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尚义县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

尚义县高中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设 i 是虚数单位,若 z=cosθ+isinθ 且对应的点位于复平面的第二象限,则 θ 位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 函数 f(x)=xsinx 的图象大致是( ) )

座号_____

姓名__________

分数__________

A.

B.

C.

D.

3. 函数 y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

4. 在高校自主招生中,某学校获得 5 个推荐名额,其中清华大学 2 名,北京大学 2 名,复旦大学 1 名.并且 北京大学和清华大学都要求必须有男生参加. 学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象, 则不同的推荐方法 共有( ) A.20 种B.22 种 C.24 种 D.36 种 5. 已知△ABC 中,a=1,b= A.150° 6. 在平面直角坐标系 B.90° 中, 向量 ,B=45°,则角 A 等于( C.60° =( 1, 2), ) D.30° =(2, m), 若 O, A, B 三点能构成三角形, 则 ( )

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A. 7. 函数 y=

B.
2

C.

D. )

(x ﹣5x+6)的单调减区间为(

A.( ,+∞) B.(3,+∞)

C.(﹣∞, ) D.(﹣∞,2)

8. 已知 M 、N 为抛物线 y 2 ? 4 x 上两个不同的点, F 为抛物线的焦点.若线段 MN 的中点的纵坐标为 2 ,

| MF | ? | NF |? 10 ,则直线 MN 的方程为(
A. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0
x



B. 2 x ? y ? 4 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 )

9. 已知函数 f(x)=a +b(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则 a+b=( A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣ 或﹣ x 的零点,若 x0>a,则 f(x0)的值满足( )

10.设 a 是函数 A.f(x0)=0 B.f(x0)<0 C.f(x0)>0

D.f(x0)的符号不确定 ) C.y= D.y=

11.下列函数中哪个与函数 y=x 相等( A.y=( )
2

B.y=

12.下列命题正确的是(



A.很小的实数可以构成集合. B.集合 ? y | y ? x 2 ? 1? 与集合 ?? x, y ? | y ? x 2 ? 1? 是同一个集合. C.自然数集 N 中最小的数是. D.空集是任何集合的子集.
二、填空题
13.设平面向量 ai ? i ? 1,2,3, 值为 . .

? ,满足 ai

? 1 且 a1 ? a2 ? 0 ,则 a1 ? a2 ?

, a1 ? a2 ? a3 的最大

【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识,意在考查运算求解能力. 14.数列{an}是等差数列,a4=7,S7=

15.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件: ①f(x)=axg(x)(a>0,a≠1); ②g(x)≠0;

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③f(x)g'(x)>f'(x)g(x); 若 ,则 a= .

16.函数 f(x)=2ax+1﹣3(a>0,且 a≠1)的图象经过的定点坐标是 17.二面角 α﹣l﹣β 内一点 P 到平面 α,β 和棱 l 的距离之比为 1: 度. 18.在(2x+ ) 的二项式中,常数项等于
6

. :2,则这个二面角的平面角是

(结果用数值表示).

三、解答题
19.某运动员射击一次所得环数 X 的分布如下: X 7 8 9 0~6 P 0 0.2 0.3 0.3 10 0.2

现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为 ξ. (I)求该运动员两次都命中 7 环的概率; (Ⅱ)求 ξ 的数学期望 Eξ.

20.如图,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,B(﹣ , ). (I)若∠AOB=α,求 cosα+sinα 的值; (II)设点 P 为单位圆上的一个动点,点 Q 满足 的最大值. = + .若∠AOP=2θ, 表示| |,并求| |

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21.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,现将△ ACD 沿对角线 AC 折起至△ ACP 位置,并使平面 PAC⊥平面

ABC.

(Ⅰ)求证:AC⊥PB; (Ⅱ)在菱形 ABCD 中,若∠ABC=60°,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ)求四面体 PABC 体积的最大值.

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22.选修 4﹣5:不等式选讲 已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣2≤x≤1}. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 恒成立,求 k 的取值范围.

23.衡阳市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的志愿者中 随机抽取 100 名后按年龄分组:第 1 组 [20, 25) ,第 2 组 [25,30) ,第 3 组 [30,35) ,第 4 组 [35, 40) ,第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,则应从第 3,4,5 组 各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该市决定在第 3,4 组的志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组 至少有一名志愿者被抽中的概率.

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24.已知 =(

sinx,cosx), =(sinx,sinx),设函数 f(x)=





(1)写出函数 f(x)的周期,并求函数 f(x)的单调递增区间; (2)求 f(x)在区间[π, ]上的最大值和最小值.

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尚义县高中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:∵z=cosθ+isinθ 对应的点坐标为(cosθ,sinθ), 且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限, ∴ 故选:B. 【点评】本题考查复数的几何意义,考查三角函数值的符号,注意解题方法的积累,属于中档题. 2. 【答案】A 【解析】解:函数 f(x)=xsinx 满足 f(﹣x)=﹣xsin(﹣x)=xsinx=f(x),函数的偶函数,排除 B、C, 因为 x∈(π,2π)时,sinx<0,此时 f(x)<0,所以排除 D, 故选:A. 【点评】本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及函数值的应用,考查分析问题解决问题的能力. 3. 【答案】D 【解析】解:∵f(x)=y=2x ﹣e ,
2 | x| 2 |x| ∴f(﹣x)=2(﹣x) ﹣e ﹣ =2x ﹣e , 2 |x|

,∴θ 为第二象限角,

故函数为偶函数, 当 x=±2 时,y=8﹣e ∈(0,1),故排除 A,B;
2 x 当 x∈[0,2]时,f(x)=y=2x ﹣e , x ∴f′(x)=4x﹣e =0 有解, 2 |x| 故函数 y=2x ﹣e 在[0,2]不是单调的,故排除 C, 2

故选:D 4. 【答案】C 【解析】解:根据题意,分 2 种情况讨论: ①、第一类三个男生每个大学各推荐一人,两名女生分别推荐北京大学和清华大学, 共有 共有 =12 种推荐方法; =12 种推荐方法; ②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学,其余 2 个女生从剩下的 2 个大学中选, 故共有 12+12=24 种推荐方法;

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故选:C. 5. 【答案】D 【解析】解:∵ 根据正弦定理可知 ∴sinA= ∴A=30° 故选 D. 【点评】本题主要考查正弦定理的应用.属基础题. 6. 【答案】B 【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】若 O,A,B 三点能构成三角形,则 O,A,B 三点不共线。 若 O,A,B 三点共线,有:-m=4,m=-4. 故要使 O,A,B 三点不共线,则 。 故答案为:B 7. 【答案】B
2 【解析】解:令 t=x ﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3)>0,可得 x<2,或 x>3,

,B=45°

=

故函数 y=

(x ﹣5x+6)的定义域为(﹣∞,2)∪(3,+∞).

2

本题即求函数 t 在定义域(﹣∞,2)∪(3,+∞)上的增区间. 结合二次函数的性质可得,函数 t 在(﹣∞,2)∪(3,+∞)上的增区间为 (3,+∞), 故选 B. 8. 【答案】D 【解析】解析:本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法. 设 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ) , 那么 | MF | ? | NF |? x1 ? x2 ? 2 ? 10 ,x1 ? x2 ? 8 , ∴线段 MN 的中点坐标为 (4, 2) . 由 y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 两式相减得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) , 而
2 2

y1 ? y2 y ? y2 ?2, ? 1, ∴ 1 ∴直线 MN 2 x1 ? x2

的方程为 y ? 2 ? x ? 4 ,即 x ? y ? 2 ? 0 ,选 D. 9. 【答案】B 【解析】解:当 a>1 时,f(x)单调递增,有 f(﹣1)= +b=﹣1,f(0)=1+b=0,无解; 当 0<a<1 时,f(x)单调递减,有 f(﹣1)= =0,f(0)=1+b=﹣1,

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解得 a= ,b=﹣2; 所以 a+b= 故选:B 10.【答案】C 【解析】解:作出 y=2 和 y=log
x

=﹣ ;

x 的函数图象,如图:

由图象可知当 x0>a 时,2 ∴f(x0)=2 故选:C. 11.【答案】B ﹣log

>log

x0,

x0>0.

【解析】解:A.函数的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同. B.函数的定义域为 R,两个函数的定义域和对应关系相同,是同一函数. C.函数的定义域为 R,y=|x|,对应关系不一致. D.函数的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不同. 故选 B. 【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致, 否则不是同一函数. 12.【答案】D 【解析】
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试题分析:根据子集概念可知,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以选项 D 是正确,故 选 D. 考点:集合的概念;子集的概念.

二、填空题
13.【答案】 2 , 2 ? 1 . 【解析】∵ a1 ? a2 而 a1 ? a2 ? a3
2
2

? a1 ? 2a1 ? a2 ? a 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 2 ,∴ a1 ? a2 ? 2 ,
2

2

2

? (a1 ? a2 )2 ? 2(a1 ? a2 ) ? a3 ? a3 ? 2 ? 2 2 ?1? cos ? a1 ? a2 , a3 ? ?1 ? 3 ? 2 2 ,
2 ? 1 ,当且仅当 a 1 ? a2 与 a3 方向相同时等号成立,故填: 2 , 2 ? 1 .

∴ a1 ? a2 ? a3 ? 14.【答案】49 【解析】解: = =7a4 =49. 故答案:49.

【点评】本题考查等差数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细求解. 15.【答案】 .

【解析】解:由 所以 .





又由 f(x)g'(x)>f'(x)g(x),即 f(x)g'(x)﹣f'(x)g(x)>0,也就是 ,说明函数 是减函数,

即 故答案为

,故



【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性,做题时应认真观察.

16.【答案】 (﹣1,﹣1) .

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【解析】解:由指数幂的性质可知,令 x+1=0 得 x=﹣1,此时 f(﹣1)=2﹣3=﹣1, 即函数 f(x)的图象经过的定点坐标是(﹣1,﹣1), 故答案为:(﹣1,﹣1). 17.【答案】 75 度. 【解析】解:点 P 可能在二面角 α﹣l﹣β 内部,也可能在外部,应区别处理.当点 P 在二面角 α﹣l﹣β 的内部

时,如图,A、C、B、P 四点共面,∠ACB 为二面角的平面角,

由题设条件,点 P 到 α,β 和棱 l 的距离之比为 1: 故答案为:75.

:2 可求∠ACP=30°,∠BCP=45°,∴∠ACB=75°.

【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题,考查分类讨论的数学思想,正确找出二面角的平面角是关 键. 18.【答案】 240

【解析】解:由(2x+

) ,得 = .

6

由 6﹣3r=0,得 r=2. ∴常数项等于 故答案为:240. .

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)设 A=“该运动员两次都命中 7 环”, 则 P(A)=0.2×0.2=0.04. (2)依题意 ξ 在可能取值为:7、8、9、10

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且 P(ξ=7)=0.04, P(ξ=8)=2×0.2×0.3+0.32=0.21, P(ξ=9)=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39, P(ξ=10)=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36, ∴ξ 的分布列为: 7 8 9 10 ξ P 0.04 0.21 0.39 0.36 ξ 的期望为 Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07. 【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 相互独立事件概率乘法公式的合理运用. 20.【答案】 【解析】 解:(Ⅰ)点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,B(﹣ , ). 可得 sinα= ,cosα= ,∴cosα+sinα= . = =(1+cos2θ,sin2θ), =2|cosθ|,因为 ,

(Ⅱ)因为 P(cos2θ,sin2θ),A(1,0)所以 所以 所以 | = =2|cosθ|∈ . , =

|的最大值

【点评】本题考查三角函数的定义的应用,三角函数最值的求法,考查计算能力. 21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)证明:取 AC 中点 O,连接 PO,BO,由于四边形 ABCD 为菱形,∴PA=PC,BA=BC, ∴PO⊥AC,BO⊥AC,又 PO∩BO=O, ∴AC⊥平面 POB,又 PB?平面 POB,∴AC⊥PB. (Ⅱ)∵平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC,PO?平面 PAC, PO⊥AC,∴PO⊥面 ABC,∴OB,OC,OP 两两垂直, 故以 O 为原点, 以 的边长为 2, ∴ , 设平面 PBC 的法向量 ,直线 AB 与平面 PBC 成角为 θ, , y, z 轴正方向建立空间直角坐标系, ∵∠ABC=60°, 方向分别为 x, 菱形 ABCD

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∴ ∴ (Ⅲ)法一:

,取 x=1,则

,于是

, .

,∴直线 AB 与平面 PBC 成角的正弦值为

设∠ABC=∠APC=α,α∈(0,π),∴ 又 PO⊥平面 ABC,∴ ( ∴ ),

, =



, ∴ ,当且仅当 . ,即 时取等号,

∴四面体 PABC 体积的最大值为

法二:设∠ABC=∠APC=α,α∈(0,π), ∴ ∴ 设 ∴ ∴当 ∴当 ,则 , 时,V'PABC>0,当 时,VPABC 取得最大值 时,V'PABC<0, ,∴四面体 PABC 体积的最大值为 ,(0<x<2) , , 时取等号,∴四面体 PABC 体积的最大值为 . . ,且 0<t<1, , ,又 PO⊥平面 ABC, = ( ),

法三:设 PO=x,则 BO=x, 又 PO⊥平面 ABC, ∴ ∵
2 2 当且仅当 x =8﹣2x ,即

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【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用,直线与平面所成角的求法,几何体的体积 的最值的求法,考查转化思想以及空间思维能力的培养. 22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由|ax+1|≤3 得﹣4≤ax≤2 ∵不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣2≤x≤1}. ∴当 a≤0 时,不合题意; 当 a>0 时, ∴a=2; (Ⅱ)记 , ,

∴h(x)=

∴|h(x)|≤1 ∵ ∴k≥1. 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查恒成立问题,将绝对值符号化去是关键,属于中档题. 23.【答案】(1) 3, 2,1 ;(2) 【解析】111] 试题分析:(1)根据分层抽样方法按比例抽取即可;(2)列举出从名志愿者中抽取名志愿者有 10 种情况, 其中第组的名志愿者 B1 , B2 至少有一名志愿者被抽中的有种,进而根据古典概型概率公式可得结果. 1 恒成立,

7 . 10

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(2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A 1 , B2 ,则从 5 名志愿者中抽取 2 名志愿者 1, A 2, A 3 ,第 4 组的 2 名志愿者为 B 有 (A 1 , B1 ) , ( A 1, A 2) ,(A 1, A 3) , ( A 1 , B2 ) , ( A 2, B 1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A 3, B 1) , ( A 1 , B2 ) , 2, A 3) ,(A 3 , B2 ) , ( B 共 10 种, 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1 , B2 至少有一名志愿者被抽中的有 ( A1 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A1, B2 ) , ( A2 , B1 ) ,

( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1, B2 ) ,共 7 种,所以第 4 组至少有一名志愿都被抽中的概率为
考点:1、分层抽样的应用;2、古典概型概率公式. 24.【答案】 【解析】解:(1)∵ =( ∴f(x)= (2x﹣ ﹣ = sinx,cosx), =(sinx,sinx), = (1﹣cos2x)+ sin2x﹣ = ﹣

7 . 10

sin2x+sinxcosx﹣

cos2x+ sin2x﹣

=sin

), =π, ≤2kπ+ (k∈Z)解得 kπ﹣ ,kπ+ ), ], ≤x≤kπ+ ,

∴函数的周期为 T= 由 2kπ﹣ ≤2x﹣

∴f(x)的单调递增区间为[kπ﹣ (2)由(1)知 f(x)=sin(2x﹣ 当 x∈[π, ∴﹣ ]时,2x﹣ ∈[

],(k∈Z);



≤sin(2x﹣

)≤1, ]上的最大值和最小值分别为 1 和﹣ .

故 f(x)在区间[π,

【点评】本题考查向量的数量积的运算,三角函数的最值,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性, 考查计算能力,此类题目的解答,关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度,属于中档题.

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