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贵州省思南中学2018-2019学年高二下学期3月月考数学(理)试题 Word版含答案

贵州省思南中学 2018-2019 学年度高二年级下第一次月考数学(理)试题

说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分;答题时间 120 分钟。 第Ⅰ卷

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。

1.

1 x ? 0(e ? 2 x)dx 等于
A.1
2

( B. e ? 1 C. e

) D. e ? 1 ) D.7 )

2.曲线 y=x +3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率是( A.4
3 2

B.5

C.6

3.函数 f(x)=x +ax +3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于( A.2
2

B.3

C.4 )

D.5

4.若 f(x)=x -2x-4ln x,则 f(x)的单调递增区间为( A.(-1,0) C.(2,+∞)
3

B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(0,+∞) ( ) D.15 ( )

5.曲线 y ? x ? 11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 A.―9 B.―3 C.9

6.下列式子中与 f ' ( x0 ) 相等的是 (1) lim

?x ?0

f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2?x) ; 2?x
f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ? ?x) ?x
B. (1) (3)
3 2

(2) lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? ?x) ; ?x
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? 2?x) 。 ?x
D. (1) (2) (3) (4)

(3) lim

?x ?0

(4) lim C. (2) (3)

?x ?0

A. (1) (2)

7.已知函数 f(x)=-x +ax -x-1 在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数 a 的取值范围是
1

(

) A.(-∞,- 3),∪( 3,+∞) C.(-∞,- 3]∪[ 3,+∞)
3

B.(- 3, 3) D.[- 3, 3] )

8.若关于 x 的方程 x -3x+m=0 在[0,2]上有根,则实数 m 的取值范围是( A.[-2,2] C.[-2,0]
3 2

B.[0,2] D.(-∞,-2)∪(2,+∞) ).

9.已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为( A.-1<a<2 C.a<-1 或 a>2 B.-3<a<6 D.a<-3 或 a>6

10.函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π ,π ]的图象大致为

(

)

11.对于 R 上的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x) ≥ 0 ,则必有 A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ≥ 2 f (1)





B. f (0) ? f (2) ≤ 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

12.设 f(x)、g(x)是定义域为 R 的恒大于 0 的可导函数,且 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0, 则当 a<x<b 时有( ) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(x)

A.f(x)g(x)>f(b)g(b) C.f(x)g(b)>f(b)g(x)

2

第Ⅱ卷 二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 。 13.已知函数 f (? ) ?

sin ? ,则 f ?(0) ? 2 ? cos ?

. .

14.一物体作直线运动,其运动方程为 s(t ) ? ?t 2 ? 2t , 则t ? 1时其速度为

15. 设 f0(x)=sinx, f1(x)=f0′(x), f2(x)=f1′(x), …, fn+1(x)=fn′(x), n∈N, 则 f2019(x) = .

16.设曲线 y=x

n+1

(n∈N )在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令 an=lgxn,则

*

a1+a2+…+a999 的值为________.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本题满分 10 分)设函数 f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0). (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 f(x)在(0, 1]上 的最大值为 ,求 a 的值. 2

18.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=x -3ax+b(a≠0).
3

3

(1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点.

19.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=x -8lnx,g(x)=-x +14x. (1)求函数 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若方程 f(x)=g(x)+m 有唯一解,试求实数 m 的值.

2

2

1 2 20.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)= x +lnx. 2 (1)求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大、最小值; 2 3 (2)求证:在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= x 的图象的下方. 3

4x -7 21. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)= ,x∈[0,1]. 2-x (1)求 f(x)的单调区间和值域; (2)设 a≥1,函数 g(x)=x -3a x-2a,x∈[0,1].若对于任意 x1∈[0,1],总存在 x0 ∈[0,1],使得 g(x0)=f(x1)成立,求 a 的取值范围.
3 2

2

4

e ?2 ? 22.(本题满分 12 分)设函数 f(x)= 2-k? +ln x?(k 为常数,e=2.718 28…是自然对

x

x

?x

?

数的底数). (1)当 k≤0 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求 k 的取值范围.

月考数学(理)试题答案 一,选择题 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 C 5 C 6 B 7 D 8 A 9 D 10 C 11 D 12 C

二、填空题 13、

1 3

14、 0

15、-cosx

16、-3

三、解答题 17. [解析] 函数 f(x)的定义域为(0,2),

5

f ′(x)= - +a, x 2-x
-x +2 (1)当 a=1 时,f ′(x)= ,所以 f(x)的单调递增区间为(0, 2),单调递减 x -x 区间为( 2,2); (2)当 x∈(0,1]时,f ′(x)=
2

1

1

x

2-2x +a>0, -x

1 即 f(x)在(0,1]上单调递增,故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=a,因此 a= . 2 18. [解析] (1)f ′(x)=3x -3a. 因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切, 所以?
? ?f ?f ?
2

=0, =8.

? -a =0, ? 即? ?8-6a+b=8. ?

解得 a=4,b=24. (2)f ′(x)=3(x -a)(a≠0). 当 a<0 时,f ′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数 f(x)没有极值 点. 当 a>0 时,由 f ′(x)=0 得 x=± a. 当 x∈(-∞,- a)时,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(- a, a)时,f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈( a,+∞)时,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x)的极小值点. 19. 8 [解析] (1)因为 f ′(x)=2x- ,所以切线的斜率 k=f ′(1)=-6.
2

x

又 f(1)=1,故所求的切线方程为 y-1=-6(x-1). 即 y=-6x+7. (2)原方程等价于 2x -8lnx-14x=m, 令 h(x)=2x -8lnx-14x,则原方程即为 h(x)=m. 因为当 x>0 时原方程有唯一解, 所以函数 y=h(x)与 y=m 的图象在 y 轴右侧有唯一的交 点.
6
2 2

8 又 h′(x)=4x- -14=

x- x

x+

x

,且 x>0,

所以当 x>4 时,h′(x)>0;当 0<x<4 时,h′(x)<0. 即 h(x)在(4,+∞)上单调递增,在(0,4)上单调递减,故 h(x)在 x=4 处取得最小值, 从而当 x>0 时原方程有唯一解的充要条件是 m=h(4)=-16ln2-24. 20. 1 [解析] (1)由已知 f ′(x)=x+ ,

x

当 x∈[1,e]时,f ′(x)>0, 所以函数 f(x)在区间[1,e]上单调递增, e 1 所以函数 f(x)在区间[1,e]上的最大、最小值分别为 f(e)= +1,f(1)= , 2 2 e 1 所以函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值为 +1,最小值为 ; 2 2 1 2 2 3 1 2 (2)证明:设 F(x)= x +lnx- x ,则 F′(x)=x+ -2x = 2 3 x 因为 x>1,所以 F′(x)<0, 所以函数 F(x)在区间(1,+∞)上单调递减, 1 1 2 2 3 又 F(1)=- <0,所以在区间(1,+∞)上,F(x)<0,即 x +lnx< x . 6 2 3 -x +x+2x
2 2 2

x

.

21. [解析] (1)对函数 f(x)求导,得 -4x +16x-7 f ′(x)= =- 2 -x
2

x-
-x

x-
2

1 7 令 f ′(x)=0 解得 x= 或 x= . 2 2 当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f ′(x) f(x)

0

1 (0, ) 2 -

1 2 0 -4

1 ( ,1) 2 + ↗

1

7 - 2



-3

7

1 所以,当 x∈(0, )时,f(x)是减函数; 2

?1 ? 当 x∈? ,1?时,f(x)是增函数. ?2 ?
当 x∈[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3]. (2)g′(x)=3(x -a ). 因为 a≥1,当 x∈(0,1)时,g′(x)<0. 因此当 x∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当 x∈[0,1]时有 g(x)∈[g(1),g(0)]. 又 g(1)=1-2a-3a ,g(0)=-2a,即 x∈[0,1]时有 g(x)∈[1-2a-3a ,-2a]. 任给 x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在 x0∈[0,1]使得 g(x0)=f(x1)成立, 则[1-2a-3a ,-2a]? [-4,-3].
?1-2a-3a ≤-4,① ? 即? ?-2a≥-3.② ?
2 2 2 2 2 2

5 3 解①式得 a≥1 或 a≤- ;解②式得 a≤ . 3 2 3 又 a≥1,故 a 的取值范围为 1≤a≤ . 2

22.解:(1)函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞),

x2ex-2xex ? 2 1? f′(x)= -k?- 2+ ? x4 ? x x?
= =

xex-2ex k(x-2) - x3 x2
(x-2)(e -kx) . 3
x

x

由 k≤0 可得 e -kx>0, 所以当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,函数 y=f(x)单调递减; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数 y=f(x)单调递增. 所以 f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞). (2)由(1)知,k≤0 时,函数 f(x)在(0,2)内单调递减, 故 f(x)在(0,2)内不存在极值点; 当 k>0 时,设函数 g(x)=e -kx,x∈[0,+∞).
8
x

x

因为 g′(x)=e -k=e -e 当 0<k≤1 时,

x

x

ln k



当 x∈(0,2)时,g′(x)=e -k>0,y=g(x)单调递增. 故 f(x)在(0,2)内不存在两个极值点. 当 k>1 时, 得 x∈(0,ln k)时,g′(x)<0,函数 y=g(x)单调递减;

x

x∈(ln k,+∞)时,g′(x)>0,函数 y=g(x)单调递增.
所以函数 y=g(x)的最小值为 g(ln k)=k(1-ln k). 函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点,

g(0)>0, ? ?g(ln k)<0, 当且仅当? g(2)>0, ? ?0<ln k<2.
e 解得 e<k< . 2
2

? e? 综上所述,函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k 的取值范围为?e, ? ? 2?

2

9


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