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3[1].1.1 方程的根与函数的零点 课件1


3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
大家思考一下:

一元二次方程 ax? + bx + c =0 的根与 二次函数y = ax? + bx + c 的图象有什 么关系?

3.1.1 方程的根与函数的零点

1、 一元二次方程的实数根与其相应的二次函数的图象 与x轴交点的横坐标的关系

方程
x? -2x-3=0 有两个不等的实数 根x1=-1,x2=3

函数
y = x? -2x-3 与x轴有两个交点 (-1,0), (3,0) y = x? -2x+1 与x轴有一个交点 (1,0)

函数的图象

结论
方程的两个实根 就是函数与x轴 交点的横坐标

-1

3

x? -2x+1=0
有两个相等的实 根x1= x2=1

方程的实根就是 函数与x轴交点 的横坐标
1

x? -2x+3=0 没有实数根

y = x? -2x+3 与x轴没有交点

3.1.1 方程的根与函数的零点

一般的,对于一元二次方程 ax? +bx+c=0 及其相应的二次 函数y = ax? +bx+c ,设判别式 ? ? b 2 ? 4ac ,则我们 有: (1)当 ? ? 0 时,一元二次方程有两个不等的实数根, 相应的二次函数的图象与x轴有两个交点; (2)当 ? ? 0 时,一元二次方程有两个相等的实数根, 相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点; (3)当 ? ? 0 时,一元二次方程没有实数根,相应的 二次函数的图象与x轴没有交点。

3.1.1 方程的根与函数的零点

2、 函数的零点 对于函数 y = f(x) ,我们把使 f(x) = 0的实数x叫做 函数 y = f(x)的零点。

方程f(x) = 0有实数根 ? ? 函数y = f(x) 的图象与x轴有交点 函数y = f(x) 有零点

3.1.1 方程的根与函数的零点

探究:

请同学们观察函数f(x)=x? -2x-3的图象,并 计算f(-2)与f(1)的乘积, f(2)与f(4)的乘积,有 什么特点?
y=x? -2x-3

f(-2)×f(1)<0,函数f(x)=x? -2x-3在 区间(-2,1)内有零点x=1, 它是方程x? -2x-3=0的一个根. 同样的,f(2)×f(4)<0,函数f(x)=x? -2x-3在 区间(2,4)内有零点x=3,它是方程 x? -2x-3=0的另一个根.

2
1 -2 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4

3.1.1 方程的根与函数的零点

3、 勘根定理

如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线,并且有f(a)×f(b)<0, 那么,函数y=f(x)在区间(a ,b)内有零点,即 存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方 程f(x)=0的根。

3.1.1 方程的根与函数的零点

例1、 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数。 解:用计数器作出x,f(x)的对应表如下
x
f(x)

1
-4

2
1.3069

3
1.0986

4
3.3863

5
5.6094

6
7.7918

7
9.9459

8

9

12.0794 14.1972

由表,图可知f(2)<0,f(3)>0,则f(2)×f(3)<0 这说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点. 由于函数在定义域内是增函数,故它仅有一个零点.

3.1.1 方程的根与函数的零点

4、小结
1.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标 2.方程f(x)=0的实数根x叫做是函数y=f(x)的零点. 3.方程f(x)=0有实数根 ?函数y=f(x)的图象与x轴有交点

?函数y=f(x)有零点
4. 勘根定理

3.1.1 方程的根与函数的零点

5、作业 P102 习题3.1 2


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