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高中数学人教A版选修2-1课件2.4.2《抛物线的简单几何性质》课时1_图文

2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的简单几何性质(1) 通过动画展示抛物线的形成,利用图片直观感知抛物线 在我们日常生活中的存在,培养学生善于观察的良好品质,同 时激发了学生探索新知的欲望,充分调动学生学习的积极性 和主动性.运用类比的思想,类比椭圆的性质和双曲线的性质 学习抛物线的性质. 例 1 是利用抛物线的几何性质求双曲线的标准方程;例 2 是求直线与抛物线相交的弦长问题,利用抛物线的定义和数 形结合的方法帮助学生理解。利用动画展示抛物线的对称性. 1 复 习 抛物线的定义 2 3 抛物线的标准方程 抛物线的图象,焦点坐标,准线方程 4 椭圆及双曲线的性质 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y 2 ? 2px (p ? 0) y 2 ? ?2px (p ? 0) p ( , 0) 2 p (? , 0) 2 p x?? 2 p x? 2 x 2 ? 2py (p ? 0) p (0, ) 2 p (0, ? ) 2 p y?? 2 x 2 ? ?2py (p ? 0) p y? 2 类比椭圆、双曲线的几何性质,你认为可以讨论 抛物线的哪些几何性质? 抛物线的简单几何性质 抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标准方程 y ? 2 px( p ? 0) 2 ( 1) 研究它的一些简单几何性质: 1.范围 因为p>0,由方程(1)可知,对于抛物线(1)上的点M (x, y),x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧,开口方向与x轴正向相同; 当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下 方无限延伸. 2.对称性 以-y代y,方程(1)不变,所以这条抛物线关于x轴对 称. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程(1)中, 当y=0时,x=0,因此抛物线(1)的顶点就是坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫 做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知,e=1. 抛物线的其它几何性质 5.通径 过焦点而垂直于对称轴的 y A y2=2px ? p ? ? , p? ?2 ? 弦AB,称为抛物线的通径. |AB|=2p 利用抛物线的顶点、通径的 两个端点可较准确画出反映抛 物线基本特征的草图. 2p O B F x p ( , ? p) 2 2p越大,抛物线张口越大. 6.焦半径 连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径. y 焦半径公式: P p PF ? x 0 ? . 2 O F x 抛物线的几何性质 方程 y2 = 2px ( p> 0) y l y2 = -2px x2 = 2py ( p > 0) y F x O x2 = -2py ( p> 0 ) y 图 形 范围 对称性 顶点 离心率 ( p> 0) y l x l x O F x≥0 F O x l O F y∈ R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈ R y≤0 关于x轴对称 关于x轴对称 (0,0) e=1 关于y轴对称 关于y轴对称 (1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸, 但没有渐近线; (2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; (4)抛物线的离心率e是确定的,为1; (5)抛物线的通径为2p, 2p越大,抛物线的张口越大. 抛物线几何性质的应用 解:因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原 ?2 2 ),所以,可设它的标 点,并且经过点M(2, 准方程为 y 2 ? 2px (p ? 0), 2) ? 2 p ? 2, 2 因为点M在抛物线上,所以 ( ?2 即p =2. 因此,所求抛物线的标准方程是 y ? 4 x. 2 典例展示 【例2】 斜率为1的直线 l 经过抛物线 y ? 4x的焦点 F, 且与 2 抛物线相交于 A, B两点,求线段 AB的长. 分析:由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标,又直线l 的斜率为1,所以可以求出直线l的方程;与抛物线的方 程联立,可以求出A,B两点的坐标;利用两点间的距离 公式可以求出∣AB|.这种方法虽然思路简单,但是需 要复杂的代数运算. 下面,我们介绍另外一种方法——数形结合的方法. 如图,设 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ). 由抛物线的定义可知, AF 等于 点 A到准线的距离 AA ? .设 AA ? ? d A , 而 d A ? x1 ? 1, 于是 AF ? d A ? x1 ? 1.同理, BF ? BB? ? d B ? x 2 ? 1, 于是得 A' y A x O F B' B A B ? A F ? B F ? x1 ? x 2 ? 2. 由 此 可 见 , 只 要 求 出 点 A , B 的 横 坐 标 之 和 x1 ? x 2 , 就 可 以 求 出 AB . p 解:由 题意可知, p ? 2, ? 1, 焦点F(1, 0), 准 线 l : x ? ? 1. 2 如 图 , 设 A(x1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ), A , B 到 准 线 l 的 距 离 分 别 为 d A , d B .由 抛 物线的定义可知 A' y A x AF ? d A ? x 1 ? 1, BF ? d B ? x 2 ? 1, 于 是 A B ? A F ? B F ? x1 ? x 2 ? 2. O F B' B (1) 由 已 知 得 抛 物 线 的 焦 点 为 F (1, 0 ), 所 以 直 线 AB的 方 程 为 y ? x ? 1. 将 ( 1) 代 入 方 程 y 2 ? 4 x , 得 ( x ? 1)2 ? 4 x , 化 简

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