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高中数学1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修2


1.3.1 函数的单调性与导数 1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 1.一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间 (a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果 f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减. 名师点拨用曲线的切线的斜率来理解单调性与导函数的关系:当切 线斜率为正时,切线的倾斜角小于90°,函数曲线呈向上增加状态;当 切线斜率为负时,切线的倾斜角大于90°且小于180°,函数曲线呈向 下减少状态. 【做一做1】 函数f(x)=5x3-15x的单调递增区间是( ) A.(-∞,-1),(1,+∞) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,1) 答案:A 2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函 数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下);反之,函数的图象就“平缓”一些. 名师点拨通过函数图象,不仅可以看出函数的单调性,还可以看出 函数变化的快慢. “函数变化快慢与其导数的关系”如下: 【做一做 2】 若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数, 则函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是 ( ) 解析:因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]内是增函数,所以从左到右 函数f(x)图象上的点处的切线斜率是递增的. 答案:A 1.如何理解函数的单调性与导数的关系? 剖析:(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时,先要确定函数的 定义域,再在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. (2)一般利用使导数等于零的点来划分函数的单调区间. (3)若函数在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内为常数函 数.如f(x)=3,则f'(x)=3'=0. (4)利用导数的符号判断函数的增减性,这是导数在研究曲线变化 规律中的一个应用,它充分体现了数形结合思想. 名师点拨对于可导函数f(x)来说,“f'(x)>0”是“f(x)在(a,b)内单调递增” 的充分不必要条件,“f'(x)<0”是“f(x)在(a,b)内单调递减”的充分不必 要条件.例如f(x)=x3在R上为增函数,但f'(0)=0,所以在x=0处不满足 f'(x)>0. 2.求可导函数单调区间的一般步骤是什么? 剖析:第一步,确定函数f(x)的定义域. 第二步,求f'(x),令f'(x)=0,解此方程,求出它在定义域内的一切实根. 第三步,把函数f(x)在间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面 的各实根按从小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的 定义域分成若干个小区间. 第四步,确定f'(x)在各个小区间内的符号,根据f'(x)的符号判定函 数f(x)在每个相应小区间内的增减性. 3.已知函数的单调性,如何求参数的取值范围? 剖析“f'(x)>0(或f'(x)<0)”是“函数单调递增(或单调递减)”的充分 条件,但这个条件并不是必要的.在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)内 单调递增(或单调递减)的充要条件是f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,且 f'(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说,函数f(x)在区间 上的单调性并不排斥在区间内个别点处有f'(x0)=0,甚至可以在无穷 多个点处f'(x0)=0,只是这样的点不能充满所给区间的任何一

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