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高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课时训练含解析


1.4.3

正切函数的性质与图象

课时目标 1.了解正切函数图象的画法, 理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图 象及性质解决有关问题.

函数 y=tan x 的性质与图象见下表:

y=tan x

图象

定义域 值域 周期 奇偶性 单调性

__________________________ ______ 最小正周期为______ __________ 在开区间______________________内递增

一、选择题 π 1.函数 y=3tan(2x+ )的定义域是( 4 π A.{x|x≠kπ + ,k∈Z} 2 k 3π B.{x|x≠ π - ,k∈Z} 2 8 k π C.{x|x≠ π + ,k∈Z} 2 8 D.{x|x≠ π ,k∈Z} 2 π 2.函数 f(x)=tan(x+ )的单调递增区间为( 4 π π A.(kπ - ,kπ + ),k∈Z 2 2 B.(kπ ,(k+1)π ),k∈Z 3π π C.(kπ - ,kπ + ),k∈Z 4 4 π 3π D.(kπ - ,kπ + ),k∈Z 4 4 1 π ? ? 3.函数 y=tan? x- ?在一个周期内的图象是( 3? ?2 ) )

k

)

1

? π? 4.下列函数中,在?0, ?上单调递增,且以 π 为周期的偶函数是( ) 2? ? A.y=tan|x| B.y=|tan x| C.y=|sin 2x| D.y=cos 2x 5.下列各式中正确的是( ) A.tan 735°>tan 800° B.tan 1>-tan 2 5π 4π 9π π C.tan <tan D.tan <tan 7 7 8 7 π π ?π ? 6.函数 f(x)=tan ω x (ω >0)的图象的相邻两支截直线 y= 所得线段长为 ,则 f? ?的 4 4 ?4? 值是( ) π A.0 B.1 C.-1 D. 4
题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.函数 y= tan x-1的定义域是____________. π π 8.函数 y=3tan(ω x+ )的最小正周期是 ,则 ω =____. 6 2 9.已知 a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则 a,b,c 按从小到大的排列是________________. ? π? 10.函数 y=3tan?x+ ?的对称中心的坐标是_________________________________. 3? ? 三、解答题 11.判断函数 f(x)=lg tan x+1 的奇偶性. tan x-1

?x π ? 12.求函数 y=tan? - ?的定义域、周期、单调区间和对称中心. ?2 3 ?

2

能力提升 13.函数 y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间?

?π ,3π ?内的图象是( 2 ? ?2 ?

)

π π 14.已知函数 y=tan ω x 在(- , )内是减函数,则( 2 2 A.0<ω ≤1 B.-1≤ω <0 C.ω ≥1 D.ω ≤-1

)

π π? ? 1.正切函数 y=tan x 在每段区间?kπ - ,kπ + ? (k∈Z)上是单调递增函数,但不能 2 2? ? 说正切函数在其定义域内是单调递增函数. 并且每个单调区间均为开区间, 而不能写成闭区 π ? π ? 间?- +kπ , +kπ ? (k∈Z).正切函数无单调减区间. 2 ? 2 ? kπ 2.正切函数是奇函数,图象关于原点对称,且有无穷多个对称中心,对称中心坐标是( , 2 π 0) (k∈Z).正切函数的图象无对称轴,但图象以直线 x=kπ + (k∈Z)为渐近线. 2

1.4.3

正切函数的性质与图象
3

答案 知识梳理 π π? π ? {x|x∈R,且 x≠kπ + ,k∈Z} R π 奇函数 ?kπ - ,kπ + ? (k∈Z) 2 2? 2 ? 作业设计 1.C 2.C 3.A 4.B 5.D π π 6.A [由题意,T= = ,∴ω =4. ω 4 ?π ? ∴f(x)=tan 4x,f? ?=tan π =0.] ?4? π π 7.[kπ + ,kπ + ),k∈Z. 4 2 8.±2 π π 解析 T= = ,∴ω =±2. |ω | 2 9.b<c<a 解析 ∵tan 2=tan(2-π ),tan 3=tan(3-π ), π π 又∵ <2<π ,∴- <2-π <0, 2 2 π π ∵ <3<π ,∴- <3-π <0, 2 2 π π 显然- <2-π <3-π <1< , 2 2 ? π π? 且 y=tan x 在?- , ?内是增函数, ? 2 2? ∴tan(2-π )<tan(3-π )<tan 1, 即 tan 2<tan 3<tan 1. ∴b<c<a. ?kπ π ? 10.? - ,0? (k∈Z) 2 3 ? ? π kπ 解析 由 x+ = (k∈Z), 3 2 kπ π 得 x= - (k∈Z). 2 3 ? kπ π ? ∴对称中心坐标为? - ,0? (k∈Z). 3 ? 2 ? tan x+1 11.解 由 >0,得 tan x>1 或 tan x<-1. tan x-1 ∴函数定义域为 ?kπ -π ,kπ -π ?∪?kπ +π ,kπ +π ?(k∈Z) ? ? ? ? 2 4? ? 4 2? ? 关于原点对称. tan?-x?+1 tan x+1 ?-tan x+1?tan x+1?=lg 1=0. f(-x)+f(x)=lg +lg =lg? ? tan?-x?-1 tan x-1 ?-tan x-1 tan x-1? ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. x π π 12.解 ①由 - ≠kπ + ,k∈Z, 2 3 2

4

5 得 x≠2kπ + π ,k∈Z. 3
? ? 5 ∴函数的定义域为?x|x∈R且x≠2kπ + π ,k∈Z?. 3 ? ? π ②T= =2π ,∴函数的周期为 2π . 1 2 π x π π ③由 kπ - < - <kπ + ,k∈Z, 2 2 3 2 π 5 解得 2kπ - <x<2kπ + π ,k∈Z. 3 3 π 5π ? ? ∴函数的单调增区间为?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z. 3 3 ? ? x π kπ ④由 - = ,k∈Z, 2 3 2 2 得 x=kπ + π ,k∈Z. 3 2 ? ? ∴函数的对称中心是?kπ + π ,0?,k∈Z. 3 ? ? π 13.D [当 <x<π ,tan x<sin x,y=2tan x<0; 2 3 当 x=π 时,y=0;当 π <x< π 时, 2 tan x>sin x,y=2sin x.故选 D.] π π 14.B [∵y=tan ω x 在(- , )内是减函数, 2 2 π ∴ω <0 且 T= ≥π . |ω | ∴|ω |≤1,即-1≤ω <0.]

5


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