是(- ∞,+∞)

f ( x) ? 6x ?12x
' 2

令6x2-12x>0,解得x>2或x<0
∴当x ∈(2,+∞)时,f(x)是增函数; 当x ∈(-∞,0)时,f(x)也是增函数

o

x

令6x2-12x<0,解得,0<x<2

∴当x ∈(0,2)时,f(x)是减函数。

首页

知识点:
定理:
一般地,函数y=f(x)在某个区间内可导:
’ 如果恒有 f (x)>0 ,则 f(x)在是增函数。

如果恒有 f’(x)<0 ,则 f(x)是减函数。 如果恒有 f’(x)=,则 0 f(x)是常数。

步骤: (1)求函数的定义域

(2)求函数的导数
(3)令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围,即 函数的单调区间。

练习:判断下列函数的单调性
? ? ? ? (1)f(x)=x3+3x; (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; (4)f(x)=ex-x;

作业布置:

书本P107

A 1.(1)(2),2.(2)(4).

第二教材 A


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