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福州外校2017届高三9月考数学(文科)


2016-2017 福州外校高

9

考数学

文科

一、选择题 1.设集合 A={x|1 x 4},集合 B={x|x2﹣2x﹣3 0},则 A∩ A. 1,4 B . 3, 4 C . 1, 3 D. 1,2 ∪ 3,4

RB

=

2.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1 ax+2y=0 直线 l2 x+ a+1 y+4=0 平行”的 A.充 B.必要 充 条 必要条 C.充 必要条 D.既 充 又 必要条 3. 列函数中,既是偶函数,又是在区间 0,+∞ 单递 的函数是 A.y=x﹣2 B.y=x3 C.y=ln x+ D.y=sin2x

4.阅读程序框图,运行相 的程序,则输出 i 的值

A.3

B .4

C .5

D.6

5.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于 A.6 B .5 C .4 D.3 6. 了得到函数 A.向左平移 C.向 平移 7.设 个单位长度 个单位长度 的图象,只需将函数 y=sinx 的图象 所 的点 B.向右平移 D.向 平移 ,则 个单位长度 个单位长度 的最小值是

是单位向 ,且

B. C. D. A. 8. 列命题中 确的 ①设 一个回 方程 =2﹣3x,变 x 增加一个单位时,y 平均增加 3 个单位 ②命题 P “?x0∈R,x02﹣x0﹣1>0”的否定?P “ x∈R,x2﹣x﹣1 0” ③“命题 p 或 q 真”是“命题 p 且 q 真”必要 充 条 ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 k2=6.679,则 99.9%的把握确认这两个变 间 关系. 本题 参考独立性检验临界值表

-1-

P K2 k

0.5

0.40

0.25

0.15

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.535

0.005 7.879

0.001 10.828

k 0.455 0.708 1.323 2.072 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9.已知二次函数 f x =ax2+bx+c 满足

且 c 0,则含

f x 零点的一个区间是

A. ﹣2,0 B. ﹣1,0 C . 0, 1 D. 0,2 10.已知直线 l 平面 α 平行,P 是直线 l 的一定点,平面 α 内的动点 B 满足 PB 直线 l 成 30°.那 B 点轨迹是 A.两直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 11.一个四棱锥的 视图如图所示,其中 视图是腰长 1 的等腰直角 角形,则这个几何体 的体 是

A.

B .1

C.

D.2 的奇函数, x 0 时,f x = |x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2 ,

12.已知函数 f x 是定 在 R 若 x∈R,f x﹣1

f x ,则实数 a 的取值范围 , ] C.与﹣ , ] D.与﹣ , ]

A.与﹣ , ]

B.与﹣

二、填空题 13.已知 tanα=2,则 4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α= . 0.2 14.设 m=0.3 ,n=log0.23,p=sin1+cos1,则 m,n,p 的从大到小关系 15.已知实数 x,y 满足 ,则 的最小值是 .



16.已知函数 f x =ax3﹣3x2+1,若 f x . 是

在唯一的零点 x0,且 x0>0.则 a 的取值范围

、解答题 17.已知集合 A={x∈R||x+2| 3},集合 B={x∈R| x﹣m

x﹣2

0},

-2-

若 A?B,求实数 m 的取值范围 若 A∩B= ﹣1,n ,求实数 m,n 的值. 18.在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边 别 a,b,c,且 2asinB= b. 1 求角 A 的大小 2 若 a=4,b+c=8,求△ABC 的面 . 19.如图,E 是 AB 直径的半圆 异于 A、B 的点,矩形 ABCD 所在的平面垂直于该半圆 所在的平面,且 AB=2AD=2. 1 求证 EA⊥EC 2 设平面 ECD 半圆 的另一个交点 F. ①试证 EF∥AB ②若 EF=1,求 棱锥 E﹣ADF 的体 .

20.已知 项数列{an}满足 a1=2 且 n+1 an2+anan+1﹣nan+12=0 n∈N* 证明数列{an} 等差数列 若记 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. x1,y1 ,Q x2,y2

21.已知抛物线 C y2=4x,过点 A ﹣1,0 的直线交抛物线 C 于 P . 两点,设 试求 x1,x2 的值 用 λ 表示 若 λ∈与 , ],求 |PQ|最大时,直线 PQ 的方程. 22.已知函数 f x = 1 ,a,b∈R,且 a>0

a=2,b=1,求函数 f x 的极值 +g′ x =0 成立,求 的取

2 设 g x =a x﹣1 ex﹣f x ,若 在 x>1,使得 g x 值范围.

-3-

2016-2017 福州外校高
参考答案

9
试题解析

考数学

文科

一、选择题 1.设集合 A={x|1 x 4},集合 B={x|x2﹣2x﹣3 0},则 A∩ A. 1,4 B . 3, 4 C . 1, 3 D. 1,2 ∪ 3,4

RB

=

考点 交、并、补集的混合运算. 析 由题意, 先解一元二次 等式,化简集合 B,再求出 B 的补集,再由交的运算规 则解出 A∩ RB 即 得出 确选项 解答 解 由题意 B={x|x2﹣2x﹣3 0}={x|﹣1 x 3},故 RB={x|x ﹣1 或 x>3}, 又集合 A={x|1 x 4}, A∩ RB = 3,4 故选 B 2.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1 ax+2y=0 直线 l2 x+ A.充 B.必要 充 条 必要条 C.充 必要条 D.既 充 又 必要条 a+1 y+4=0 平行”的

考点 必要条 、充 条 充要条 的判断. 析 利用 a=1 判断两条直线是否平行 通过两条直线平行是否推出 a=1,即 得到答案. l2 x+ a+1 y+4=0” 解答 解 因 “a=1”时,“直线 l1 ax+2y=0 l2 x+2y+4=0,显然两条直线平行 化 l1 x+2y=0 l2 x+ a+1 y+4=0 平行” 如果“直线 l1 ax+2y=0 必 a a+1 =2,解得 a=1 或 a=﹣2, l2 x+ a+1 y+4=0 平行”的充 所 “a=1”是“直线 l1 ax+2y=0 必要条 . 故选 A. 3. 列函数中,既是偶函数,又是在区间 0,+∞ A.y=x﹣2 B.y=x3 C.y=ln x+ 单递 的函数是

D.y=sin2x

考点 函数奇偶性的性质. 析 利用偶函数的定 别判断,然后利用单调性选择. 解答 解 对于 B,C 是奇函数 对于 A,D 都是偶函数,但是 D 在 0,+∞ 故选 A 4.阅读程序框图,运行相 的程序,则输出 i 的值

单调

-4-

A.3

B .4

C .5

D.6

考点 程序框图. 析 通过程序框图的要求,写出前四次循环的结果得到输出的值. 解答 解 该程序框图是循环结构 第一次循环得到 i=1,a=2 第二次循环得到 i=2,a=5 第 次循环得到 i=3,a=16 第四次循环得到 i=4,a=65 满足判断框的条 ,执行是,输出 4 故选 B 5.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于 A.6 B .5 C .4 D.3 考点 等比数列的前 n 项和. 析 利用等比数列的性质 得 a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.再利用对数的运算性质即 得出. 解答 解 数列{an}是等比数列,a4=2,a5=5, a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10. lga1+lga2+…+lga8 =lg a1a2?…?a8 = 4lg10 =4. 故选 C.

6. 了得到函数 A.向左平移 C.向 平移 个单位长度 个单位长度

的图象,只需将函数 y=sinx 的图象 所 的点 B.向右平移 D.向 平移 个单位长度 个单位长度

考点 函数 y=Asin

ωx+φ 的图象变换.

-5-

析 直接根据函数 y=Asin 解答 解 左平移 故选 A. 了得到函数

ωx+? 的图象变换规律得出结论. 的图象,只需将函数 y=sinx 的图象 所 的点向

个单位长度,

7.设 A.

是单位向 ,且 B. C. 的运算.

,则 D.

的最小值是

考点 平面向 数 析 由条 便 得到 向 的夹角, 而由

,θ 表示向 得到 , 这样便得到 =1﹣

和 cosθ,

这样即 得出答案. 解答 解 是单位向 ,且 =﹣ = cos 故选 A. 8. 列命题中 确的 ①设 一个回 方程 =2﹣3x,变 x 增加一个单位时,y 平均增加 3 个单位 ②命题 P “?x0∈R,x02﹣x0﹣1>0”的否定?P “ x∈R,x2﹣x﹣1 0” ③“命题 p 或 q 真”是“命题 p 且 q 真”必要 充 条 ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 k2=6.679,则 99.9%的把握确认这两个变 间 关系. 本题 参考独立性检验临界值表 2 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.5 0.40 P K k k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.535 7.879 10.828 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 考点 命题的真假判断 用. 析 根据回 系数的几何性质, 判断① 根据特 命题的否定方法, 判断② 根据 充要条 的定 , 判断③ 根据独立性检验, 判断④. 解答 解 ①设 一个回 方程 =2﹣3x,变 x 增加一个单位时,y 平均 少 3 个单位, 故错误 ②命题 P “?x0∈R,x02﹣x0﹣1>0”的否定?P “ x∈R,x2﹣x﹣1 0”,故 确 ③“命题 p 且 q 真”?“命题 p 或 q 真”成立, “命题 p 或 q 真”?“命题 p 且 q 真” 成立, 故“命题 p 或 q 真”是“命题 p 且 q 真”必要 充 条 ,故 确 =1 时, 的最小值 1﹣ . , ,又| |=1, +1

-6-

④在一个 2×2 列联表中,由计算得 k2=6.679>6.535,则 关系,故错误. 故选 B. 9.已知二次函数 f x =ax2+bx+c 满足

99%的把握确认这两个变 间

且 c 0,则含

f x 零点的一个区间是

A. ﹣2,0 B. ﹣1,0 考点 函数零点的判定定理. 析 根据 从而得到含 解答 解 ,变形

C . 0, 1

D. 0,2

>0,即 4a﹣2b+c=f ﹣2 >0,而 f 0 =c 0,

f x 零点的一个区间. f x =ax2+bx+c,且 且 c 0,

f 0 =c 0, f ﹣2 =4a﹣2b+c=2 > 0,

含 f x 零点的一个区间是 ﹣2,0 . 故选 A. 10.已知直线 l 平面 α 平行,P 是直线 l 的一定点,平面 α 内的动点 B 满足 PB 成 30°.那 B 点轨迹是 A.两直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 直线 l

考点 平面 圆柱面的截线. 析 首先给出一条直线 l,在 l 取一定点 P,则过 P 直线 l 成 30°角的所 直线组成两 个相对顶点的圆锥,直线 l 对 轴,用平面 α 平行于 l 截圆锥 得结论.点 B 理解 是截面 α 圆锥侧面的交点. 解答 解 P 是直线 l 的定点, 一平面 α 直线 l 平行,平面 α 内的动点 B 满足 PB 的 连线 l 成 30°角, l 成 30°角的直线组成两个相对顶点的圆锥,α 即 平行于圆锥轴的平面, 因 空间中过 P 点 B 理解 是截面 α 圆锥侧面的交点,所 点 B 的轨迹 双曲线,故答案选 C. 11.一个四棱锥的 视图如图所示,其中 视图是腰长 的体 是 1 的等腰直角 角形,则这个几何体

-7-

A.

B .1

C.

D.2

考点 由 视图求面 、体 . 析 由 视图知几何体是一个四棱锥,四棱锥的 2,梯形的高是 四棱锥的高是 1×

面是一个直角梯形,

是 1,



,根据四棱锥的体 公式得到结果.

解答 解 由 视图知几何体是一个四棱锥, 四棱锥的 面是一个直角梯形, 是 1, 是 2,梯形的高是 四棱锥的高是 1× 四棱锥的体 是 故选 A. |x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2 , =

12.已知函数 f x 是定 在 R 若 x∈R,f x﹣1

的奇函数,

x 0 时,f x =

f x ,则实数 a 的取值范围 , ] C.与﹣ , ] D.与﹣ , ]

A.与﹣ , ]

B.与﹣

考点 函数恒成立问题 函数奇偶性的判断 函数最值的 用. 析 把 x 0 时的 f x 改写成 段函数,求出其最小值,由函数的奇偶性 得 x 0 时 f x , 得 2a2﹣ ﹣4a2 1,求解该 的函数的最大值,由对 x∈R,都 f x﹣1 等式得答案. x 0 时, 解答 解

f x =



由 f x =x﹣3a2,x>2a2,得 f x >﹣a2 a2 x 2a2 时,f x =﹣a2 ﹣a2. 由 f x =﹣x,0 x a2,得 f x x>0 时, .
-8-

函数 f x x 0 时,

奇函数, . f x﹣1 1,解得 . f x , .

对 x∈R,都 2a2﹣ ﹣4a2

故实数 a 的取值范围是 故选 B.

二、填空题 题 5 ,满 20 ,将答案填在答题纸 13.已知 tanα=2,则 4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α= 1 . 考点 互化 同角 角函数间的基本关系. 析 把原式整理成 除 cos2α,把 tanα 的值 入即 . 解答 解 4sin2α﹣3sinαcosα﹣ = = 的形式,进而 子 母同时

5cos2α=

=1 故答案 1 .

p>m>n 14.设 m=0.30.2,n=log0.23,p=sin1+cos1,则 m,n,p 的从大到小关系 考点 对数值大小的比较. 析 由于 m=0.30.2∈ 0,1 ,n=log0.23 0,p=sin1+cos1>1,即 得出. m=0.30.2∈ 0,1 ,n=log0.23 0,p=sin1+cos1>1, 解答 解 p>m>n, p>m>n. 故答案

15.已知实数 x,y 满足

,则 的最小值是



考点 简单线性规划. 析 作出 等式组对 的平面区域,利用直线斜率的几何意 ,进行求解即 . 解答 解 作出 等式组对 的平面区域如图, 的几何意 是区域内的点 原点的斜率的倒数, 由图象 由 OA 的斜率最大, ,得 A 3,2 ,

-9-

故 的最小值是 故答案 .



16.已知函数 f x =ax3﹣3x2+1,若 f x 在唯一的零点 x0,且 x0>0.则 a 的取值范围 . 是 考点 利用导数研究函数的极值 函数零点的判定定理. a 0 时,容易判断出 符合题意 a 0 时,求出函数的导数,利用 析 类讨论 导数和极值之间的关系转化 解答 解 合题意, 舍去 a>0 时, x f′ x =3ax2﹣6x=3ax x﹣ ﹣∞,0 0 0, =0,解得 x=0 或 x= >0,列表如 ,+∞ 求极小值 f >0,解出即 . ,函数 f x 两个零点, 符

a=0 时,f x =﹣3x2+1=0,解得 x=

f′ x 0 0 + ﹣ + f x 单调递增 极大值 单调递 极小值 单调递增 x→﹣∞,f x →﹣∞,而 f 0 =1>0, 在 x 0,使得 f x =0, f x 符合条 在唯一的零点 x0,且 x0>0, 舍去. a 0 时,f′ x =3ax2﹣6x=3ax x﹣ x f′ x f x ﹣∞, =0,解得 x=0 或 x= ,0 0 0,列表如

0,+∞

0 0 ﹣ + ﹣ 单调递 极小值 单调递增 极大值 单调递 f 0 =1 0 x f x x 0 →﹣∞, 而 > , →+∞时, 在 0> ,使得 f x0 =0, f x 在唯一的零点 x0,且 x0>0, 极小值 f =a
3

﹣3

2

+1>0,

- 10 -

a2>4, a 0, a ﹣2. 综 知 a 的取值范围是 ﹣∞,﹣2 . 故答案 ﹣∞,﹣2 . 化 、解答题 本大题共 6 小题,共 70 .解答 写出文 说明、证明过程或演算 骤. 17.已知集合 A={x∈R||x+2| 3},集合 B={x∈R| x﹣m x﹣2 0}, 若 A?B,求实数 m 的取值范围 若 A∩B= ﹣1,n ,求实数 m,n 的值. 考点 交集及其运算 集合的包含关系判断及 用. 析 解绝对值 等式化简集合 A,解一元二次 等式化简集合 B,再根据 A?B, 则实数 m 的取值范围 求 由 知, m 2 时,A∩B=?,要使 A∩B= ﹣1,n , 满足 ,则

实数 m,n 的值 求. A={x∈R||x+2| 3}={x|﹣5 解答 解 x 2} m 2 若 A?B, 满足 m ﹣5 由 m=﹣1,n=1. 知,

x 1}, B={x∈R| x﹣m

x﹣2

0}={x|m

m 2 时,A∩B=?,要使 A∩B= ﹣1,n , 满足

,故

18.在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边 别 1 求角 A 的大小 2 若 a=4,b+c=8,求△ABC 的面 . 考点 余 定理 析 1 由 定理. 定理将已知等式化成角的

a,b,c,且 2asinB=

b.

的形式,化简解出 sinA=

,再由△ABC

是锐角 角形,即 算出角 A 的大小 2 由余 定理 a2=b2+c2﹣2bccosA 的式子,结合题意化简得 b2+c2﹣bc=16, 得到 bc 的值,再根据 角形的面 公式加 计算, 得△ABC 的面 . 解答 解 1 △ABC 中, , , 根据 定理,得 锐角△ABC 中,sinB>0, 等式两边约去 sinB,得 sinA= A 是锐角△ABC 的内角, A= 2 a=4,A= , ,

联解 b+c=8

由余 定理 a2=b2+c2﹣2bccosA,得 16=b2+c2﹣2bccos 化简得 b2+c2﹣bc=16, b+c=8,平方得 b2+c2+2bc=64,

- 11 -

两式相 ,得 3bc=48, 得 bc=16. 因 ,△ABC 的面 S= bcsinA= ×16×sin =4 .

AB 直径的半圆 异于 A、B 的点,矩形 ABCD 所在的平面垂直于该半圆 所在的平面,且 AB=2AD=2. 1 求证 EA⊥EC 2 设平面 ECD 半圆 的另一个交点 F. ①试证 EF∥AB ②若 EF=1,求 棱锥 E﹣ADF 的体 .

19.如图,E 是

考点 直线 平面垂直的性质 棱柱、棱锥、棱 的体 直线 平面平行的性质. 析 1 利用面面垂直的性质, 得 BC⊥平面 ABE,再利用线面垂直的判定证明 AE⊥ BCE 面 ,即 证得结论 2 ①先证明 AB∥面 CED,再利用线面平行的性质,即 证得结论 ②取 AB 中点 O,EF 的中点 O′,证明 AD⊥平面 ABE,利用等体 ,即 得到结论. 解答 1 证明 平面 ABCD⊥平面 ABE,平面 ABCD∩平面 ABE=AB,BC⊥AB,BC ?平面 ABCD BC⊥平面 ABE AE?平面 ABE, BC⊥AE E 在 AB 直径的半圆 , AE⊥BE BE∩BC=B,BC,BE?面 BCE AE⊥面 BCE CE?面 BCE, EA⊥EC 2 ①证明 设面 ABE∩面 CED=EF AB∥CD,AB?面 CED,CD?面 CED, AB∥面 CED, AB?面 ABE,面 ABE∩面 CED=EF AB∥EF ②取 AB 中点 O,EF 的中点 O′, 在 Rt△OO′F 中,OF=1,O′F= , OO′= BC⊥面 ABE,AD∥BC AD⊥平面 ABE VE﹣ADF=VD﹣AEF= = =

- 12 -

20.已知 项数列{an}满足 a1=2 且 n+1 an2+anan+1﹣nan+12=0 n∈N* 证明数列{an} 等差数列 若记 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an+an+1 与 n+1 an﹣nan+1]=0,

考点 数列的求和 等差关系的确定. 析 I 由 n+1 an2+anan+1﹣nan+12=0 n∈N* ,变形得 由于{an} 项数列, 得

,利用累乘法 得 an,再利用等差数列的通项公式即

证明. II 利用“裂项求和方法”即 得出. 解答 I 证明 由 n+1 an2+anan+1﹣nan+12=0 n∈N* , 变形得 an+an+1 与 n+1 an﹣nan+1]=0, 由于{an} 项数列, ,

利用累乘法得 解 由 从而 知

从而得知 数列{an}是

2

首项, ,

2

公差的等差数列.

= .

21.已知抛物线 C y2=4x,过点 A ﹣1,0 的直线交抛物线 C 于 P 两点,设 . 试求 x1,x2 的值 用 λ 表示 若 λ∈与 , ],求 |PQ|最大时,直线 PQ 的方程.

x1,y1 ,Q x2,y2

考点 抛物线的简单性质. 析 由向 的数 的坐标表示 得 x1+1=λ x2+1 ,y1=λy2, 入抛物线方程 得 λ2x2+1=λ x2+1 ,λx2 λ﹣1 = λ﹣1 ,即 求得 x2= ,x1=λ

- 13 -

由题意 得 x1?x2=1,

?

=16,求得 y1?y2=4,根据两点之间的距离公式求得|PQ|

的表达式,由 λ∈与 , ],根据二次函数的性质即 求得|PQ|最大值,求得 λ 的值,求得 P 和 Q 的坐标,求得直线 PQ 的方程. 解答 解 .设 P x1,y1 ,Q x2,y2 ,M x1,﹣y1 , x1+1=λ x2+1 ,y1=λy2, y12=λ2y22,y12=4x1,y22=4x2,x1=λ2x2 λ2x2+1=λ x2+1 ,λx2 λ﹣1 = λ﹣1 , λ≠1, x2= ,x1=λ,…5 由 从而 则 知 ,从而 x1?x2=1, ? =16,x1?x2=16,

y1?y2=4,

… 由于 λ∈与 , ],则 根据二次函数的知识得 时P ,± λ+ = , ,即 λ= 时,|PQ| 最小值 , … ,…

,Q 3,±2

直线 PQ 的方程

22.已知函数 f x = 1

,a,b∈R,且 a>0

a=2,b=1,求函数 f x 的极值 +g′ x =0 成立,求 的取

2 设 g x =a x﹣1 ex﹣f x ,若 在 x>1,使得 g x

值范围. 考点 利用导数研究函数的极值. 析 1 求出 a=2,b=1 的函数 f x 的导数,求得单调区间,求得极值 2 求出 g x 的导数,由题意 得 在 x>1,使 2ax3﹣3ax2﹣2bx+b=0 成立.由 a>0, 则 ,



,求出导数,判断单调性,即 得到所求范围.

- 14 -

解答 解

1

a=2,b=1 时,

,定 域

﹣∞,0 ∪ 0,+∞ .





f′ x =0,得 x f' x f x ﹣∞, ﹣ 1 + ↗ ﹣1

,列表 ﹣ 1, 0 ﹣ ↘ ﹣ ↘ 0 极小值 . . , + ↗

0 极大值

由表知 f x 的极大值是 2 因 由g x +g' x =0,得

,f x 的极小值是 ,所

整理得 2ax3﹣3ax2﹣2bx+b=0. 在 x>1,使 g x +g′ x =0 成立等 于 在 x>1,使 2ax3﹣3ax2﹣2bx+b=0 成立. 因 a>0,所 .



,则



因 所 所

x>1 时,u' x >0 恒成立,所 u x >u 1 =﹣1, , ﹣1,+∞ .

u x 在 1,+∞ 是增函数,

即 的取值范围

- 15 -


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