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奉节县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

奉节县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 如果点 P(sinθcosθ,2cosθ)位于第二象限,那么角 θ 所在象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) D.第四象限 )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 已知函数 f(x)= ﹣log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 3. 复数 Z= (i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( C.(3,﹣1)
*



A.(1,3) B.(﹣1,3) 4. 已知 an= A.a1,a30

D.(2,4) )

(n∈N ),则在数列{an}的前 30 项中最大项和最小项分别是( B.a1,a9 C.a10,a9 ) D.a10,a30

5. 已知等差数列{an}中,a6+a8=16,a4=1,则 a10 的值是( A.15 B.30
2

C.31
2

D.64

x y ? ? 1 的左右顶点分别为 A1, A2 ,点 P 是 C 上异于 A1, A2 的任意一点,且直线 PA1 斜率的 4 3 取值范围是 ?1, 2? ,那么直线 PA2 斜率的取值范围是( )
6. 椭圆 C : A. ? ? , ? ? 4 2

? 3 ?

1? ?

B. ? ? , ? ? 4 8

? 3 ?

3? ?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ? ,1?

?3 ? ?4 ?

【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识,意在考查函数与方程思想和 基本运算能力. 7. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 ,则循环体的判断框内①处应填( )

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A.11? B.12? C.13? D.14? 8. 设函数 y ? f '' ? x ? 是 y ? f ' ? x ? 的导数.某同学经过探究发现,任意一个三次函数

f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ? a ? 0? 都有对称中心 ? x0 , f ? x0 ?? ,其中 x0 满足 f '' ? x0 ? ? 0 .已知函数
? 2 ? ? 3 ? ? 2016 ? f? ?? f ? ? ? ... ? f ? ??( ? 2017 ? ? 2017 ? ? 2017 ? 2015 C.


1 1 5 ? 1 ? f ? x ? ? x3 ? x 2 ? 3x ? ,则 f ? ?? 3 2 12 ? 2017 ? 2014 A.2013 B.

2016 1111] D.


9. 已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形,如图所示,则该几何体的体积等于(

A. 12 3 A.命题 p 一定是假命题 C.命题 q 一定是真命题

B. 16 3 )

C. 20 3 B.命题 q 一定是假命题 D.命题 q 是真命题或假命题 )

D. 32 3

10. 如果命题 p∨q 是真命题,命题¬p 是假命题,那么(

11.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的是( A. B.y=x2 C.y=﹣x|x| D.y=x﹣2

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12.如果集合 A, B ,同时满足 A

B ? ?1,2,3,4?,A B=?1?, A ? ?1?, B ? ?1? ,就称有序集对

? A, B? 为“
A.个

好集对”. 这里有序集对 ? A, B ? 是指当 A ? B 时, ? A, B ? 和 ? B, A? 是不同的集对, 那么 )个 B.个 C.个 D.个 ,则这两个正方形的面积之和

“好集对” 一共有(

二、填空题
13.从等边三角形纸片 ABC 上,剪下如图所示的两个正方形,其中 BC=3+ 的最小值为 .

14.如图所示,圆 C 中,弦 AB 的长度为 4 ,则 AB ×AC 的值为_______.

C A
15.下列命题: ①函数 y=sinx 和 y=tanx 在第一象限都是增函数; ②若函数 f(x)在[a,b]上满足 f(a)f(b)<0,函数 f(x)在(a,b)上至少有一个零点; ③数列{an}为等差数列,设数列{an}的前 n 项和为 Sn,S10>0,S11<0,Sn 最大值为 S5; ④在△ ABC 中,A>B 的充要条件是 cos2A<cos2B; ⑤在线性回归分析中,线性相关系数越大,说明两个量线性相关性就越强. 其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都写上).

B

【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识,意在考查对概念理解和转化化归的数学思想.

x2 y 2 ? ? 1 ( a , b ? 0 )的左、右焦点,点 P 在双曲线上,满足 PF 1 ? PF 2 ?0, a 2 b2 3 ?1 若 ?PF1F2 的内切圆半径与外接圆半径之比为 ,则该双曲线的离心率为______________. 2
16. F1 , F2 分别为双曲线

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【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识,意在考查 基本运算能力及推理能力. 17.设

是空间中给定的 个不同的点,则使 =(2,3),

成立的点

的个数有_________个. .

18.在△ ABC 中,若角 A 为锐角,且

=(3,m),则实数 m 的取值范围是

三、解答题
19.如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,EF∥AD, 平面 ADEF⊥平面 ABCD,且 BC=2EF,AE=AF,点 G 是 EF 的中点. (Ⅰ)证明:AG⊥平面 ABCD; (Ⅱ)若直线 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为 ,求 AG 的长.

20.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位: 千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时 车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20≤x≤200 时,车流 速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x?v (x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时).

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21.已知函数 f(x)=x3+x. (1)判断函数 f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)求证:f(x)是 R 上的增函数; (3)若 f(m+1)+f(2m﹣3)<0,求 m 的取值范围.
3 3 2 2 (参考公式:a ﹣b =(a﹣b)(a +ab+b ))

22.已知数列{an}满足 a1=a,an+1= (1)求 a2,a3,a4;

(n∈N ).

*

(2)猜测数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.

23.已知 F1,F2 分别是椭圆 且|PF1|=4,PF1⊥PF2. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)求点 P 的坐标.

=1(9>m>0)的左右焦点,P 是该椭圆上一定点,若点 P 在第一象限,

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24.(本题满分 15 分)
2 2 正项数列 {an } 满足 an ? an ? 3an ?1 ? 2an?1 , a1 ? 1 .

(1)证明:对任意的 n ? N , an ? 2an?1 ;
*

(2)记数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,证明:对任意的 n ? N , 2 ?
*

1 2 n ?1

? Sn ? 3 .

【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性,不等式性质等基础知识,意在考查推理论证能力,分析和解 决问题的能力.

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奉节县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:∵P(sinθcosθ,2cosθ)位于第二象限, ∴sinθcosθ<0,cosθ>0, ∴sinθ<0, ∴θ 是第四象限角. 故选:D. 【点评】本题考查了象限角的三角函数符号,属于基础题. 2. 【答案】C 【解析】解:∵f(x)= ﹣log2x, ∴f(2)=2>0,f(4)=﹣ <0, 满足 f(2)f(4)<0, ∴f(x)在区间(2,4)内必有零点, 故选:C 3. 【答案】A 【解析】解:复数 Z= 故选:A. 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,属于基础题. 4. 【答案】C 【解析】解:an= 图象如图, ∵9< <10. ∴这个数列的前 30 项中的最大项和最小项分别是 a10,a9. 故选:C. 【点评】 本题考查了数列的函数特性, 考查了数形结合的解题思想, 解答的关键是根据数列通项公式画出图象, 是基础题. =1+ ,该函数在(0, )和( ,+∞)上都是递减的, = =(1+2i) (1﹣i)=3+i 在复平面内对应点的坐标是(3,1).

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5. 【答案】A 【解析】解:∵等差数列{an}, ∴a6+a8=a4+a10,即 16=1+a10, ∴a10=15, 故选:A. 6. 【答案】B

7. 【答案】C 【解析】解:由已知可得该程序的功能是计算并输出 S= 若输出的结果是 , + + +…+ = 的值,

则最后一次执行累加的 k 值为 12, 则退出循环时的 k 值为 13, 故退出循环的条件应为:k≥13?, 故选:C 【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的 考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考 试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误. 8. 【答案】D 【解析】

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1 ?? ? 1 ? ? 2014 ? ? ? ? 2 ? ?? f ? ?? f ? ?? ? ? f ? ?? 2 ?? ? 2017 ? ? 2017 ? ? ? ? 2017 ? 1 ? ? ? 2 ? 2016 ? ? 2016 ,故选 D. 1 2 ?
3

? ? 2015 ? ? f? ? ? ? ... ? ? ? 2017 ? ? ?

? 2016 ? f? ?? ? 2017 ?

? 1 ? ?? f? ? ?? ? 2017 ? ? ?

考点:1、转化与划归思想及导数的运算;2、函数对称的性质及求和问题.
2

【方法点睛】本题通过 “三次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0? 都有对称中心 x0 , f ? x0 ?

?

? ”这一探索

性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题,属于难题.遇到探索性结论问题,应 耐心读题,分析新结论的特点,弄清新结论的性质,按新结论的要求, “照章办事”,逐条分析、验证、运算, 使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出 f ? x ? ? 性和的. 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 9. 【答案】C 【解析】

1 3 1 5 x ? x ? 3x ? 的对称中心后再利用对称 3 2 12

考点:三视图. 10.【答案】D 【解析】解:∵命题“p 或 q”真命题,则命题 p 与命题 q 中至少有一个命题为真命题, 又∵命题“非 p”也是假命题, ∴命题 p 为真命题. 故命题 q 为可真可假. 故选 D

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【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键.

11.【答案】D 【解析】解:函数 为非奇非偶函数,不满足条件;

函数 y=x2 为偶函数,但在区间(0,+∞)上单调递增,不满足条件; 函数 y=﹣x|x|为奇函数,不满足条件; 函数 y=x﹣2 为偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,满足条件; 故选:D 【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性,是函数图象和性质的综合应用,难度不大,属于 基础题. 12.【答案】B 【解析】 试题分析:因为 A

B ? ?1,2,3,4?,A B=?1?, A ? ?1?, B ? ?1? ,所以当 A ? {1, 2}时, B ? {1, 2, 4};当

A ? {1, 3}时, B ? {1, 2, 4} ;当 A ? { 1,4} 时, B ? {1, 2,3} ;当 A ? { 1 ,2,3 } 时, B ? {1, 4};当 A ? { 1 ,2,4} 时, B ? {1,3} ;当 A ? {1,3, 4} 时, B ? {1, 2};所以满足条件的“好集对”一共有个,故选 B.

考点:元素与集合的关系的判断. 【方法点晴】 本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用, 其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算 与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查,着重考查了分类讨论思想的应用,以及学生分析问题和解答 问题的能力,试题有一定的难度,属于中档试题,本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]

二、填空题
13.【答案】 .

【解析】解:设大小正方形的边长分别为 x,y,(x,y>0). 则 +x+y+ =3+ ,

化为:x+y=3.

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2 2 则 x +y

= ,当且仅当 x=y= 时取等号.

∴这两个正方形的面积之和的最小值为 . 故答案为: . 14.【答案】 8

15.【答案】 ②③④⑤ 【解析】解:①函数 y=sinx 和 y=tanx 在第一象限都是增函数,不正确,取 x= , , ,但是

,因此不是单调递增函数;

②若函数 f(x)在[a,b]上满足 f(a)f(b)<0,函数 f(x)在(a,b)上至少有一个零点,正确; ③数列{an}为等差数列,设数列{an}的前 n 项和为 Sn,S10>0,S11<0,∴ =11a6<0, ∴a5+a6>0,a6<0,∴a5>0.因此 Sn 最大值为 S5,正确; ④在△ABC 中,cos2A﹣cos2B=﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2sin(A+B)sin(B﹣A)<0?A>B,因此正 确; ⑤在线性回归分析中,线性相关系数越大,说明两个量线性相关性就越强,正确. 其中正确命题的序号是 ②③④⑤. =5(a6+a5)>0,

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【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、 线性回归分析,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 16.【答案】 3 ? 1 【 解 析 】

17.【答案】1 【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】设 设 ,则

因为



所以

,所以

因此,存在唯一的点 M,使

成立。

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故答案为: 18.【答案】 【解析】解:由于角 A 为锐角, ∴ 且 不共线, . . . ∴6+3m>0 且 2m≠9,解得 m>﹣2 且 m ∴实数 m 的取值范围是 故答案为: .

【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了向量共线的条件,是基础题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:因为 AE=AF,点 G 是 EF 的中点, 所以 AG⊥EF. 又因为 EF∥AD,所以 AG⊥AD.… 因为平面 ADEF⊥平面 ABCD,平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, AG?平面 ADEF, 所以 AG⊥平面 ABCD.… (Ⅱ)解:因为 AG⊥平面 ABCD,AB⊥AD,所以 AG、AD、AB 两两垂直. 以 A 为原点,以 AB,AD,AG 分别为 x 轴、y 轴和 z 轴,如图建立空间直角坐标系 则 A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0), 设 AG=t(t>0),则 E(0,1,t),F(0,﹣1,t), 所以 =(﹣4,﹣1,t), =(4,4,0), =(0,1,t).… 设平面 ACE 的法向量为 =(x,y,z), 由 =0, =0,得 ,

令 z=1,得 =(t,﹣t,1). 因为 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为 所以|cos< 即 >|= = = ,… . ,

2 ,解得 t =1 或

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所以 AG=1 或 AG=

.…

【点评】本题考查线面垂直的证明,考查满足条件的线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量 法的合理运用. 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ) 由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20<x≤200 时,设 v(x)=ax+b 再由已知得 ,解得

故函数 v(x)的表达式为



(Ⅱ)依题并由(Ⅰ)可得 当 0≤x<20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200 当 20≤x≤200 时, 当且仅当 x=200﹣x,即 x=100 时,等号成立. 所以,当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 综上所述,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值为 . ,

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为 3333 辆/小时. 答:(Ⅰ) 函数 v(x)的表达式 (Ⅱ) 当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为 3333 辆/小时.

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21.【答案】 【解析】解:(1)f(x)是 R 上的奇函数
3 3 证明:∵f(﹣x)=﹣x ﹣x=﹣(x +x)=﹣f(x),

∴f(x)是 R 上的奇函数 (2)设 R 上任意实数 x1、x2 满足 x1<x2,∴x1﹣x2<0, f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)+[(x1)3﹣(x2)3]=(x1﹣x2)[(x1)2+(x2)2+x1x2+1]=(x1﹣x2)[(x1+ x2)
2

+ x22+1]<0 恒成立,

因此得到函数 f(x)是 R 上的增函数. (3)f(m+1)+f(2m﹣3)<0,可化为 f(m+1)<﹣f(2m﹣3), ∵f(x)是 R 上的奇函数,∴﹣f(2m﹣3)=f(3﹣2m), ∴不等式进一步可化为 f(m+1)<f(3﹣2m), ∵函数 f(x)是 R 上的增函数, ∴m+1<3﹣2m, ∴ 22.【答案】 【解析】解:(1)由 an+1= a3= = = ,可得 a2= , = ,

a4= (2)猜测 an=

=

=


* (n∈N ).

下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,左边=a1=a, 右边= ②假设当 n=k(k∈N )时猜测成立, 即 ak= .
*

=a,猜测成立.

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则当 n=k+1 时,ak+1= = . 故当 n=k+1 时,猜测也成立.

= =

* 由①,②可知,对任意 n∈N 都有 an=

成立.

23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由已知得:|PF2|=6﹣4=2, 在△PF1F2 中,由勾股定理得, 即 4c =20,解得 c =5. ∴m=9﹣5=4; (Ⅱ)设 P 点坐标为(x0,y0),由(Ⅰ)知, ∵ , , , ,
2 2





,解得



∴P(

).

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查了椭圆的简单性质,属中档题. 24.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

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