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高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.2平面向量基本定理优化训练北师大版必修4

2.3.2 平面向量基本定理 5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底; ②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底; ③零向量不可作 为基底中的向量,其中正确的说法是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 解析: 根据平面向量基本定理可以进行判断.平面内向量的基底不唯一,在同一平面内任何一 组不共线的向量都可以作为平面内所有向量的基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零 向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确. 答案:B 2.设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点,下列向量组:① AD 与 AB ;② DA 与 BC ; ③ CA 与 DC ;④ OD 与 OB ,其中可作为这个平行四边形所在平面内表示它的所有向量的 基底的是( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 解 析 : ①AD 与 AB 不 共 线 ,②DA=-BC,DA∥BC,DA 与 BC 共 线 ,③CA 与 DC 不 共 线,④OD=-OB,OD∥OB,OD 与 OB 共线.由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的 基底. 答案:B 3.想一想,e1、e2 不共线,e1、e2 中能否有零向量?a 与 e1、e2 的关系可能有几种情况? 解析:e1、e2 不共线,则 e1≠0 且 e2≠0. (1)a 与 e1 共线,则有且只有一个 λ 1,使 a=λ 1e1; (2)a 与 e2 共线,则有且只有一个 λ 2,使 a=λ 2e2; (3)a 与 e1、e2 都共线,则 a=0; (4)a 与 e1、e2 都不共线,a 能用 e1、e2 表示,解法如下: OM 与 OA 共线,则有且只有一个 λ 1,使 OM =λ 1e1. ON 与 OB 共线,则有且只有一个 λ 2,使 ON =λ 2e2,则 a= OM + ON =λ 1e1+λ 2e2. 4.如图 2-3-3, 已知△OAB, 其中 OA =a, M、 N 分别是边 OA 、 且 OM = OB =b, OB 上的点, 1 a, 3 1 ON = b.设 AN 与 BM 相交于 P,用向量 a、b 表示 OP . 2 1 图 2-3-3 解: OP = OM + MP , OP = ON + NP . 设 MP =m MB , NP =n NA ,则 1 1 OP = OM +m MB = a+m(b- a) 3 3 1 = (1-m)a+mb, 3 1 1 OP = ON +n NA = b+n(a- b) 2 2 1 = (1-n)b+na. 2 ∵a、b 不共线, 1 ? ?1 n ? , ( 1 ? m ) ? n , ? ?3 ? ? 5 解得? ∴? 1 ? (1 ? n) ? m. ?m ? 2 . ? ? 5 ?2 ? ∴ OP = 1 2 a+ b. 5 5 10 分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1. 向 量 OA 、 OB 、 OC 的 终 点 A 、 B 、 C 在 一 条 直 线 上 , 且 AC =-3 CB . 设 OA =p, OB =q, OC =r,则下列等式成立的是( 1 3 p? q 2 2 3 1 C.r= p ? q 2 2 A.r= ? ) B.r=-p+2q D.r=-q+2p 解析:由 AC =-3 CB ,得 OD - OA =-3( OB - OD ) , 即 2 OD =- OA +3 OB ,∴ OD = ? 答案:A 2.设一直线上三点 A、B、P 满足 AP =λ PB (λ ≠1),O 是空间一点,则 OP 用 OA 、 OB 表 示为( ) B. OP =λ OA +(1-λ ) OB 1 3 1 3 OA + OB ,即 r= ? p ? q . 2 2 2 2 A. OP = OA +λ OB 2 OA ? ? OB C. OP = 1? ? D. OP 1 ? OA ? 1 OB 1? ? OA ? ? OB . 1? ? 解析:由 AP =λ PB (λ ≠1)得 OP - OA =λ ( OB - OP ) ,即 OP = 答案:C 3.如图 2-3-4,四边形 ABCD 为矩形,且 AD=2AB,又△ADE 为等腰直角三角形,F 为 ED 中点, EA =e1, EF =e2.以 e1、e2 为基底,表示向量 AF 、 AB 、 AD 及 BD . 图 2-3-4 解:∵ EA =e1, EF =e2,∴ AF =e2-e1. 依题意有 AD=2AB=DE,且 F 为 ED 中点, ∴四边形 ABDF 为平行四边形. ∴ BD = AF =e2-e1, AB = EF =e2. ∴ AD = AF + AB =e2-e1+e2=2e2-e1. 4.如图 2-3-5,在平行四边形 ABCD 中,M、N 分别为 DC、BC 的中点,已知 AM =c, AN =d, 试用 c、d 表示 AB 和 AD . 图 2-3-5 解:设 AB =a, AD =b, 则由 M、N 分别为 DC、BC 的中点可得 BN = 从△ABN 和△ADM 中可得 1 1 b , DM = a . 2 2 1 1 b=d,b+ a=c. 2 2 2 2 解得 a= (2d-c),b= (2c-d), 3 3 2 2 即 AB = (2d-c), AD = (2c-d). 3 3 a+ 3 5.证明三角形的三条中线交于一点. 证明:如图,令 AB =a, AC =b 为基底. 1 1 1 BC =b-a, AD = a+ b, BE = b-a. 2 2 2 设 AD 与 BE 交于点 G1,并设 AG1 =λ AD , BG1 =μ BE , 则有 CG1 = AG1 - AC = ? 2 a? ? 2 b?b=

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